双曲型仿射不变流的最优系统及群不变解

利用李点对称群理论, 研究了双曲型仿射不变流的对称群, 构造了几何流对应的最优系统, 并利用最优系统对方程进行约化, 讨论了群不变解.     

一个(3+1)维非线性偏微分方程的有限对称变换群和精确解

基于符号计算与对称群直接法研究了一个(3+1)维非线性偏微分方程 的对称群与精确解, 获得该方程的李点对称群和非李对称群. 最后通过广义射影 展开法研究方程的精确解, 并由获得的有限对称变换群构造了相应新的一般解.     

群S4对称高维自治系统的Hopf分岔

研究群对称高维自治系统的Hopf分岔.利用Lyapunov-Schmidt方法得到分岔问题的约化映射,讨论约化映射的对称性和不变子空间,由此导出分岔方程,利用分岔方程不仅研究了Hopf分岔解的对称结构,而且得到了Hopf分岔产生的条件.     

修正的Kadomtsev-Petviasvili方程的对称和守恒律

修正Kadomtsev-Petviasvili (MKP)方程是非线性偏微分方程和物理学中的一个重要模型. 最近楼森岳教授指出从可积系统的一个点李对称出发, 可以得到无穷多的守恒律. 应用楼教授的思想, 首先研究MKP方程的经典的李点对称, 然后根据二阶延拓结构(Lie-Bäcklund算子), 构造MKP方程的无穷多守恒律.     

一个3＋1维非线性发展方程和Maccari系统的对称群及精确解

利用广义对称群方法和符号计算,首先得到了一个3＋1维非线性发展方程和Maccari系统的李群以及非李对称变换群,然后利用它们求出的对称群以及一些简单的种子解构造出新解．     

非线性科学中的对称性研究及其应用

自1990年宁波大学非线性科学课题组完成非线性系统对称性约化的第1个对称性专题研究以来, 宁波大学的非线性科学研究,特别是非线性系统的对称性研究成为一个特色, 引起了同行的广泛关注. 宁波大学非线性科学团队在对称性研究方面的主要进展有: 递推算子的因式化和逆递推算子及逆对称和逆可积梯队、形式级数对称法、非局域对称及其局域化、达布变换和非局域对称、条件对称和分离变量法、对称群直接法、群不变非线性系统分类、超对称和玻色化、留数对称、从对称性到达布变换、非局域对称的对称性约化和相容Riccati展开法、完备对称和可积性、大气和海洋系统中的对称性应用、离散对称和多地物理学、局域对称和非局域对称的对偶及可积系统的正梯队和负梯队的对偶等.     

玻色化方法在超对称可积系统的应用

利用玻色化方法可以避免超对称可积系统中反对易费米场带来的计算困难. 本文以N=1超对称mKdVB系统为例, 利用玻色化方法, 将其转化为只有玻色场的耦合系统. 应用标准的WTC方法, 证明了该耦合系统具有Painlevé性质. 运用Painlevé截断方法, 可以得到玻色化后超对称mKdVB系统的非局域对称. 为了求解与非局域对称相关的Lie第一性原理, 引入新的场将玻色化后系统拓展为更大的系统. 通过引入新的场, 该非局域对称局域化为Lie点对称. 因此, 可以利用Lie点对称约化方法研究拓展后的系统, 得到超对称mKdVB系统的孤子与其他孤波相互作用解.     

求矩阵方程(N∑l=1)AlXlBl=C对称解的一个迭代算法

给出一个迭代算法求解线性矩阵方程(N∑l=1)AlXlBl=C的对称解X1,X2,…,XN,利用这个迭代算法可以判断这个方程是否有对称解.当矩阵方程相容时,可以通过有限步迭代之后得到它的对称解;当选择特定的初始值时,迭代之后得到的是其极小范数对称解;此外,通过求新线性矩阵方程的极小范数对称解能够得到给定矩阵的最优逼近解.最后给出了一个数值例子来验证结论.     

一种生成对称群S9所有Sylow-p子群的算法

根据对称群的基本性质以及第二同构定理，给出了通过添加生成元到P群来构造对称群的一个Sylow-p子群的定理，添加的生成元保证能够快速得到对称群的一个Sylow—p子群．根据第二西洛定理求出了所有共轭子群，即所有Sylow-p子群．针对求所有共轭子群过程中面临共轭子群出现重复的问题，利用正规化子的性质，找到使得两个Sylow-p子群共轭的元，保证每次求的Sylow-P子群不重复．将此算法应用于S1，实验表明该算法可操作性强，耗费时间少．     

对称理论在解若干非线性问题中的应用

将摄动理论和对称约化理论结合起来对研究扰动非线性方程具有重要的意义. 本文利用近似对称约化理论研究了扰动mKdV方程, 得到了该方程的各阶近似约化方程和级数约化解. 本文还讨论了同伦近似对称方法在求解不可积系统中的应用以及利用对称和守恒律的关系求解非线性系统的无穷多守恒律等问题.     

基于扩展主对称方法的Kadomtsev-Petviashvilli方程的对称与无穷维李代数

提出了扩展的主对称方法, 将它应用于2+1维可积模型—–Kadomtsev-Petviashvilli (KP)方程, 获得了该方程中含有时间 的任意函数的广义对称, 无需使用复杂的递归算子, 即可直接从对称定义方程中得出关于KP方程对称的显式简单构造公式. 本文中所有提到的对称都是此方程对称的特例, 同时, 还给出了由这些对称构成的一般无穷维李代数.     

Kadomtsev-Petviashvilli方程的直接相似约化

Clarkson和Kruskal发展的直接法(CK直接法)是求解非线性微分方程相似约化的一种强有力的方法. 本文以Kadomtsev-Petviashvilli(KP)方程为例, 运用CK直接法把KP方程简化为3种类型的(1+1)维偏微分方程, 这3种偏微分方程等价于经典Lie方法得到的3种具有不同独立变量的相似约化方程. KP方程的解包含了更多经典Lie方法所遗漏的任意函数, 例如, CK直接法得到的第3类约化可以分为3个子情形, 而经典Lie法得到的KP方程的第3类解只是我们结果的一个子情形的特例.     

Kac-Moody-Virasoro可积系统

通过研究Kadomtsev-Petviashvilli(KP)方程对称, 得到相应的无穷维李代数—–Kac-Moody- Virasoro(KMV)代数, 并运用KMV代数的生成元和其中一个子代数—–Virasoro代数的延拓结构, 推导出熟知的Kadomtsev-Petviashvilli(KP)方程, 并以此为基础得到更多高阶(2+1)维和(3+1)维的可积模型, 并且这些模型都具有KMV代数性质.     

求非线性系统对称群的新方法

(1)从Lax可积系统的Lax对出发, 寻找非线性系统的对称及精确解, 利用这种方法可以解决不少(2＋1)维的可积系统, 它的优点在于比较简洁方便, 这从KP方程的求解对比就可以看出. (2)从CK直接法入手, 将这种方法进行修正, 利用这种修正的CK直接法求非线性系统的对称和精确解; 这种方法的最大优点在于不但可以用于可积系统, 而且也适用于不可积系统, 还可以求出离散群. 另外, 这种方法也适用于高维的不可积模型.     

非交换无色散Gelfand-Dickey方程族的附加对称

本文主要研究非交换无色散Gelfand-Dickey (GD)方程族的附加对称, 给出它的Lax函数及方程, 定义Orlov-Schulman函数和附加流. 在GD方程族约束情况下, 找出非交换无色散GD方程族附加流中的存活流, 同时研究特殊流得到弦方程并证明其形成一个无穷维李代数.