梯形的判定与中位线定理(上)

<正>一个四边形中如果有一组对边平行,这个四边形叫做(广义)梯形.显然,广义梯形包含平行四边形.一个四边形中如果一组对边平行,另一组对边不平行,这个四边形叫做(狭义)梯形.显然,狭义梯形不包含平行四边形.梯形中位线定理梯形两腰中点的连线(中位线)平行于底边且等于两底和的一半.     

中位线定理及其推广

若三角形底边为a,则另外两边中点连线段的长:l=(1/2)a (1) 梯形两底为a、b,则两腰中点连线段的长 l=(a b)/2 (2)这即是所谓三角形中位线定理和梯形中位线定理。显然,前者是后者当b=0时的一种特殊形式。由上面的结论,对于图3若AB//CD, l=(a-b)/2 (3)E、F分别为AC、BD的中点,则EF的长     

一个四边形面积定理及其应用

一个四边形面积定理及其应用刘名禄（浙江省安吉县报福中学３１３３０４）本文介绍一个四边形面积定理及其应用．１定理定理任意凸四边形的面积等于一组对边中点分别与对边两端点连线和对边组成的两个三角形的面积之和（如图１，即ＳＡＢＣＤ—Ｓ。ＡＢＦ＋Ｓ。。。。，Ｅ...     

中点四边形的判定与性质

<正>中点四边形是依附于原四边形产生的一类特殊的四边形,不同的原四边形其中点四边形形状不同.人教版八年级数学下P_(68)第9题给出了其定义:"我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形".研究中点四边形,一般是通过连接对角线把四边形中的问题转化为三角形问题,运用三角形中位线定理解决.现将中点四边形的判定与性质作如下归纳:一、中点四边形的判定     

用构造法证空间四边形的性质

空间四边形具有以下八个主要性质。 1.连接空间四边形各边中点所构造成的四边形是平行四边形。证明连接对角线BD,易知EFGH为平行四边形。 2.空间四边形一组对边中点的连线小于另一组对边和的一半。     

取中点巧解赛题

中点是线段上的特殊点 ,中线和中位线是三角形中的特殊线段 .平面几何中有许多与线段有关的问题 ,常可以通过巧取线段的中点后 ,转化为“中线”或“中位线”问题 ,然后再运用相关的性质来解决 .请看以下几例 .图 1如图 1 ,在四边形ＡＢＣＤ中 ,一组对边ＡＢ =ＣＤ ,另一组对边ＡＤ≠ＢＣ ,分别取ＡＤ、ＢＣ的中点Ｍ、Ｎ ,连结ＭＮ ,则ＡＢ与ＭＮ的大小关系是 .( 2 0 0 1年河北省初中数学竞赛题 )解　连结ＢＤ ,取其中点Ｐ ,连结ＰＭ ,ＰＮ ,则ＰＭ =12 ＡＢ ,ＰＮ =12 ＣＤ .∵　点Ｐ不在ＭＮ上 (否则ＡＢ∥ＣＤ ,使得四边形ＡＢＣＤ为平行…     

三角形中位线定理应用例谈

连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形的中位线,平行于第三边并且等于第三边的一半.这就是众所周知的三角形中位线定理.对于直角三角形ABC中,∠C=90°,设M为斜边AB的中点,则称MC为斜边上的中线.     

三角形旁切圆切点的一个性质

定理　设△ABC的旁切圆⊙Ia、⊙Ib、⊙Ic 分别切BC、CA、AB于点X、Y、Z .过YZ和BC的中点X1和D作一直线X1D ,及类似的直线Y1E和Z1F(如图 1) .则X1D、Y1E、Z1F三线共点且该点恰为△DEF的内心 .先给出下面的引理 .引理 1[1] 　分别过三角形三边中点的三条周界平分线交于一点 ,这一点称为第二等周中心 (证明略 ) .图 1　　　　　　图 2引理 2　若四边形的一组对边相等 ,则相等的这一组对边交角的平分线必平行于另一组对边中点的连线 .证明　如图 2 ,设四边形ABCD中 ,AD=BC ,E、F分别为AB、CD的中点 ,AD、BC的延长线交于点…     

三角形中位线定理在证明四边形问题中的应用

应用三角形中位线定理证明四边形的有关问题 ,经常要用“取中点 ,连中位线”的方法 ,但到底在什么地方取中点 ,怎样利用中位线呢 ?这就是我们要研究解决的问题 .例 1　如图 ( 1 ) ,在四边形ＡＢＣＤ中 ,Ｅ为ＡＢ上一点 ,△ＡＤＥ和△ＢＣＥ都是等边三角形 ,ＡＢ ,ＢＣ ,ＣＤ ,ＤＡ的中点分别为Ｐ ,Ｑ ,Ｍ ,Ｎ .求证 :四边形ＰＱＭＮ是菱形 .分析 :欲证ＰＱＭＮ为菱形 ,即证明ＰＱ =ＱＭ =ＭＮ =ＮＰ .由已知Ｐ ,Ｑ ,Ｍ ,Ｎ分别是四边形的中点 ,想到它们可能分别是三角形的中位线 .为此 ,先构造三角形 ,因而连结ＡＣ ,ＢＤ ,可推出ＰＱ =ＭＮ…     

三角形中位线定理应用例谈(上)

<正>(一)基础知识连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形的中位线,平行于第三边并且等于第三边的一半.这就是众所周知的三角形中位线定理.已知:如图1,△ABC中,D、E分别是边AB和AC的中点.求证:DE∥BC,且DE=1/2BC.证明连接CD,     

中点四边形的探究

顺次连接四边形四边中点所得的四边形,我们称为中点四边形.中点四边形的形状由原四边形对角线之间的数量和位置关系决定,下面分类进行说明: 一、对角线的数量关系和位置关系为任意 如图1,已知:四边形ABCD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.四边形EFGH是什么特殊四边形?为什么? 探究:连接AC、BD.因为E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,所以EF、GH分别是△ABC、△ADC的中位线,则EF// AC,GH//AC,所以EF∥GH,用同样的方法可得EH∥FG.根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得,四边形EFGH是平行四边形.     

用平几的推广定理解立几竞赛题

平几中有这样一个定理: 定理四边形ABCD中,E、F分别是对角线ACFD的中点,则 可以把上述定理推广到四面体中去: 推广定理四面体ABCD中,E、F分别是棱AC、BD的中点,则 推广定理沟通了四面体两对棱中点的连线段与四面体六条棱之间的关系.利用它可以巧妙、简捷地解决一类立几竞赛题.     

关于四边形的两个定理在平面及空间中的拓广

文[1]介绍了关于四边形的两个定理:中线定理:如图凸四边形ABCD中,E,F,G,H是各边中点,EF,GH是两条中线,则2(EF2-GH2)＝AD2+BC2-AB2-CD2.对角线定理:如图凸四边形ABCD中,对角线AC,BD的夹角为a,a的对应边为AD,BC,则2AC·BDcos a＝(AB2+CD2-AD2-BC2)/2.     

外切于圆的凸四边形的两条性质及推论

外切于圆的凸四边形有如下的两个结论,我们以定理的形式介绍. 定理1 外切于圆的凸四边形中,若一双对边的延长线相交,则另一双对边中的一条边的一端点处的内角平分线与另一端点的切点弦直线相交,所得两交点的连线平行于这一条边.     

两道平几题的演变

立足课本,对典型例题进行形变、联想、引伸、拓广,由例及类,解决一道,带动一串,不仅有利于落实双基。特别是能使学生养成深索习惯,培养和提高学生的应变能力和创造能力,把知识学活。融汇贯通,现举例如下: 例1(1)求证顺次连结四边形四条边的中点,所得的四边形是平行四边形。(初中《几何》第一册196页例题。) 如图1.1连对角线,利用三角形中位线定理,可得,故EGFH是平行四边形。     

关于四边形的两个定理

三角形中我们有余弦定理表示边与角的关系,在四边形中也有类似的定理. (1)中线定理 如图凸四边形ABCD中,E、F、G、H是各边中点,EF、GH是两条中线,则2(EF2-GH2)=AD2+BC2-AB2-CD2     

九点圆定理在三维空间的推广

众所周知,关于三角形有如下命题:九点圆定理在三角形中,以它的外心与垂心连线的中点为圆心,外接圆半径的一半为半径的圆,必通过9个特殊点,即:3个顶点与垂心连线的中点,3条边的中点,以及3条高的垂足.本文拟应用向量方法,将这个定理推广到三维空间的“共球有限点集”中.为此,我们     

梯形中位线定理的深化

初中数学课本中的许多重要概念、定理,需要同学们在知识积累中主动回味、反复发掘,才能较深入的领悟问题的本质.梯形中位线定理就是如此.四边形--梯形中位线定理的第一次接触在课本《四边形》一章中,梯形中位线定理的内容表述为:定理1如图1-1,在梯形ABCD中,AD∥BC,AM=MB,DN=NC,则MN∥BC,且MN=1/2(AD+BC).     

关于四边形的一个不等式

受文[1]的启发,笔者得到一个关于四边形的优美不等式,现整理出来供读者参考.定理在四边形ABCD中,AC,BD为对角线,则有AC2+ BD2≤1/2[( AB+ CD)2+(AD+ BC)2]①当且仅当四边形ABCD是平行四边形时不等式①取到等号.为证明定理,首先引用文[1]的一个定理,即双十定理凸四边形两条对角线的平方和等于两组对边中位线平方和的2倍.     

立体几何总复习

第一章直线与面—、例题例1 如图1—1(a),点P、Q,R、S分别是空间四边形ABCD四边的中点: (1) 若空间四边形ABCD的对角线AC、BD的长分别为a,b,AC和BD所成的角为θ,求四边形PQ-RS的面积。