一道赛题的补形解法及推广

第8届华罗庚少年数学邀请赛口试题如图1,P是正方形ABCD外一点,PB=12厘米.△APB的面积是90平方厘米,△CPB的面积是48平方厘米. 请你回答:正方形ABCD的面积是多少平方厘米? 答:正方形AB-CD的面积是289平方厘米.     

北京市高等学校1958年暑期招生数学試題及解答

試題 Ⅰ.(1)解方程:x-5=(x+7)~(1/2)。(2)由50个不同的元素中选出47个元素,問有多少种选法? (3)已知lg2=0.3010,試利用对数的性質判定2~7×8~(11)×5~(10)是几位数。 (註)lg是以10为底的对数的符号。 (4)求tg(arctg5/6-arctg3/8)的值。 (註)lg是正切函数的符号;arctg是反正切函数主值的符号。     

由围棋盘所想到的……

亲爱的同学们,你们当中的许多人一定喜欢下围棋．围棋盘是18×18的正方形网格,你想过它上边有多少个正方形吗? 设小正方形的边长为1．     

第六届美国初中数学考试试题

(一990年l一月29日14:00一14:40) (五里挑一) 1.在左图的六个方框中放入4、5、6、7、8、9,问能得到最小和是多少? 口口口 十口口口 (A)947;(B)1 037;(C)1047;(D)1056.(E)1 245.︸了nUOJ 00 .,.月,l口匀月了 ,.,︼八八门了门了 2.数最大? (A)l 3.0. 1 2 3 45中哪一位数字变成9后     

这样还贷款是否合理

20 0 0年高考前 ,北京市的一份练习中有这样一道应用题 :某人年初向银行贷款 1 0万元用于买房 .(Ⅰ )如果他向建设银行贷款 ,年利率为 5% ,且这笔借款分 1 0次等额归还 (不计复利 ) ,每年一次 ,并从借后次年年初开始归还 ,问每年应还多少元 ?(精确到 1元 )(Ⅱ )如果他向工商银行贷款 ,年利率为 4% ,要按复利计算 (即本年的利息计入次年的本金生息 ) ,仍分 1 0次等额归还 ,每年一次 ,每年应还多少元 (精确到 1元 ) ?参考答案为 :(Ⅰ )解　若向建设银行贷款 ,设每年还款ｘ元 ,则1 0 5 × (1 1 0 × 5% ) =ｘ(1 9× 5% ) ｘ(1 8× 5% ) ｘ(…     

第3届女子数学奥林匹克(5—8题)

5　设u ,v ,w为正实数 ,满足条件uvw +vwu +wuv≥ 1,试求u +v +w的最小值 .　 (陈永高　供题 )6　给定锐角三角形ABC ,点O为其外心 ,直线AO交边BC于点D .动点E ,F分别位于边AB ,AC上 ,使得A ,E ,D ,F四点共圆 .求证 :线段EF在边BC上的投影的长度为定值 .(熊斌供题 )7　已知 p ,q为互质的正整数 ,n为非负整数 .问 :有多少不同的整数可以表示为ip +jq的形式 ,其中i,j为非负整数 ,且i+j≤n .(李伟固　供题 )8　将一个 3× 3的正方形的四个角上各去掉一个单位正方形所得到的图形称为“十字形” .在一个 10× 11的棋盘上 ,最多可以放置…     

新编应用题选登

题 78　 某人从报社买进本市晚报的价格是每份0 .5元 ,卖出的价格是每份 1.0元 ,卖不掉的以每份0 .2元退回报社 .在一个月 (30天 )里 ,有 2 0天每天卖出 10 0份 ,其余 10天每天卖 5 0份 ,但每天从报社买进的份数必须相同 .他应该每天从报社买多少份 ,才能使所得的利润最大 ?最大利润是多少 ?解　设此人每天从报社买ｘ份 (5 0≤ｘ≤ 10 0 ) ,则每月卖出 (2 0ｘ +10× 5 0 )份 ,退回 10 (ｘ - 5 0 )份 .设 ｆ(ｘ)为每月所得的利润 .由于每份报纸卖出得利 0 .5元 ,退回亏损 0 .3元 ,则ｆ(ｘ) =0 .5 (2 0ｘ +10× 5 0 ) - 0 .3× 10 (ｘ - 5 0 )…     

单位分数的一个猜想的简证

分子为 1的分数称为单位分数 .文 [1 ]用初等方法证明了一个猜想 :猜想 1　设 0 <ｍ <ｎ ,(ｍ ,ｎ) =1 ,ｎ为奇数 ,则存在ｋ个不同奇数ｘ1,ｘ2 ,… ,ｘｋ,满足ｍｎ =1ｘ1+1ｘ2 +… +1ｘｋ文 [1 ]的证明用到如下结果 :定理 1　 945以内的正整数 (2除外 )均可表示为 945的不同约数之和 ,且表示法中最小约数能为 1 ,3 ,5 ,7四者之一 .定理 2　设正整数ａ≥ 3 ,则任何小于 3 ａ·5 ·7的正整数 (2除外 )均可表示为 3 ａ·5 · 7的不同约数之和 ,且表示法中最小约数能为 1 ,3 ,5 ,7四者之一 .文[1 ]中两个定理的证明非常复杂 ,特别是定理 1对 945…     

1999年小学数学奥林匹克初赛卷

(适用于五年级)(本卷时间90分钟,总分160分,每小题10分) I.计算:1999 999 99 9=——. 2.计算:丢 { 丢 { 吉= 3.计算:102 97 29 65 98 203 35 91=——. 4.计算:1999×123= . 5.在下边的乘法算式中,每个口表示一个数字,那么计算所得的乘积应是——. 2口 !,量王 8口 口口口 口口口4 6.用一个l,一个2,一个3可组成若干个不同的三位数,这些三位数一共有——个. 7.在一本数学书中,有100个插图是平行四边形,其中80个是长方形,40个是菱形,那么这本书的插图中正方形有——个 8.已知正方形.ABCD的对角线长为10厘米,则它的面积为——. 9.在方框中填人…     

哪种方案合算？

我爸准备向房地产商买一套 15万元住房 ,房地产商提供二种购房方案 :方案 1　一次将款付清可优惠 15 % ;方案 2　商定年利率为 8% ,按复利计算 ,从现在起每年这天支付 3万元 ,共分 5次等额付款 .问 :我爸选择哪种方案合算 ?解法 1　 (按将来值计算 )按第一种方案 :∵第一年住房售价为 15× 85 %万元 ,第二年住房售价为 15× 85 % (1+8% )万元 ,……第五年住房售价为 15× 85 % (1+8% ) 4 万元 .∴S1=15× 85 % (1+8% ) 4 ≈ 17.35 (万元 ) .按第二种方案 :∵第一年支付 3万元到第五年本息和为 3(1+8% ) 4 万元 ,第二年支付 3万元到第五年本…     

初二代数第二学期期末自测题

Ａ组一、填空题 (每小题 3分 ,共 36分 )1.916 的算术平方根是 ,2 7的立方根是 .2 .4的平方根是 ,立方根是 .3.化简下列各式 :94 9= ;27=;2ａａ+ｂ=.4 .已知ａ =2 ,ｂ =3,ｃ=5,则 ｂ2ａｂｃ的值是 .5.若 (ｘ - 5) 2(ｘ - 6 ) 2 =ｘ - 5ｘ - 6 ,则ｘ =.6 .计算 :( 1) 1010 0 0 =;( 2 ) 0 .0 1× 6 40 .36× 5=.( 3) 12÷ 2 7× 50 =.7.合并下列各式中的同类根式 :8+ 33+ 13- 52 =.ｘ4 + 2 1ａ - 4ｘ +ａ =.8.已知 5≈ 2 .2 36 ,3≈ 1.732 ,则 45- 3的值 (精确到 0 .0 1)是 .9.若ａｂ <0 ,则ａｂ2 =.10 .计算 ( 3+ 2 ) 2 0 0 3 ·( 3- 2 ) 2 0…     

如何对待学生的解题方法

算術四則应用問题(整數、分數),常常是一道題有好多种解法,由於思考的途徑不同,只要推理是正確的,就可能得出不同的解法;立出來的算式也就会各不相同,在我过去的教学中,由於輕率地否定学生的立式,曾經不止一次的得到过教訓,自讀过“有關算術四則应用問題的幾个問題”)一文以後,才使我从思想上明確起來,现在我把曾經碰到过的一些情况,以及我个人初步的一點体会介紹出来,希望數学老師們,予以指正和批評。 (1)有一次,在我講完課本中88節例題11後,佈置学生做下面的題: “某人用1元買8分、5分的邮票,共買17張;問兩种邮票各買多少张?”这个題依照例題的解法,应該是这样: (1×100-5×17)÷(8-5)==15÷3=5(張)……8分一張的。17-5=12(張)……5分一張的。或(8×17-1×100)÷(8-5)==36÷3=12(張)……5分一張的。17-12=6(張)……8分一張的。     

“魔八方”与斐波那契数列的联系

杨老师在选修课《数学与生活》上耍了一个名叫“魔八方”的魔术 :把 8× 8的小方格纸板按图 ( 1 )那样剪成四块 ,再把这四块纸板按图 ( 2 )那样拼成一个5× 1 3的小方格长方形 .真奇怪 !怎么面积由原来的 64变成了 65呢 ?这个魔术非常有趣 ,杨老师让我们认真研究 .下面我们来揭示这个魔术 .按图 ( 2 )那样建立坐标系 ,则 O( 0 ,0 ) ,A( 5,2 ) ,B( 8,3) ,显然 KOA=25>KOB=38.可见边线OA,OB不会重合 ,存在空隙 .通过这个魔术 ,我们想 :边长 n取哪些整数时 ,可以构造“魔八方”魔术呢 ?即可以把 n× n的小方格正方形变为一个面积为 n2 …     

智慧窗

路程趣题如图,设有黑、黄两只蚂蚁,黑蚁沿正六边形的边,黄蚁沿等边三角形的边,以同时、同速、同方向从A点开始A——向前爬行.试问:它们各爬行几周,恰好又一次在A点相会. 安擞淮南三中（232007）王秉春历 判 断 请判断的匝阿丙7丽扼是有理数吗?吉林扶余县四马架一中（131226）刘孔范o8s④? 如图,计算/1 LZ Z3 Z4 ZS 上6的度数.湖南省剃阳市淮川二中（410300）袁拥军@③@@ 右图,圆的直径是10厘米,A、B、C、D分别为正方形各边的中点,求阴影部分的面积是多少平方厘米.山西省太谷县东盛小区（030800）要二海 已知:四边形/旧CD是正方…     

构造一次方程组 巧求阴影面积

一、解课本题例1(人教版九年义务教材初中几何第三册第180页第9题)如图,已知正方形的边长为a厘米,以各边为直径在正方形内画半圆,则半圆所围成的图形(阴影部分)的面积等于多少平方厘米?分析图中含有形状不同的两类图形,分别设为x和y,由图形特征知2个x和1个y组成一个半圆,而4个x和4个y组成一个正方形.     

2003年中考数学模拟试题(9)

一、选择题 (本大题满分 3 6分 ,每小题 3分 )1 . -2与 2ｍ互为相反数 ,那么ｍ等于 (　 ) .Ａ . -1　　Ｂ .1　　Ｃ .14　　Ｄ . -142 .我国某年石油产量约为 1 70 0 0 0 0 0 0吨 ,用科学记数法表示为 (　 ) .Ａ .1 .7× 1 0 - 7吨　　　Ｂ .1 .7× 1 0 7吨Ｃ .1 .7× 1 0 8吨Ｄ .1 .7× 1 0 9吨3 .下列计算正确的是 (　 ) .Ａ .( -1 ) 0 =-1　　Ｂ .3× ( 12 ) - 2 =3× 2 2Ｃ .( 5 3) 2 × 5 4=5 0 Ｄ .( -3 5)÷ ( -3 ) 3=-3 24.下列根式中 ,与 1 2 是同类二次根式的是 (　 ) .Ａ . 2　　Ｂ . 3　　Ｃ . 5　　Ｄ . 75 .化简 ( 1ａ-1ｂ)·…     

智慧窗

十秒趣题五则 1.看你能多快把下列数字的乘积求出来:110×108×3×6120×3341×6890×1187×0 2.如果一台钟用5秒钟敲响6点,那么它敲响12点要用多长时间? 3.一个三角形的边长分别为17、35和52厘米.它的面积是多少平方厘米?     

竞赛综合能力训练(一)

1.计算832(19/125)÷0.3= 2.如果(7/12-1/4)÷5/12-(□-2/3)=1/5,方框代表的数是__。 3.三角形数和正方形数如图1-1所示:     

等比数列易错点分析

等比数列的通项公式及前ｎ项和公式是两个很重要的公式 ,同学们在运用时往往会出现一些错误 ,现总结如下 .1　搞不清“首项”与“项数”导致错误例 1　 (高中数学课本第一册Ｐ1 2 9第三题 )某种细菌在培养过程中 ,每半小时分裂一次 (一个分裂为两个 ) ,经过 4小时 ,这种细菌由一个可繁殖成多少个 ?错解 :由题意 ,每次分裂后得到的细菌个数构成一个等比数列 ,记为 {ａｎ},且ａ1=1 ,ｑ=2 ,经过 4个小时 ,共分裂 8次 ,由等比数列的通项公式得ａ8=ａ1ｑ7=1× 2 7=1 2 8.答 :经过 4小时 ,共可繁殖成 1 2 8个细菌 .剖析　 1个细菌经过半小时分裂一…     

几何教学联系农业生产的几个例子

“学习数学对于参加农业生产是否用得上?”这个存在已久的老问题,是数学教学长期脱离生产斗争的具体反映,我们教师必须引起重视。下面介绍一些在修堤筑路中所遇到的土方计算问题,这些问题是与几何教学有着密切的联系。 (一) 计划修一条长50m的拦河坝,横断面是梯形,坝顶宽2m,坝高5m,迎水坡面与地面所成的角为28°,背水坡面与地面所成的角为36°。那么修此坝需多少方土?如果每个劳动力每天的工作量按3方来计算,需要多少个工才能完成? 解.如图1,可按拟柱体计算,我们有公式 V_(拟柱)=1/6h(Q_1+Q_2+4Q_0) 上底面积Q_1=长×宽=2×50=100(m~2), 又断面梯形下底=5ctg28°+2++5ctg36°≈18.3(m), ∴下底面积Q_2=长×宽=50×18.3=915(m~2), 中断面面积Q_0=长×宽(梯形中位线)=