“平几”中真,“立几”中也真吗?

立体几何中,常常会遇到与平面几何中“形式”相同的命题,这些平面几何中的真命题,在立体几何中还真?下面给出一组平面几何中的无误的真命题,考虑在立体几何中,哪些真?哪些不真? 1.不相交的两条直线一定平行。 2.两条互相垂直的直线一定交于一点。 3.如果一条直线与两条互相平行的直线中的一条相交,那么必与另一条直线相交。 4.四条边都相等的四边形一定是菱形。 5.四边形的四个内角和必为360°。 6.各边都相等的四边形的两条对角线一定互相垂直。 7.平行于同一直线的两条直线一定平行。 8.垂直于同一条直线的两条直线一定平行。     

关于两直线垂直的证明

我们知道 ,当两条直线相交所成的四个角中 ,有一个角是直角时 ,我们就称这两条直线互相垂直 ,它是两条直线相交中的一种特殊位置关系 .证明两直线垂直的问题始终贯穿于整个初中阶段 ,它在几何问题证明中占有非常重要的位置 .为此 ,本文就证明两条直线垂直的方法进行归纳总结 ,供读者参考 .1.利用垂直的定义来证例 1　已知 :如图 1,在⊙Ｏ中 ,直径ＡＢ⊥ＣＤ ,分别在ＡＢ ,ＣＤ上取点Ｅ ,Ｆ ,使ＡＥ =ＣＦ .过Ｅ作弦ＣＮ ,过Ｆ作弦ＢＭ ,两弦相交于点Ｈ .求证 :ＣＮ⊥ＢＭ .分析 :欲证ＣＮ⊥ＢＭ ,只需证∠ＣＨＦ =90° ,即只需证∠ＨＥＢ +…     

重视思维过程 促进定理获得——直线与平面垂直的判定定理的教学思考

在直线与平面垂直的判定定理教学中,由定义中的“与任意一条直线垂直”到定理中的“与两条相交直线垂直”的跨越是教学的难点.本文从学科知识本质、学生认知基础、教学实施过程三个方面分析问题存在的原因,提出两种解决方案,使学生亲历化繁为简、以简驭繁的思维过程,发挥数学学科的育人功能.     

线线垂直的证明方法

我们知道 ,当两条直线相交所成的四个角中 ,有一个角是直角时 ,我们就称这两条直线互相垂直 ,它是两条直线相交中的一种特殊位置关系 .证明两直线垂直的问题始终贯穿于整个初中阶段 ,它在几何问题证明中占有非常重要的位置 .为此 ,本文就证明两条直线垂直的方法进行归纳总结 ,供读者参考 .1 .利用垂直的定义来证例 1　如图 ,已知 :△ABC的高AD ,BE相交于点H ;F ,G分别是AC ,BH的中点 .求证 :DG⊥DF .分析 :欲证DG⊥DF ,只需证∠GDF =90° .观察图形 ,由已知条件知∠ADB =90° ,故只需证∠ADF =∠GDB .证明 :∵DF是Rt△ACD斜…     

两直线平行问题的求解思路

论证两直线平行是一类既基本而又能展示众多知识、方法、技巧的数学竞赛中的常见问题,本文介绍求解此类问题的若干思路,供参考。论证两直线平行,常从如下几方面考虑: 从角考虑:通过证被第三直线截得的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等来确定两直线平行; 从线考虑:通过证两直线同垂直(或同平行)于第三直线来确定两直线平行;     

一个Erdis问题在二次曲线下的推广

著名数学家Paul Erd■s曾提出过这样一个有趣的问题:"设U为平面上一些单位圆所成之集,如果平面上任一条直线总和U中至少一个圆相交或相切,那么是否可以肯定:对任给的自然数m,总能找到一条直线,它至少和U中的m个圆相交或相切?"张景中,杨路等人解决了这个问题.本文探讨了该问题在二次曲线下的推广,得到了和原Erd■s问题相似的结论.     

圓内格点问题

1.什么叫圆内格点问题在一张白纸上用直尺画上互相垂直的两条直线XX′及YY′,它们相交于一点O,叫做原点。然后在O点的上下左右各作与XX′及YY′相平行的两组直线,使得相鄰两条平行直     

逆推法巧证空间垂直关系

空间垂直问题通常涉及的线面较多,关系复杂,直接证明有一定难度.但是,如果反其道而行之,巧用逆推法,却能有效地找出解题思路.1.主要定理立体几何中与垂直相关的定理很多,但最关键最核心的定理有四个.(1)直线与平而垂直的判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面(线线垂直(→)线而垂直)     

两圆相交的两条性质及应用

两圆相交为圆周角定理、圆内接四边形性质定理提供了用武之地.由此我们也获得了两相交圆的一系列重要性质.本文介绍其中的两条性质及应用的几个例子。下面的性质1及其推论也就是贵刊88年第5期中的《相交圆内接三角形的性质及应用》一文的三条性质.以一交点为一顶点,过另一交点的割线为对边的三角形叫两相交圆的内接三角形。性质1 相交两圆的内接三角形的三个内角均为定值.(如图1,△AEC为其内接三角形) 推论1 在相交两圆中,内接三角形都相似。推论2 在相交两圆中,若内接三角形的一边与公共弦垂直,则另两边必分别为两圆直     

线面垂直的判定定理的新证法

现行高中数学教科书人教版第九章 (A,B)对直线与平面垂直的判定定理的证明 ,仍是沿用以往教材中的传统证法 ,而课程改革要求我们尽可能地运用新知识处理问题 ,尽可能地用简明的方法解决问题 .我在教学中发现另一种证明定理的方法 .现给出证明过程 ,供大家教学参考 .直线和平面垂直的判定定理 :如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直 ,那么这条直线垂直于这个平面 .已知 :如图 1,m α,n α,m∩ n =B,l⊥ m,l⊥ n.求证 :l⊥α.证明　若 g是平面α内任意一条直线 ,设直线 l、m、n、g上分别有非零向量 l、m、n、g,由于 m、n是平面内…     

平行线学习的注意事项

一、注意平行线定义的事项在平面内的两条直线的位置关系有平行(包括重合)、相交(包括垂直).故平行线是平面上两条直线的特殊位置关系,由平行线的定义必须注意到两点:(1)同一平面内的两条直线;(2)不相交.这两个条件必须同时具备.平面内的两条直线AB、CD平行,记作AB∥CD,其中符号“∥”是专指两条直线平行的,是     

一类相交圆问题的多图性浅议

所谓相交圆问题,即指圆几何学中常见的以相交两圆以及经过交点的直线(非公共弦)所构成的问题.其多图性在平时解题中,不大引起教师和学生的注意,因而不甚明显.事实上,相交圆问题,一般地都具有多种图形,是平面几何问题多图性中最突出的一种.在毕业复习中,引导学生作适当探讨,具有一定教学意义.本文结合教材中的一道例题,浅谈笔者关于这方面的体会,供同仁参考。相交圆问题之所以具有多图性,是由其特殊结构和属性决定的.首先,多图性与直线在     

由一道几何题引发的作图题

<正>一、一道几何题如图1,⊙O与⊙O′外离,半径分别为r与R,一条直线交两圆于A、C与D、B,且AC=DB,过A、B分别作两圆的切线交于P,求证:PA/PB= r/R.本文不讨论该题的证明,关注的是题设"一条直线交两圆于A、C与D、B,且AC=DB",思考一个问题——在两圆确定的前提下,如何作出一条与两圆相交且所截得的两条弦相等的直线,于是引发如下作图题.     

外切于圆的凸四边形的两条性质及推论

外切于圆的凸四边形有如下的两个结论,我们以定理的形式介绍. 定理1 外切于圆的凸四边形中,若一双对边的延长线相交,则另一双对边中的一条边的一端点处的内角平分线与另一端点的切点弦直线相交,所得两交点的连线平行于这一条边.     

对现行高中数学教学参考书的几点意见

笔者在教学中发现 ,与人教版现行高中课本《立体几何》、《平面解析几何》相配套的教学参考书有不妥之处 ,现对其提出几点意见 ,供商榷 .1　高中《立体几何教学参考书》1 高中《立体几何》(必修 )课本第 33页上的第 9题 :“求证 :两条平行线和同一个平面所成的角相等 .”本题应分两种情况论证 :(1 )两条平行线与同一平面平行 ;(2 )两条平行线与同一平面相交 ,这又分为垂直相交和斜交两种情形 .教学参考书中的答案只证明了第 (2 )种情况中的斜交情形 .2 同一课本第 48页上前 2题的第 (1 )小题 :“求证 :每两条都相交且不共点的四条直线共面…     

圆幂定理图形中的优美性质

<正>相交弦定理、割线定理、切割线定理统称为圆幂定理;它反映两条相交直线与圆的位置关系,其本质是与比例线段有关.本文给出圆幂定理图形中的其他性质,与读者共同分享.1相交弦定理图形中的性质性质1如图1,⊙O的两条弦AB、CD相交圆内一点P,PE、PF、PG、PH分别是⊙PAC、⊙PBD、⊙PAD、⊙PBC的直径,则PE⊥BD、     

线画

一.什么叫做线画线画是由有限个点和有限条线所组成的图形,图形中的点叫做线画的顶点,线叫做线画的边;作为线画,则图形还必须满足这样几个条件:1)每个顶点至少是一条边的端点,2)每条边都有两个顶点(可以重合)作为端点(因此每条边都是直线段或者曲线段,3)各条边都不自行相交也不彼此相交。平面几何和立体几何中所遇到的很多由点和线组成的图形都是线画,但是上述三个条件把某些图形排除了出去。条件1)是说线面中不能有孤立的顶点;条件2)是说线画中的边必须有端点(因此直线或者圆都不是线画),也不能只有一个端点(因此射线也不是线画),这时必须注者,两个端点可以重合(因此圆和圆     

第41届国际数学奥林匹克题解

第一天大田 ,2 0 0 0年 7月 19日时间 :4小时 30分每题 7分　　问题 1 圆Γ1 和圆Γ2 相交于点Ｍ和Ｎ .设ｌ是圆Γ1 和Γ2 的两条公切线中距离Ｍ较近的那条公切线 .ｌ与圆Γ1 相切于点Ａ ,与圆Γ2 相切于点Ｂ .设经过点Ｍ且与ｌ平行的直线与圆Γ1 还相交于点Ｃ ,与圆Γ2 还相交于点Ｄ .直线ＣＡ和ＤＢ相交于点Ｅ ;直线ＡＮ和ＣＤ相交于点Ｐ ;直线ＢＮ和ＣＤ相交于点Ｑ .证明　ＥＰ =ＥＱ .解答　令Ｋ为ＭＮ和ＡＢ的交点 .根据圆幂定理 ,ＡＫ2 =ＫＮ·ＫＭ =ＢＫ2 ,换言之Ｋ是ＡＢ的中点 .因为ＰＱ∥ＡＢ ,所以Ｍ是ＰＱ的中点 .故只需证明Ｅ…     

曲线的相切及其应用

在中学,相切问题起源于直线(圆)和圆的位置关系.在直线向圆逐渐移动的过程中他们的位置关系分别是相离、相切、相交,其中的相切是关键,它是临界位置,起着过渡的作用,而且相切问题始终是中学数学研究的主要内容.将问题一般化,在两条光滑曲线逐渐靠近的过程中,它们的位     

圆的基本问题(中)

<正>例11圆内两条非直径的弦相交,试证它们不能互相平分.证明设AC、BD是圆O内的不是直径的两条弦,它们相交于P.则应求证,AC、BD不能互相平分.可用反证法来证明.假若P是AC与BD的中点,如图8所示,联结OP,则由垂径定理可得,OP⊥AC,且OP⊥BD.(圆心与弦的中点的连线垂直于弦).因为一条直线不能同时垂直于两条相交的直线,得出矛盾.所以P不能同时是弦AC和BD的中点.也就是它们不能互相平分.