广义特征值的扰动界限(Ⅱ)

本节将利用广义特征多项式的概念来研究广义特征值扰动界的上界估计.设A,B∈C~(n×n),首先定义一列算子:     

广义特征值的扰动界限(Ⅰ)

到目前为止,关于广义特征值的扰动,已经建立了一些界限估计,但一般正则对的扰动界限难以算出.首先,定义某些基本参数,并利用这些参数建立几个关于一般正则矩阵对的广义特征值的扰动定理.这些定理给出的扰动界限的上界估计,一般是可以算出的.     

矩阵特征值的几个扰动定理

1 引言 设A∈C~(n×m),B∈C~(m×m)(m≤n),它们的特征值分别为{λ_k}_(k=1)~n和{μ_k}_(k=1)~m.令 R=AQ-QB (1)这里Q∈C~(n×m)为列满秩矩阵.Kahan研究了矩阵A在C~(n×m)上的Rayleigh商的性质,证明了下列定理:设A为Hermite矩阵,Q为列正交矩阵,即Q~HQ=I,而B=Q~HAQ,则存在 1,2,… ,n的某个排列π,使得 {sum from j=1 to m │μ_j-λ_(π(j))│~2}~(1/2)≤2~(1/2)‖R‖_F (2)其中R如(1)所示,‖·‖_F为矩阵的Frobenius范数.刘新国在[2]中将此定理推广到B为可对角化矩阵的情形,并且还建立了较为一般的扰动定理:设A为正规矩阵,B为可对角化矩阵;存在非奇异矩阵G,使得G~(-1)BG为对角阵,则存在1,2,…,n的某个排列π,使得 │μ_j-λ_(π(j))│≤2(2~(1/2))nK(G)_(σ_m~(-1))‖R‖_F,j=1,2,…,m. (3)     

关于正规矩阵对广义特征值新的扰动界限

本文考虑了正规矩阵对的任意扰动时广义特征值的变化情况,给出了正规矩阵对任意扰动的Hoffman-Wielandt型扰动界,推广了正规矩阵对的相应的扰动结果.     

一类矩阵特征值的扰动

本文讨论可正规化矩阵和可对称化矩阵特征值的扰动。所谓可正规化矩阵和可对称化矩阵分别指相似于正规矩阵和Hermite矩阵的矩阵。     

任意矩阵的特征值的扰动估计

设A和B是两个任意的n阶方阵,其特征值分别为{λ_1,…,λ_n}和{μ_1,…,μ_n}.本文对此两组特征值的如下“距离”的界给出了若干估计: B对于A的谱改变量 A与B的特征值的改变量这里的结果包含了Bauer-Fike定理,并且优于Kahan-Parlett/Jiang定理及Chu,施和肖所得出的结果.     

关于矩阵特征值的扰动

则称S_A(B)为B对于A的谱改变量.当A为可正规化矩阵时,[2]中给出了S_A(B)的一个上界:假设Q~(-1)AQ=diag(λ_1,λ_2,…,λ_n),则     

一类特殊矩阵的广义特征值反问题

在给定部分特征值及部分特征向量的情况下讨论了一类特殊矩阵的议特征值反问题，给出了问题可解的条件及相应的算法和算例。     

关于正规矩阵特征值的扰动

设N与A均为n×n正规矩阵,其特征值分别为{v_i}_(i=1)~n与{α_i}_(i=1)~n。Hoffman和Wielandt证明了:存在1,2,…,n的一个排列π(1),π(2),…,π(n),使得|| ||_F表示Frobenius范数。 当N为n×n Hermite矩阵,A为n×n可对称化矩阵,即存在非奇异矩阵Q=I X,使得Q~(-1)AQ为Hermite矩阵时,Stewart证明了:如果N与A的特征值分别     

一类矩阵对的广义特征值的扰动界限

关于矩阵特征值的扰动,下面的结果是熟知的:若A与C皆为n阶正规矩阵,它们的特征值分别为α_1,…,α_n与γ_1,…,γ_n,则据Wielandt-Hoffman定理,存在1,…,n的一个排列k_1,…,k_n,使得     

EIGENVALUES ON THE BOUNDARY OF CERTAIN INCLUSION FOR THE SPECTRUM OF A MATRIX

We introduce four types of special eigenvalues which lie on the boundary of certain inclusion regions for the spectrum of a complex square matrix, i.e. , R_r(G_c)-,O(a)-,B_r(B_c)-. and OB(a)- eigenvalues. Then we characterize these eigenvalues and their corresponding eigenvectors for irreducible matrices, Finally we give some new sufficient conditions for an irreducible complex matrix to be nonsingular.     

关于特征值的Hoffman-Wielandt型相对扰动界

本文主要研究了关于特征值的Hoffman-wielandt型相对扰动界，改进了LiRC和Ipsen I等人关于这方面的相应结果．     

关于一些矩阵分解因子的扰动分析

关于一些矩阵分解因子的扰动分析刘新国（青岛海洋大学）ＯＮＴＨＥＰＥＲＴＵＲＢＡＴＩＯＮＢＯＵＮＤＳＦＯＲＳＯＭＥＭＡＴＲＩＸＦＡＣＴＯＲＩＺＡＴＩＯＮＳ￥ＬｉｕＸｉｎ－ｇｕｏ（ＱｃｅａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＱｉｎｇｄａｏ，Ｑｉｎｇｄａｏ）Ａｂｓｔ...     

广义奇异值的扰动

本文给出了一对矩阵的广义奇异值扰动的一致上界,并由之可导出普通奇异值扰动的经典定理。     

Rnyleigh商理论应用于矩阵特征值的收缩技术

This paper analyzes the influences of the deflation on the accuracy of the com pared eigenvalues of matrix. Based on the Rayleigh quotient theory, we proved that the influences, Generally speaking, are less important.     

关于矩阵多项式特征值界的注记

本文讨论矩阵多项式特征值定域问题.首先对Higham和Tisseur[Linear Algebra Appl.,358(2003),5-22]得到的结果给出较详细的比较.然后利用分块矩阵谱半径的估计给出了获取特征值界的一种新办法.利用这种新办法,不但可以简明地得出很多已有的界,且对椭圆及双曲矩阵多项式得出了特征值的新的界.