三角形中的特殊线的性质

<正>性质1如图1,△ABC中,D是BC的中点,AD、AE是∠BAC的等角线,AF是△ABC的外接圆切线交BC的延长线于点F.则BE/CE=BF/CF.证明∵D是BC的中点,∴BD=CD,∵AD、AE是∠BAC的等角线,由内角等角线的性质定理得AB²/AC2/AC²=BD·BE/CD·CE=BE/CE(1)∵AF是△ABC的外接圆切线,易证△ABF∽△CAF,于是AB/AC=BF/AF=AF/CF,从而AB2=BD·BE/CD·CE=BE/CE(1)∵AF是△ABC的外接圆切线,易证△ABF∽△CAF,于是AB/AC=BF/AF=AF/CF,从而AB²/AC2/AC²=BF/AF·AF/CF=BF/CF(2)     

例谈线段相等的证明技巧

<正>线段相等的证明灵活多变,在初中几何证明中频频登场．以下举例浅谈解这类问题的多种技巧,供同学们参考．1通过证明三角形全等来证明对应边相等例1如图1,AB∥CD,AB=CD,CE=BF,求证:DF=AE．分析欲证线段DF=AE,只需证明△CFD≌△BEA.证明因为AB∥CD,所以∠B=∠C．又因为CE=BF,所以CE-EF=BF-EF,即CF=BE.     

巧用中考试题进行中考复习(2)

(接上期) 7 拓广变式 变式7在梯形AB-CD中,AB∥CD,∠A=90°,AB=2,BC=3,CD=1. (1)在直线AD上是否存在一点E,使△BCE是直角三角形?若存在,求出AE的长;     

菱形中的一道精彩试题

<正>题目已知:如图1,△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,AE是角平分线,交CD于点F,EG⊥AB,G为垂足.求证:四边形CEGF是菱形.一、一题多证思路分析1先证四边形CEGF是平行四边形,再证EG=EC.证法一如图1,∵AE平分∠BAC,EC⊥AC,图1EG⊥AB,∴EC=EG,EG∥CF.又∵∠ACD+∠CAD=90°,     

2013年全国高中数学联赛加试试题及参考答案

<正>一、(本题满分40分)如图1,AB是圆ω的一条弦,P为弧AB内一点,E、F为线段AB上两点,满足AE=EF=FB.连接PE、PF并延长,与圆ω分别相交于点C、D.求证:EF·CD=AC·BD.证明如图2,连接AD,BC,CF,DE.由于AE=EF=FB,从而     

数学问题解答

20 0 3年 1 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 461　如图 :四面体D -ABC中 ,△ABC是边长为 1的正三角形 ,面DAB ⊥面ABC ,面ADC⊥面BDC ,求四面体体积的最大值 .解　过点A作AE ⊥CD交CD于点E ,则AE ⊥面DBC .过点D作DF⊥AB交AB于点F ,则DF ⊥面ACB ,设｜DF→｜=x ,根据题意 ,只需求x的最大值 .设AF→ =λAB→ ,则FB→ =( 1 -λ) AB→DE→ =μDC→ ,则EC→ =( 1 - μ) DC→AE→ =AD→ +DE→ =AF→ +FD→ + μDC→=λAB→+FD→ + μ( DB→ +BC→)=λAB→+ FD→ + μ( DF→ + FB→ + BC→)=(λ+ …     

周界中点三角形的几条性质的加强

如图1,设D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB上的周界中点,且约定BC = a,CA = b,AB = c,s = (1)/(2)(a b c),AE=BD=s-c,AF=CD=s-b,BF=CE=s-a.     

一个基本图形在中考题中的应用

大家知道,在复杂的几何图形中,往往可分解为几个基本图形.善于识别和分解基本图形,是提高解题速度,培养解题能力的有效途径.一、基本图形如图1,已知AB∥CB,AC、BD交于点E,EF∥AD交AB于点F.设AD=a,CB=b,EF=c求证:1a+1b=1c.然而求轨迹方此基本图形在各种教科书上都有出现,程善于从课本习题中总结提炼基本图形,抓住基本图形的特征并应用于解题,是学生善于学习的体现.二、基本图形的应用例1(2002年黄冈市中考题)已知:如图2,AB⊥BC,CD⊥BC,垂足分别为B、C,AC和BD相交点E,EF⊥BC,垂点为F,我们可以证明1AB+1CD=1EF成立(不要求…     

是对还是错

几何第二册第146页B组第二题:一组对角相等一组对边相等的四边形是平行四边形吗?李俊杰同学认为是对的,他的证明如下: 已知如图1,四边形ABCD中,∠B=∠D,AB=CD, 求证四边形ABCD是平行四边形. 证明分别过A、C作AE⊥BC于E,CF⊥AD于F→∠AEB=∠CFD=90°,∠B=∠D,AB=CD,则Rt△ABE≌Rt△CDF→①BE=DF,②AE=CF.连结 AC.在Rt△ACE与 Rt△CAF中,∠AEC=∠CFD=90°,AC=CA,已证AE=     

聚焦圆辅助线作法

<正>在几何计算和证明中,往往需要在已有的图形中添加辅助线.现就圆中相关的问题谈谈几种辅助线的作法,供大家参考.一、圆中有弦时,常作弦心距或连接半径例1如图1所示,CD是⊙O的直径,AE交⊙O于点B且AB=OC,∠EOB=84°,求∠A.证明连BO,∵BO=OE,∴∠OBE=∠OEB     

四边形的一个性质及其推论

<正>性质如图1,在四边形ABCD中,若∠BAD+∠BCD=α(0°<α≤180°),则(AC·BD)²=(AB·CD)2=(AB·CD)²+(AD·BC)2+(AD·BC)²-2AB·BC·CD·ADcosα.证明如图2,过点A、D分别作射线AE、DE交于点E,且使∠DAE=∠BCD、∠ADE=∠BDC,则△EDA∽△BDC.     

AI+BI+CI的一个上界

命题设I为△ABC的内心,则有不等式:AI BI CI≤3～(1/3)/3(AB BC CA).证明设内切圆I切BC,CA,AB于D,E,F.记AE=AF=x,BF=BD=y,CD=CE=z,则BC=y z,CA=z x,AB=x y.由余弦定理得cos2A=1 2cosA=1 AB22 ABAC·2A-CBC22=(xx( xy )(yx z)z),故IA=sin∠AEAIE=cosx2A=x(xx y)y( xz z).同理I     

一道中考题的解构与多解分析

<正>1试题呈现(2023年宜宾中考)如图1,以AB为直径的⊙O上有两点E,F,■,过点E作直线CD⊥AF交AF的延长线于点D,交AB的延长线于点C,过C作CM平分∠ACD交AE于点M,交BE于点N.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)求证:EM=EN;(3)如果N是CM的中点,且AB=9(5)^1/2,求EN的长.     

向量线性表示中与系数和有关的问题

<正>2009年安徽和2013年江苏高考试题中出现了一种求α+β的值(或最值)的试题,此类问题解决的常规方法有哪些?技巧方法是什么?1.α+β值的求解方法例1如图1,梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E、F分别是BC、CD的中点,若→AB=α→AE+β→AF(α、β∈R),则α+β=.     

对一道平面几何问题的探究反思

2010年第5期《数学通报》刊登了白玉娟、郭璋老师给出的1846号问题"在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D1,D2在AC上,且AD1=CD2,AE1⊥BD1于E1,延长AE1交BC于F1,AE2⊥BD2于E2,延长AE2交BC于F2.求证:∠AD1B+∠AD2B=∠CD1F2+∠CD2F1"的证明1.我们通过对该问题认真探究反思,得到了该问题的一些有意义的结论:一是该问题的多种证法,二是该问题的变形命题,三是该问题的原型命题,四是问题的推广引申.     

数学问题2095的简证及推广

《数学通报》2012年第11期刊登的第2095号问题是: 如图1,设⊙O的两条互相垂直的直径为AB、CD,E在BD上,AE交CD于K,CE交AB于L,求证:(EK/AK)2+(EL/CL)2=1. 供题人给出的解法多次运用正弦定理,过程比较曲折,且不易推广.本文将给出此题的简证,并将其推广到椭圆与双曲线的情形.     

一道几何题的简解及拓广

《中学生数学》2010年第10期(下)登载的"关于中点的一道题的五种解法"一文(下图1称文[1]),介绍的一道平几模拟题是:已知:等腰直角△ABC和等腰直角△ADE如图1放置,AE在AB边上,其中∠ABC=∠AED=90°,AB=CB,DE=AE,M为CD的中点,连结EM和BM.请你判断EM和BM的关系,并说明理由.     

常规试题亦能“演绎”别样精彩

教师在教学实践中,碰到学生问问题是再常见不过的事了,学生的问题以常规试题居多,但面对一道常规试题如能用非常规的思维方式去审视,亦能演绎出别样精彩. 1 题目再现 如图1,在△ABC和△DE中,∠BA C=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,连接CD、BE,F是CD的中点,连接AF,求证:AF=1/2 BE,AF ⊥BE.     

初三几何第一学期期中自测题

A组一、填空题(每小题3分,共24分)1.sin54°,cos35°,cos40°,tan50°从小到大的排列顺序是.2.已知∠A是Rt△ABC的一个内角,且tanA>1,那么∠A的取值范围是.3.如图,矩形ABCD中(AD>AB),AB=a,∠BDA=Q,作AE交BD于E,使AE=AB.试用a和Q表示AD=,BE=.4.已知tanA-cotA=2,那么tan2A+cot2A的值是.5.如图,在△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于D,CD=3,BD则sin∠ACD=,tanA=.6.在△ABC中,∠C=90°,AC=6,∠A的平分线交BC于点D,AD=43,则BC=.7.在直角梯形ABCD中,∠DAB=90°,上底CD=3,下底AB=7,BC=42,则底角B=,梯形ABCD的面积=.8.甲…     

利用相似三角形基本图形解题

<正>在解决有关相似三角形问题时,若能巧妙利用基本图形,则会使解题既轻松又快速准确.灵活运用A字型、X字型、斜截型等基本图形是解题的关键.1.相似三角形典型例题及分析例1如图1,在△ABC中,点D、E分AB、AC边上,DE∥BC,若AD∶AB=3∶4,AE=6,则AC等于().