The steady state in-plane response of a curved Timoshenko beam with internal damping

Summary The steady state in-plane response of a curved Timoshenko beam with internal damping to a sinusoidally varying point force or moment is determined by use of the transfer matrix approach. The method is applied to free-clamped non-uniform beams with circular, elliptical, catenary or parabolical neutral axis excited at the free end; the driving point impedance and force or moment transmissibility are calculated numerically and the influence of the varying cross-section and of the function expressing the neutral axis are studied.

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Übersicht Es werden ebene, stationäre Schwingungen eines gekrümmten Timoshenko-Balkens mit innerer Dämpfung, durch harmonische Punkt-Kräfte oder Punkt-Momente erregt, mit Hilfe von Übertragungsmatrizen berechnet. Diese Methode wird auf einseitig fest eingespannte, ungleichförmige Balken angewendet, deren neutrale Achse verschiedene Formen (Kreisbogen, Ellipsenbogen, Kettenlinie, Parabel) besitzt. Für den am freien Ende erregten Balken werden Erreger-Impedanz und Durchlässigkeit für Kraft und Moment ausgerechnet; die Einflüsse des veränderlichen Querschnittes und der Form der neutralen Linie werden diskutiert.

     

Elastische Knickung gerader Stäbe von exponentiell veränderlichem Querschnitt unter dem Einfluß ihres Eigengewichtes

Zusammenfassung Ausgehend von der Differentialgleichung für die Ausbiegung eines geraden Stabes bei veränderlichem Druck und veränderlichem Querschnitt, wird eine Lösung bei exponentiell veränderlichem Querschnitt mit Hilfe von Whittakerschen Funktionen für den Fall angegeben, daß der Querschnitt ein reguläres Vieleck ist und die Druckkraft durch das Eigengewicht allein hervorgerufen wird. Die Knickbedingung wird bei freiem oberem und eingespanntem unterem Ende aufgestellt und für gewisse Werte des Parameters k der Whittakerschen Funktion ausgewertet. Es wird ferner die Lösung der Differentialgleichung für. exponentiell veränderlichen Querschnitt angegeben, wenn der Querschnitt ein Rechteck ist, dessen kürzere Seite unveränderlich bleibt. Diese Lösung ist durch Zylinderfunktionen von imaginären Argument und Parameter gegeben, weshalb die zugehörige Knickbedingung erst nach der Berechnung der in Frage kommenden Funktionen ausgewertet werden kann.Die theoretischen Ergebnisse werden auf die Berechnung der größten erreichbaren Höhe von Bäumen angewandt.     

Bending of a composite beam-column

Summary The paper deals with the bending of a composite beam-column of variable cross-section. The governing equation is developed under usual assumptions concerning the beam-column deformation (the deformation is not small enough to neglect its effect on the equilibrium equations, but it is sufficiently small for geometrical linearization to be carried out) and it refers to any given creep function. A simply supported beam-column of constant cross-section under particular external load is considered as example to show the application of the developed equation and the solution method. Introducing a particular creep function and geometrical properties of cross-section into the general result the known interval in which the values of Euler's critical force lie is obtained as well as the safe load limit.

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Biegung mit Normalkraft von Verbundträgern bei Berücksichtigung des Einflusses der Systemverformung

Übersicht Die Biegung mit Normalkraft von Verbundträgern mit veränderlichem Querschnitt bei Berücksichtigung des Einflusses der Systemverformung wird betrachtet. Es gelten die üblichen Voraussetzungen, d. h. die Systemverformung ist nicht so klein, daß man sie in den Gleichgewichtsbedingungen vernachlässigen kann, doch so klein, daß man die geometrische Linearisation durchführen kann, und die Grundgleichungen gelten für beliebige Kriechfunktionen. Als Beispiel wird ein exzentrisch gedrückter Balkenträger mit konstantem Querschnitt behandelt, um die Anwendung der Gleichungen und die Lösungsmethode zu zeigen. Für eine spezielle Kriechfunktion und einen gewählten Querschnitt wird das Intervall, in welchen die Euler-Knicklast liegt, gefunden und zudem die Grenzlast.

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Presented at the Euromech Colloquium 231, Constitutive equations in viscoelasticity: Applications and methods of solution, held in Smolenice Castle (Czechoslovakia), Oktober 6–9, 1987     

Pflüger rod with shear and extensibility

Summary The stability of a thin elastic rod loaded with non-conservative tangentially distributed and axial compressive force is analyzed. The axial compressive force has constant and periodic component. Also it is assumed that the rod axis is extensible and shear stress effects are taken into account. The in-plane vibrations and stability of the rod are analyzed. The critical load is also determined.

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Pflüger Stab mit Schubspannungsinfluß und dehnbarer Achse

Übersicht Es wird die Stabilität eines dünnen Stabes, der durch eine nichtkonservative Tangential-und eine Längskraft beansprucht wird, betrachtet. Die axiale Längskraft besitzt eine Konstante und eine periodische Komponente. Es wird angenommen, daß die Stabachse dehnbar ist; der Schubspannungseinfluß wird berücksichtigt. Es werden die ebenen Schwingungen und das Stabilitätsverhalten untersucht; ebenso wird die kritische Last ermittelt.

     

Zur Beulung des flachen kreiszylindrischen Schalenstreifens bei beliebiger orthogonaler Anisotropie

Zusammenfassung Es wird die Stabilitätsgrenze eines flachen kreiszylindrischen Schalenstreifens unter Druck- und Schubkräften bei beliebiger orthogonaler Anisotropie untersucht. An den Längsrändern ist er angenähert momentenfrei auf biegeweichen Längsträgern gelagert. Die Ermittlung der kritischen Last geschieht mit Hilfe der Energiemethode unter Benutzung desGalerkinschen Verfahrens, wobei für die VerschiebungenFourier-Reihen angesetzt werden. Man erhält als Ergebnis der Rechnung eine unendliche Beuldeterminante. Diese wird für den ebenen Fall (Plattenstreifen) für Neigung der elastischen Hauptachsen ausgewertet und mit Ergebnissen aus bereits bekannten Untersuchungen verglichen.     

Das Verhalten eines elastischen Trägers mit nichtlinearen Randbedingungen bei Durchgang durch die Resonanz

Übersicht Es wird der Resonanzdurchgang der Schwingungen eines elastischen Trägers untersucht. Der Träger besitzt zwei elastische Auflager mit nichtlinearer Kennlinie und steht unter der Einwirkung einer äußeren periodischen Kraft mit konstanter Amplitude und veränderlicher Frequenz. Die Ergebnisse lassen zugleich auch das Verhalten dieses Systems im stationären Zustand erkennen.

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Summary The vibrations of an elastic beam passing trough the resonance frequency are investigated. The beam ist subjected to periodic forces with constant amplitude and varying frequency. The two bearings at the ends of the beam are assumed to be elastic with a nonlinear displacement characteristic. Some of the results indicate the properties of the system in the case of stationary vibrations.

     

Kinetisches Durchschlagen des schwach gekrümmten Stabes

Zusammenfassung In der Statik ist das Durchschlagen des gekrümmten Stabes ein wohl-bekanntes Stabilitätsproblem. Ein ganz entsprechendes kinetisches Stabilitätsproblem entsteht, wenn der gekrümmte Stab unter der Einwirkung einer schwingenden Querbelastung steht. Mit den Annahmen der technischen Biegelehre und der Kirchhoffschen Näherung für die Stablängskraft kann man zur Beschreibung der Stabschwingungen eine inhomogene nichtlineare Integrodifferential-gleichung für die Biegeschwingung allein aufstellen. Ein Lösungsansatz mit zeitabhängigen Funktionen führt diese partielle Integrodifferentialgleichung für eine beliebige Lastverteilung auf ein System nichtlinearer gewöhnlicher Differentialgleichungen zurück. Aus diesem System lassen sich die erzwungenen Schwingungen mit einer Störungsrechnung berechnen; sie haben im wesentlichen den gleichen Frequenz-Amplituden-Zusammenhang, den man schon vom. Duffingschen Schwingungsproblem her kennt. Das Stabilitätsverhalten dieser Schwingungen ließ sich mit Hilfe der Methode der langsam veränderlichen Phase und Amplitude näherungsweise ebenfalls aus den entsprechenden Eigenschaften des Duffingschen Schwingers verstehen. Es sind daher Amplitudensprünge zu erwarten, die sich in einer Weise deuten lassen, die erkennen läßt, daß sich das statische und das kinetische Problem weitgehend entsprechen.Herrn K. von Sanden zum 75. Geburtstag gewidmet     

Instability of a rotating disk with a support under the action of a static in-plane load

Summary Vibrations of a rotating disk with a clamped inner circle, a free outer periphery and an elastic support at one point are analyzed under the action of a static in-plane load. A solution of the equation of motion is described in form of series by orthogonal eigenfunctions of a non-rotating disk with the same boundary conditions. Relations between natural frequencies and angular velocity and then those between regions of instability of vibrations and the magnitude of static load are shown.

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Instabilität einer drehenden Scheibe mit einer Stütze unter der Wirkung einer ebenen statischen Belastung

Übersicht Schwingungen einer drehenden Scheibe mit einem befestigten inneren Umfang, einem freien äußeren Umfang und einer elastischen Stütze in einem Punkt werden unter der Wirkung einer ebenen statischen Belastung analysiert. Eine Lösung der Bewegungsgleichung wird in der Form von Reihen mit orthogonalen Eigenfunktionen einer nicht drehenden Scheibe mit den gleichen Randbedingungen beschrieben. Beziehungen zwischen Eigenfrequenzen und der Drehgeschwindigkeit sowie zwischen instabilen Bereichen und der Größe der statischen Belastung werden gezeigt.

     

Erzwungene und freie ungedämpfte Schwingungen kreisförmig begrenzter Scheiben

Übersicht Im ersten Teil der Arbeit werden für Kreis- und Kreisringscheiben sowie für unendlich ausgedehnte kreisförmig gelochte Scheiben die Feldgrößen des eingeschwungenen Zustandes infolge Anregung durch zeitlich harmonisch veränderliche Randspannungen und -Verschiebungen ermittelt. Dabei fallen die Eigenwertgleichungen der freien Schwingungen mit an. — Davon ausgehend befaßt sich der zweite Teil, ab Kapitel 11, mit den eingeschwungenen Feldgrößen unendlich und endlich ausgedehnter, Scheiben, die im Zentrum von singulären Kräften, Momenten und Expansivkräften erregt werden.

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Summary In the first part of this paper the author presents the steady-state field components for circular disks and rings and infinitely extended plates with circular holes for harmonically time-dependent stresses or displacements at the boundaries. Moreover, equations for the natural frequencies of free vibrations evolve from the foregoing. — Based on these results, the second part, beginning with chapter 11, is concerned with the steady-state solution of displacements and stresses for finitely and infinitely extended plates, excited at the centre by singular forces, moments and expansive forces.

     

Coupled torsional and bending vibrations of a rotor with an open crack

Summary The influence of transverse cracks on the coupled torsional and bending vibrations of a rotor is presented in this study. A fragment of the shaft of constant cross-section with a crack is modelled by means of a beam finite element. A procedure to calculate the stiffness coefficients in cross-sections weakned by cracks is given. The crack is considered to be open. The stiffness matrix for the above mentioned element is given. The method is illustrated by an example.

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Über gekoppelte Dreh- und Biegeschwingungen eines Rotors mit offenem Riß

Übersicht Der Einfluß von transversalen Rissen auf die gekoppelte Dreh- und Biegeschwingungen eines Rotors wird vorgestellt. Der Abschnitt einer Welle von konstantem Querschnitt mit Riß wird mit Hilfe der Finite-Element-Methode modelliert. Ein Rechenverfahren zur Bestimmung der Torsions- und Biegesteifigkeitskoeffizienten in durch den Riß geschwächten Querschnitten wird angegeben. Dabei wird der Spalt als offen betrachtet. Eine Steifigkeitsmatrix für das erwähnte Element wird aufgestellt. Die Methode wird mit einem Beispiel veranschaulicht.

     

Vibration of stiffened annular sector plates using the spline element method

Summary Vibrations of a stiffened annular sector plate with arbitrary boundary conditions are analysed using the spline element method. The plate is idealized as a system of an annular sector plate and curved beams rigidly connected to each other. To demonstrate the accuracy of the present method several examples are solved, and the results are compared with those obtained analytically and by other numerical methods. Good accuracy is obtained. The effect of stiffening beams on the frequencies of stiffened annular sector plates is also investigated.

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Bestimmung der Schwingungen versteifter Kreisringsegment-Platten mit Hilfe der Spline-Element-Methode

Übersicht Die Schwingungen versteifter Sektorplatten werden mittels der Spline-Element-Methode untersucht. Die Platte wird als ein System von Sektorplatte und gebogenen Trägern idealisiert. An Zahlenbeispielen wird gezeigt, daß bezüglich der üblichen analytischen Methode und numerischen Methoden die genaue Lösung erhalten wird. Der Effekt versteifender, gebogener Träger auf die Frequenzen wird untersucht.

     

Piezoelektrische Geräte zur Bestimmung des Pitotdrucks,des statischen Drucks,des dynamischen Drucks und des Impulses einer pulsierenden Strömung

Zusammenfassung Piezoelektrische Meßgeräte der beschriebenen Art zur Bestimmung des veränderlichen Pitotdrucks, des statischen Drucks, des dynamischen Drucks und der veränderlichen Bewegungsgröße bei pulsierenden Strömungen haben sich gut bewährt, und es erscheint möglich, diese noch weiter den verschiedenen Aufgaben anzupassen.Die hier beschriebenen Meßanordnungen wurden 1941 bis 1944 im Forschungsinstitut für Kraftfahrwesen und Fahrzeugmotoren an der Technischen Hochschule Stuttgart (FKFS) entwickelt. Sie wurden bei Entwicklungsarbeiten einst auf allen Versuchsplätzen für pulsierende Strahltriebwerke (z. B. VI-Triebwerk) angewendet.Für die Ermöglichung der Neubeschäftigung mit diesen Fragen wird der Deutschen Forschungsgemeinschaft auch an dieser Stelle sehr gedankt.     

Der gerade Stab mit geschlossenem dünnwandigen Profil unter näherungsweiser Berücksichtigung der Schub- und Querschnittsdeformationen

Übersicht Für einen geraden prismatischen Stab mit ein- oder mehrzelligem, dünnwandigem Kastenquerschnitt wird unter näherungsweiser Berücksichtigung der Schub- und Querschnittsdeformationen eine Theorie kleiner Verformungen angegeben. Die entwickelten Differentialgleichungen beschreiben das Verhalten des prismatischen Stabes bei beliebiger Belastung unter Einschluß des Knickproblems sowie die freien und erzwungenen Schwingungen dieses Stabes. Für den einzelligen Kastenträger werden die Differential-gleichungen ausgewertet und auf die freie Torsionsschwingung des beidseitig gabelförmig gelagerten Kastenträgers angewendet.

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Summary The beam theory for infinitesimal deformations of a prismatic singular or multicelled box beam is given using approximations for shear-deformations and for deformations of the cross section. The resulting system of differential equations describes the behaviour of a prismatic beam under a general loading. Furthermore they include the case of stability from collapse as well as the equations of free and forced vibrations. The differential equations are applied to the case of a single celled box beam under free torsion vibration supported at both ends.

     

Die Spaltströmung bei thermischen Turbomaschinen als Ursache für die Entstehung schwingungsanfachender Querkräfte

Übersicht Selbsterregende Schwingungen von Turbinenläufern können durch auslenkungsproportionale Querkräfte verursacht werden, die an den Turbinenstufen aufgrund der Spaltströmung zwischen Läufer und Gehäuse entstehen. Zur Berechnung dieser Kräfte wird der variable Dichtspalt durch Aneinanderreihung von Stromröhren mit veränderlichen Querschnitten dargestellt. Damit ergibt sich der örtliche Durchfluß und die Druckverteilung im Spalt aus eindimensionalen empirischen Grundlagen, wobei der Zuströmdrall besonders berücksichtigt wird. Messungen an einer Versuchsturbine zeigen gute Übereinstimmung mit der Rechnung.

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Summary Self excited vibrations of turbo rotors can be caused by lateral forces proportional to the displacement, which result at, the turbine stages from the leakage flow between the rotor and the casing. For the calculation of these forces the variable clearances are represented by a set of stream tubes with various cross sections. So the local mass flux and the pressure distribution in the clearance follows by means of one-dimensional empirical relations, taking into account the circumferential velocity at the influx. Measurements on a test turbine gave good agreement with calculated results.

     

An expression for transient thermal stress in a nonhomogeneous plate with temperature variation through thickness

Summary An expression for nonzero thermal stress in a nonhomogeneous flat plate with arbitrary variation in mechanical properties is presented under a transient temperature distribution. Especially an equation for nonzero thermal stress and its numerical calculation showing the effect of nonhomogeneous thermal and mechanical properties on temperature and thermal stress distribution, is given for the case of an exponentially varying thermal conductivity and Young's modulus, but for a homogeneous Poisson's ratio and coefficient of linear thermal expansion.

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Formeln für transiente Wärmespannungen in einer nichthomogenen Platte mit einer über die Dicke veränderlichen Temperatur

Übersicht Es werden Ausdrücke für nichtverschwindende Wärmespannungen in einer inhomogenen ebenen Platte bei beliebiger Ortsabhängigkeit der mechanischen Eigenschaften entwickelt, und zwar für eine transiente Temperaturverteilung. Insbesondere wird eine Gleichung für nichtverschwindende Wärmespannungen angegeben und numerisch ausgewertet, die den Einfluß nichthomogener thermischer und mechanischer Eigenschaften auf die Verteilung von Temperatur und Wärmespannung bei exponentieller Ortsabhängigkeit der Wärmeleitfähigkeit und des E-Moduls darstellt, wobei jedoch die Poissonzahl und der lineare Wärmeausdehnungskoeffizient konstant sind.

     

Freie Schwingungen einer Halbkugelschale mit freien Rändern

Übersicht Bei den Schwingungen einer Halbkugelschale mit freien Rändern treten Eigenformen auf, die mit den Formen dehnungsloser Schwingungen weitgehend übereinstimmen. Die Abweichungen der exakt berechneten Frequenzen verglichen mit denen, die aus der Theorie der dehnungslosen Schwingungen her folgen, sind teilweise beachtlich groß. Deshalb ist es nur für bestimmte Schalenparameter zulässig, das Problem der freien Schwingungen der Halbkugelschale mit freien Rändern auf die einfachen Beziehungen der dehnungslosen Schwingungen zurückzuführen.

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Summary In the case of vibrations of a hemispherical shell with free boundaries eigen-modes are found, whose mode shapes are largely in accordance with those of inextensional vibrations. But comparing the frequencies of these modes with the frequencies of the inextensional vibrations large differences may occur. Therefore the problem of free vibrations of a hemispherical shell with free boundaries can not be sufficiently described for any given parameter by the solution of inextensional vibrations.

     

Elastische Schicht und elastischer Halbraum bei mit der Tiefe stetig abnehmendem Elastizitätsmodul

Zusammenfassung Zur Lösung der Aufgabe, den Spannungs- und Verschiebungszustand einer senkrecht zu den Deckflächen inhomogenen elastischen Schicht zu bestimmen, macht man mit Vorteil von der Fourier-Transformation (beim ebenen Verzerrungszustand) bzw. Hankel-Transformation (beim axialsymmetrischen Verzerrungszustand) Gebrauch. Das Problem führt dann auf eine gewöhnliche Differentialgleichung vierter Ordnung mit im allgemeinen veränderlichen Koeffizienten. Für das Gesetz E=E ₀/1+a y wird ihre Lösung hergeleitet im einzelnen ergeben sich im Sonderfall E=b/y für die Spannungen und Verschiebungen des durch eine Linienlast bzw. Einzelkraft senkrecht zum Rand beanspruchten elastischen Halbraums einfache Ausdrücke in geschlossener Form.     

A unified treatment of mixed convection on a permeable horizontal plate

A problem of mixed convection on a horizontal plate is reconsidered assuming that the plate is subjected to a variable temperature or variable heat flux. The plate is considered permeable allowing blowing or suction of the fluid. The results of free and forced convection are obtained as special cases of this study of mixed convection. It is also shown that the results corresponding to prescribed temperature are related to those of prescribed surface heat flux by simple conversion formulae.

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Eine einheitliche Behandlung der Mischkonvektion bei einer durchlässigen horizontalen Platte

Zusammenfassung Ein Problem der Mischkonvektion bei einer horizontalen Platte ist in der Annahme erörtert worden, daß die Platte einer veränderlichen Temperatur und einem veränderlichen Wärmestrom ausgesetzt wird. Hierbei wurde die Platte als durchlässig für Einblasen und Absaugen des Fluids angenommen. Die Ergebnisse der freien und erzwungenen Konvektion wurden als Spezialfälle dieser Studie für Mischkonvektion erhalten. Es wird angezeigt, daß die Ergebnisse, welche die Temperatur beschreiben, mit denen die die Wandwärmestromdichte beschreiben, durch einfache Umrechnungsformeln in Verbindung gebracht werden können.

     

Heat transfer in flow past a continuously moving semi-infinite flat plate in transverse magnetic field with heat flux

Thermal boundary layer on a continuously moving semi-infinite flat plate in the presence of transverse magnetic field with heat flux has been examined. Similarity solutions have been derived and the resulting equations are integrated numerically. This investigation has indicated a fall in the temperature of the thermal boundary layer with increase in magnetic field parameter.

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Wärmeübertragung in Strömungen an einer gleichmäßig bewegten, halbunendlichen ebenen Platte in einem quergerichteten Magnetfeld mit Wärmefluß

Zusammenfassung Es ist die thermische Grenzschicht auf einer gleichmäßig bewegten, halbunendlichen ebenen Platte in einem quergerichteten Magnetfeld mit Wärmefluß untersucht worden. Ähnlichkeitslösungen sind abgeleitet und die erhaltenen Gleichungen numerisch integriert worden. Diese Untersuchung hat einen Rückgang der Temperatur in der thermischen Grenzschicht mit steigendem Magnetfeldparameter nachgewiesen.

     

Zur Berechnung der kritischen Geschwindigkeit der reibungs- und relaxationsfreien thermochemischen Gasströmung durch Rohr und Düse

Zusammenfassung Die kritische Geschwindigkeit der Rohr- bzw. Düsenströmung eines chemisch veränderlichen Gasgemisches wird unter den Annahmen des permanenten chemischen Gleichgewichts, der Reibungslosigkeit und stationärer Verhältnisse nach der Stromfadentheorie berechnet und mit der Schallgeschwindigkeit verglichen. Es zeigt sich, daß die kritischen Geschwindigkeiten mit der Fortpflanzungsgeschwindigkeit niederfrequenter Schallwellen über-einstimmen, in denen das chemische Gleichgewicht der Zustandsänderung ohne Verzögerung folgt.Die Rechnung wird am Beispiel der Strömung von CO₂ bei 2000° K und l Atm. unter Dissoziation in CO und O₂ erläutert. Hierbei ist die Schallgeschwindigkeit bei konstanter chemischer Zusammensetzung um etwa 0,5% höher als die kritische Strömungsgeschwindigkeit, was man mit dem höheren Wert der spezifischen Wärmen im Falle des Dissoziationsgleichgewichts erklären kann.