一类三角形中的最值问题

设点P(a,b)是直角角标平面内的一个定点,过点P(a,b)的直线与两个坐标轴围成一个直角三角形,如图1中的的三角形OAB.由于过点P(a,b)的直线有无穷多条,而每一条直线都与坐标轴围成一个三角形.所以,围绕这类三角形,我们可以提出一系列的最值问题.例如,这类三角形的三条边长有无最值?三角形的面积有无最值?三角形中内接矩形的面积有无最值?角形的内切圆和外接圆的面积有无最值?等等.下面我们对这些问题逐一进行探讨.为了方便,我们不妨设a＞O,b＞O,即点P(a,b)是第一象限内的点.     

一个最值问题的几何解法

题已知a、b是不相等的正数，试求函数的最值．此题若用通常解法，不仅繁而且难，但如果能根据题目结构，引进适当的参数，给参数赋予几何含义，则将会显得明快和直观．解设，，则a2＋v2=a＋b．因为a、b为不相等的正数，可设a>b．易得因此问题就转化为（如图）：在AMB上求点，使直线l：在两轴上截距最大或最小易见：当l与AMB相切时，在两轴上的截距最大．此时，．当直线l过点，截距最小．此时，．一个最值问题的几何解法@周建国$浙江省奉化市职校!315500     

巧用两点之间直线段最短求最值

“两点之间直线段最短”其道理简单浅显,广泛应用于平面几何．立体几何中很多求线段之和问题可以等价转化成平面几何的求线段之和问题．下面通过举例说明如何利用“两点之间线段最短”在立体几何中求最值．     

与直线有关的最值问题的求解

<正>解析几何知识是高考的主干内容,直线又是学好解析几何知识的基础.本文将借助两种题型对与直线有关的最值问题作一些探讨.一、与线段长度有关的最值问题例1已知直线m过点P(1,1),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,当|PA|·|PB|取得最小值时,求直线m的方程.     

谈谈直线最值破解之道

与直线相关的最值问题是一种常见题型,此类题通常涉及两点间的距离、点到直线距离的和与差、三角形的周长与面积等,常常要用到直线方程的各种形式、两点的距离公式、点到直线的距离公式等,同时也要用到转化与化归、数形结合的思想等.下面介绍求解与直线相关的最值问题常见的几种方法.     

点到直线距离的常见类型和解法

根据高考数学科考试说明,“两点间的距离、点到直线的距离”及“导数的几何意义”等知识点的考试要求都是B级．求曲线上的点到直线距离涉及“平面解析几何初步”和“导数及其应用”二大章节,是高考中重点考查内容．其基本解题策略是利用点到直线的距离公式得到相应的距离函数,再借助求函数最值的方法（如基本不等式法、导数法、数形结合法等）求其最值得到所求最值．     

巧构平面解析几何模型求无理函数的最值

求无理函数的最值常见的方法有代数换元法、三角换元法、导数法等．但是有一些无理函数因其解析式结构的特殊性．用以上常规的方法不易求其最值，若能仔细分析无理函数解析式的结构特点，数形结合。构造出相应的平面解析几何模型，利用其“形”的特征，可转化为求平面解析几何模型（曲线）上的一动点到模型外两定点的距离和（差）的最值．或动点与定点连线的斜率最值，或动点到定点的距离与该动点到定直线的距离之和的最值，从而暴露了问题的本质，使复杂抽象的函数问题具体化、简单化．本文根据动点所属不同的平面解析几何模型。分类举例说明．     

单位圆在解题中的应用

构造单位圆来处理数学问题是一种常用解题方法．其关键是在解题中抓住问题的结构特征，认真分析，仔细观察，挖掘问题的隐含条件，以数定形，以图论性，从而得到美妙的数学思维和简捷的解题方法．使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化．例1a、b满足什么条件时，方程对一切m的值总有实数解？由①、②消去x得即问题转化为单位圆与直线至少有一个交点．由故对于一切m，直线③恒过一定点，若在单位圆内或边界上时，直线③和单位圆至少有一个交点．当时．例2求函数y—ZJ3xrt－I－SJ28th的最值．解由已知函数可得函数的定义域为【一2，14」，个…     

一道课本例题的讨论和开发

九年义务教育教材(人教版)第131页有一个这样的问题:要在燃气管道a上修建一个泵站,分别向A、B两镇供气,泵站修在管道什么地方,可使所用输气管线最短?教材上首先将实际问题数学化,如图1,设A、B是直线a同侧的两点,要使所用的输气管线最短,就是在直线a上找点C,使AC BC最小·图1AC=     

2023年新高考Ⅰ卷第22题的一般解法、变式及启示

<正>求证类问题是圆锥曲线考题中比较常见的题型,此类题型所考查的知识点丰富,比较常见的类型有证明直线过定点,证明直线斜率为定值,证明某个变量的最值或者大于、小于某个值等．若是“证明某个变量的最值或者大于、小于某个值”,则一般解题思路与求最值、证明不等式就会密切联系起来,因此往往需要利用函数思想进行解决．下面我们以2023年新高考Ⅰ卷第22题为例,给出一般性的解题思路,即最常规的也是大家最容易想到、理解和接受的方法,并由此得到该试题的一个推广和两个变式,最后得到了几点启示．     

一道距离最值问题的解法探讨

近日,笔者遇到一道问题,颇觉有趣,值得探究. 问题 已知直线y=a分别与曲线l:y=2(x+1),E:f(x) =x+lnx交于A、B,则|AB|的最小值为 1 解法初探 思路1:借助图形分析,画出两个曲线图形,如图1,联想到曲线上的动点到直线距离的最值问题,可以过点B作BC⊥l于点C.     

两曲线上动点间距离的最大(小)值问题

<正>利用导数求两条曲线上动点间距离的最值,方法之一是转化化归,将动点间的距离问题转化为点到直线的距离问题,而这个"点"一般就是利用导数求得的切点;方法之二是构造函数,求出导数,利用导数求解最值.举例如下:1求两曲线上两动点间的距离的最值例1 (2012年高考新课标理科12)设点     

构点巧解函数题

所谓“构点”解题，即通过取函数图象上的点，把一个一般性的函数问题转化成图象上个别点间的关系问题，然后加以解决．构点解题可以化一般为特殊，且易懂易操作，简洁明快，当一个问题不易直接入手，或为了快速求解时，通常可考虑构点解题．当然，在取点时既要考虑所取的点具有一般性，又要注意其特殊性（如最值点、曲线交点、边界点等）．下面分类予以例示．1求函数值例1设，则（1993年全国高考题）解令f-1（0）＝a，则（0，a）是y＝f－1（x）图象上一点，所以点（a，0）在y＝f（x）的图象上，即4a－2a＋1＝0，解得a＝1，即f－1（0）＝1．…     

用求函数最值的方法求异面直线间的距离（高一，高二，高三）

对于求异面直线间的距离,学生往往感到比较棘手,然而利用代数中求函数最值的方法解决这一问题,有一定规律可寻,易于被学生掌握,该法以命题“异面直线间的距离等于这两条直线中一条上的点到另一条的距离的最小值”为依据,应用此法时,可在两条异面直线中的一条直线上任取一点,过该点引另一条直线的垂线段,并以该线段的长度为函数,影响该长度变化的某一个合适的量为自变量建立函数关系,求出这个函数的最小值,即为所求的两异面直线间的距离．下面举几例具体说明．     

直线中的对称问题的教学设计

教学设计说明:在倡导学生动手实践、自主探索和合作交流的学习方式的同时,更要重视在各个知识节点中进行数学思想方法的渗透,这就是我本节课的教学主旨.一、教材分析1.地位作用直线是解析几何中最基本的一种曲线.直线中的对称点问题是学生研究其它曲线对称性的基础,它为两点间距离最值问题的转化提供了桥梁,同时也是一次函数性质的深化.2.教学结构直线中的对称问题主要包括点关于点(中点问题)、点关于线、线关于点、线关于线的对称问题.我安排两课时,第一课时主要研究点关于直线的对称点问题.第二课时研究直线关于直线的对称问题,本节是第1…     

巧构平面解析几何模型求无理函数的最值

求无理函数的最值常见的方法有代数换元法、三角换元法、导数法等.但是有一些无理函数因其解析式结构的特殊性,用以上常规的方法不易求其最值,若能仔细分析无理函数解析式的结构特点,数形结合,构造出相应的平面解析几何模型,利用其“形”的特征,可转化为求平面解析几何模型(曲线)上的一动点到模型外两定点的距离和(差)的最值,或动点与定点连线的斜率最值,或动点到定点的距离与该动点到定直线的距离之和的最值,从而暴露了问题的本质,使复杂抽象的函数问题具体化、简单化.本文根据动点所属不同的平面解析几何模型,分类举例说明.1.动点在直线上…     

曲线上一类最值点的求法及应用

我们知道,数形结合是解决某些函数最值问题的一种基本对策,然而,要确定其一图形的极值状态,探求最值点的位置,往往也并非轻而易举的事,本文主要就直线或圆锥曲线上一点到两定点的距离之和(或差的绝对值)的最值问题,进行分类探讨,给出关于最值点位置的一组命题,并运用这些结论解决一类无理函数的最值问题。 1 曲线C上一点P到两定点A、B的距离之和的最值命题1 若A、B两点在曲线C的异侧,则当P在     

蚂蚁爬行中的数学问题

蚂蚁从几何体的某点出发,爬行到另一点或某直线上,求蚂蚁爬行的最短距离的问题,单凭直观想象很难找到爬行的路线．因而难度较大,解决这类问题通常是把几何体展开成平面图形,再利用“两点之间线段最短”或“点到直线垂线段最短”等性质,找出蚂蚁爬行的最短路线,然后再通过计算求得结果．     

圆锥曲线中最值问题的求解策略

<正>圆锥曲线中的最值问题是解析几何中常见的问题,既是高考的热点问题,也是难点问题之一,解决这类问题的常用策略主要有:圆锥曲线定义转化法、切线法、参数法、函数法和基本不等式法等.策略一、圆锥曲线定义转化法圆锥曲线定义转化法就是根据圆锥曲线的定义,把所求的最值问题转化为平面上两点之间的距离、点到直线的距离等等,这是求圆锥曲线最值问题的基本方法,其关键是用好圆锥曲线的定义.     

运用直线与圆位置关系研究一类几何最值问题

<正>最值问题是几何综合题中的常见问题,近年来在中考数学中难度有一定程度的降低,可是很多同学仍不得要领,其实几何最值往往可以归结到两个基本原理上,一是两点之间线段最短,比如求两条线段长度和的最小值时的"将军饮马"模型;二是垂线段最短,本文将借助于直线与圆位置关系使用此原理.