综合题新编选登

题 94　 已知向量a =(1,1) ,b =(1,0 ) ,c满足a·c =0且 |a| =|c| ,b·c >0 .1)求向量c ;2 )若映射 f :(x ,y)→ (x′ ,y′) =xa + yc,①求映射 f下 (1,2 )的原象 ;②若将 (x ,y)看作点的坐标 ,问是否存在直线l使得直线上的任一点在映射f的作用下的点仍在直线上 ,若存在求出直线l的方程 ,否则说明理由 .解　 1)设c =(m ,n) ,由题意得 :m +n =0 ,m2 +n2 =2 ,m·1+n·1>0解得 m =1,n =- 1.∴c=(1,- 1) .2 )①由题意x(1,1) + y(1,- 1) =(1,2 )得 x + y =1,x -y =2 ,　解得x =32y =- 12∴ (1,2 )的原象是 (32 ,- 12 ) .②假设存在直线l适合题设 …     

向量不等式a·b≤|a|·|b|的应用

对于任意两个向量 a,b,有不等式 a.b≤|a|. |b|当且仅当向量 a与 b同向时为等式 .此不等式结构简单 ,形式隽永 ,内涵丰富 .运用它处理某些与不等式相关的代数问题简捷明快 ,颇具特色 .1　求函数的最值例 1　求函数 f(x) =3x +2 +44- x2 的最大值 .解　令 a =(3,4 ) ,b =(x,4 - x2 ) ,则 f(x) =a . b +2 ,|a|=5 ,|b|=2 .故 f(x)≤ |a|. |b|+2 =12 ,当且仅当 a与 b同向 ,即 3x=44 - x2 >0时取等式 .解之　 x =65 .故当　 x =65 时 ,f(x) m ax =12 .例 2　求实数 x,y的值 ,使得 f(x,y) =(1- y) 2 +(x +y - 3) 2 +(2 x +y - 6 ) 2取得最小值 . (…     

含向量的方程

在高三的一本数学复习资料中,有一道关于含向量的方程的解的存在性的问题.下面在该题求解的基础上探讨一下怎样判断和解含向量的方程.　　题目　已知a,b,c为非零向量且a⊥b,x∈R,x1,x2 是方程ax2 + bx + c=0的两实根,求证:x1=x2 .1　解法探讨错解　因为a⊥b则a·b=0 .b·(ax2 + bx+ c) =0 ,(b·a) x2 + b2 x+ b·c=0 ,∴　x=- b·cb2 .故,原方程只有唯一解,所以x1=x2 .错因分析　“将原方程两边同点乘b”,不是同解变形.b·(ax2 + b·x+ c) =0成立时,除了ax2 + bx+ c=0外,还有可能是b⊥(ax2 + bx+ c) .所以- (b·c) / b2不一定是原方程的解.…     

巧“配对” 妙解题

对称不仅给人以美的享受 ,而且运用对称性还可以简捷地解决一些数学问题 .但是 ,很多数学问题并不以对称的形式出现 ,对此 ,我们可采用“配对”策略简便地解题 .一概念配对不少数学概念是成对引入的 ,如ａ和 1ａ(ａ≠ 0 )(互为倒数 ) ,平方与开平方等 .利用数学概念的这种对称性 ,对某些数学问题配对 ,能非常简便地解题 .例 1　化简( 1+3) ( 3+5)1+2 3+5.解　设Ａ =( 1+3) ( 3+5)1+2 3+5,则其配对式1Ａ =1+2 3+5( 1+3) ( 3+5) =( 1+3) +( 3+5)( 1+3) ( 3+5)=11+3+13+5=3- 12 +5- 32 =5- 12 ,∴　Ａ =25- 1=5+12 .二传递配对若干个向量的和有…     

推广一个法向量 求解一类高考题

一、缘起 容易知道,在平面直角坐标系xOy中,过点A(a,0)和点B(0,b)的直线x/a+y/b=1(其中ab≠0)的一个法向量是n=(1/a,1/b). 把此结论推广到空间直角坐标系O-xyz中思考,就有以下结论. 二、定理 在空间直角坐标系O-xyz中,过三点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)(其中abc≠0,ab≠0)的平面ABC的一个法向量是n=(1/a,1/b,1/c). 证明:因为→AB=(-a,b,0),则由n·→AB=(1/a,1/b,1/c)·(-a,b,0)=-1+1+0=0,知n⊥→AB.     

对一类函数不等式的讨论

一、问题的来源例 :已知 :当 |x|≤ 1时 ,有 |ax2 +bx +c|≤ 1 .证明 :当 |x|≤ 1时 ,有 |2ax +b|≤ 4 .以上为一匈牙利奥数竞赛题 ,综观各类文献 ,其典型的证法有以下两种 :证法一 :记f(x) =ax2 +bx+c,g(x) =2ax+b.因函数 g(x)在 [- 1 ,1 ]上单调 ,故只要证明在已知条件下有 |g(1 ) |=|2a+b|≤4且|g(- 1 ) |=|- 2a+b|≤ 4即可 .易知2a+b=32 (a +b +c) +12 (a -b +c) - 2c=32 f(1 ) +12 f(- 1 ) - 2f(0 ) .于是由 |f(- 1 ) |≤ 1 ,|f(0 ) |≤ 1及|f(1 ) |≤ 1 ,知 |2a +b|≤ 32 |f(1 ) |+12 |f(- 1 ) |+2 |f(0 ) |≤32 +12 +2 =4,即 |2a +b|…     

妙用向量解两联赛题

<正>2013年数学联赛早已落下了帷幕.在经久不息的议论声中,我们有悟有得.笔者发现构造向量可快速求解其中的两道联赛题.如下:例1(2013年联赛B卷一试第10题)假设a、b、c>0,且abc=1,证明:a+b+c≤a2+b2+c2.分析联想到向量的数量积与向量的模     

剖析不等式证明中的一个典型错误

据笔者所知 ,文 [1 ]首先提出并“证明”了一个数学奥林匹克问题 :已知 a,b,c为非负实数 ,且 ab+ bc+ ca= 1 .求证 :1a+ b+ 1b+ c+ 1a+ c≥ 52 . ( * )为便于分析 ,我们将文 [1 ]的“证明”(部分 )抄录如下 :由对称性 ,可设 a≥ b≥c≥ 0 .由所给条件易知 a≥b>0 .1b+ c + 1a+ c ≥ 2( b+ c) ( a+ c)=2ab+ ac+ bc+ c2=21 + c2,等号成立的充要条件是 a=b.这时 ,原题条件化为a2 + 2 ac=1 ,　c=1 - a22 a .由 c≥ 0知 ,a≤ 1 .再由 1 =ab+ bc+ ca≤3a2知 a≥ 13.于是 ,1a+ b+ 1b+ c+ 1c+ a=12 a+ 2a+ c=… =9a2 + 12 a( a2 + 1 ) =f( a) .下面…     

考点15 向量的概念及运算

1.(北京卷,3)若a=1,b=2,c=a+b,且c⊥a则向量a与b的夹角为().(A)30°(B)60°(C)120°(D)150°2.(山东卷,7)已知向量a、b,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则一定共线的三点是().(A)A、B、D(B)A、B、C(C)B、C、D(D)A、C、D3.(全国卷,8)已知点A(3,1),B(0,0),C(3,0).设∠BAC的平分线AE与BC相交于E,那么有BC=λCE,其中λ等于().(A)2(B)21(C)-3(D)-314.(辽宁卷,9)若直线2x-y+c=0按向量a=(1,-1)平移后与圆x2+y2=5相切,则c的值为().(A)8或-2(B)6或-4(C)4或-6(D)2或-85.(全国卷,10)点P在平面上作匀速直线运动,速度向量v=(4,-3)(即…     

2003年第五期初中数学问题解答

一、若a是自然数 ,且a4-4a3 +1 5a2 -3 0a +2 7的值是一个质数 ,这个质数是多少 ?解 :令f(a) =a4-4a3 +1 5a2 -3 0a +2 7.易得f( 0 )=2 7非质数 ,f( 1 ) =9非质数 ,f( 2 ) =1 1为质数 ,所以这个质数是 1 1 .答 :略 .二、若a=( 12 ) 14 ,b =( 13 ) 12 ,c =( 14) 13 ,试比较a ,b,c的大小 .解 :∵a =412 =12 12 3 =12 18,b=13 =12 13 6=12 172 9,c=3 14=12 144=12 12 5 6.又∵ 172 9<12 5 6<18,∴b相似文献   

用向量证明不等式两例

由向量的内积:a·b=|a|·|b|·cosθ, 可得 因为 -1≤cosθ≤1, 所以有 这个结论在证明不等式时常常用到. 例1 已知口a2+b2+c2=1,x2+y2+z2= 1,其中a、b、c、x、y、z均为实数,求证: -1≤ax+by+cz≤1. 证明 设p=(a,b,c), q=(x,y,z), 则 ,即.     

综合题新编选登

题 1 1 1 　如图 1,半球O的半径为R ,它的内接长方体ABCD A1B1C1D1的一个面ABCD在半球O的底面上 ,则该长方体AC1的所有棱长之和的图 1最大值为 .解　如图 1,设AB =a ,BC =b ,AA1=c,在Rt△A1AO中有a2 +b24 +c2=R2 .∵ 8c2 + 54a2 + 54b2=(4c2 + a24 ) + (4c2 + b24 ) + (a2 +b2 )≥ 2ac +2bc + 2ab .在上不等式两边同加上a2 +b2 +c2 得9(c2 + a2 +b24 )≥ (a +b +c) 2 .即 (a +b +c) 2 ≤ 9R2 ,则a +b +c≤ 3R .∴所有棱长之和l=4 (a +b +c)≤ 12R .“ =”成立时有a =b =4c=4R3.∴答案为 12R .试题背景　本题根据《数学通讯》2…     

一道2013年联赛题的另解

<正>题目(2013年全国初中数学联赛试题)已知实数a,b,c,d满足2a2+3c2=2b2+3d2=(ad-bc)2=6,求(a2+b2)(c2+d2)的值.本刊5月下的参考答案同时采用了换元法和夹逼法,意境高,技巧性强.下面提供另两种常规解答,供学习参考.解法1由条件得(2a2+3c2)(2b2+3d2)=36,即4a2b2+6a2 d2+6b2c2+9c2 d2=36.由条件(ad-bc)2=6得a2 d2+b2c2-2abcd=6,∴6a2 d2+6b2c2=36+12abcd.∴4a2b2+12abcd+9c2 d2=0,∴(2ab+3cd)2=0,∴2ab=-3cd.再由条件得2(a2-b2)=-3(c2-d2),上面两式相乘得cd(a2-b2)=ab(c2-d2),     

妙用公式ab=((a+b)/2)~2-((a-b)/2)~2

在平方差公式x2-y2=(x+y)(x-y)中,令x=(a+b)/2,y=(a-b)/2,便可得到公式ab=(a+b/2)2-(a-b/2)2,运用此公式,可巧解国内外一组竞赛题.例1 正数a,b,c,x,y,z,满足a+x=b+y=c+z=k,求证:ax+by+cz相似文献   

空间向量解题中的常见错误例析

运用空间向量处理立体几何问题 ,可以减少辅助线的添加 ,避开一些复杂的空间想象 ,降低了解题难度 .但笔者在教学中发现同学们在进行空间向量的运算时常出现错误 .现举例剖析如下 ,供同学们借鉴与参考 .1　混淆向量的和 (差 )与向量的数量积例 1　已知a =( 2 ,- 1 ,5) ,b =( - 3,1 ,4 ) ,求a +b与a·b .错解 :a +b =2 - 3+ ( - 1 ) + 1 + 5+ 4 =8.a·b =( 2× ( - 3) ,( - 1 )× 1 ,5× 4 ) =( - 6 ,- 1 ,2 0 ) .剖析　此题错误原因是将向量加法的坐标运算与向量数量积的坐标运算法则弄混淆 ,也说明对向量加法运算与向量的数量积的实质没有…     

一道课本题的推广

新教材第二册上P30复习参考题第 8题 :已知a >b >c ,求证 :1a -b+ 1b -c+ 1c -a>0 .现对该题进行如下推广 .推广 1　若a >b >c ,m ,n均为正数 ,则 ma -b+ nb -c+ (m +n) 2c-a ≥ 0 .证　∵ (a -c ) ( ma -b + nb -c) =m(a -b +b -c)a -b + n(a -b +b -c)b -c =m +n + [m·b -ca -b+n·a -bb -c]≥m +n + 2mn =(m +n) 2 ,故 :ma -b+ nb -c+ (m +n) 2c -a ≥ 0 .推广 2　若a1>a2 >a3 >… >an >an + 1,则1a1-a2+ 1a2 -a3+… + 1an-an + 1+ n2an + 1-a1≥ 0证　利用柯西不等式 .∵ (an -an + 1) ( 1a1-a2+ 1a2 -a3+… +1an-an + 1) =[(a1-a2 ) …     

构造向量解题

文 [1 ]举例说明了平面向量在中学数学中的广泛应用 .作为文 [1 ]的补充 ,本文再举几例 ,说明构造向量 ,利用向量的内积在中学数学其它一些方面的应用 .1　求值例 1　设 a,b,c,x,y,z均为实数 ,且a2 b2 c2 =2 5,x2 y2 z2 =3 6,ax by cz =3 0 .求 a b cx y z的值 .解　由题设条件 ,考虑构造向量 p=(6a,6b) ,q=(5x,5y) .由 (p.q) 2 ≤ |p|2 |q|2 ,有 90 0 (ax by) 2 ≤ 90 0 (a2 b2 ) (x2 y2 ) ,即　 (3 0 - cz) 2 ≤ (2 5- c2 ) (3 6- z2 ) ,变形整理得　 (5z - 6c) 2≤ 0 ,∴　 5z =6c.同理　 5x =6a,　 5y =6b.∴…     

合理运用单位向量解题

<正>向量是数学中重要的基本的概念,它既是代数的对象,又是几何的对象.其中单位向量是向量的一个重要概念,本文谈一谈它的一些简单应用.例1已知a=(3(1/2),-1),b=(1,3(1/2)).求与a和b夹角相等且模为2(1/2)的向量c的坐标.分析将a和b的起点移在一起,通过向     

数学问题解答

2012年7月号问题解答(解答由问题提供人给出)2071设a,b,c≥0,a4+b4+c4=3,求证:a2/b3+1+b2/c3+1+c2/a3+1≥32.(广东省工业贸易职业技术学校张宏528237)证明设a2+b2+c2=x,则a2b2+b2c2+c2a2=1/2(a2+b2+c2)2-(a4+b4+c4)=1/2(x2-3).     

构造函数f(t)=(t-x)(t-y)(t-z)解题

三元不等式问题是国内外各层次数学竞赛的难点与热点之一 ,而其处理更以“入口宽 ,方法巧”见长 .为寻求解题规律 ,探索解题途径 ,笔者搜集了部分国内外有关三元不等式问题的试题 ,深入研究 ,发现许多问题均可以采用构造函数 :f(t) =(t -x) (t-y) ·(t-z) ,加以巧妙地解决 .下面举例加以说明 .例 1　设a ,b ,c为非负实数 ,且满足a ≥b≥c,a +b+c=3 ,求证 :ab2 +bc2 +ca2 ≤ 2 78.(《中等数学》1998年第 1期数学奥林匹克问题初 61题 )证明　由题意可知　a≥ 1,c≤ 1,从而　 1-a≤ 0 ,　 1-c≥ 0 .令　f(1) =(1-a) (1-b) (1-c) .一方面 :当b≤…