三角形底边分线公式及其特例

△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c。点D在BC上,且BD=ma,DC=na。则有 AD~2=mb~2 nc~2-mna~2。我们称此式为三角形底边分线公式,证明如下: ∵BD=ma, DC=na ∴BC=(m n)a ∴m n=1。由余弦定理可得: b~2=AD~2 n~2a~2-2AD·nacos∠ADC ① c~2=AD~2 m~2a~2 2AD·macos∠ADC ② m×① n×②. 得mb~2 nc~2=(m n)AD~2 (mn~2 m~2n)×a~2 ∴ AD~2 mb~2 nc~2-mna~2。     

由三角形角平分线得出的两个结论

<正>~~     

由余弦定理所想起的

余弦定理除了能“由三角形的两边长及其夹角求第三边长”及“由三角形的三边长求三内角”以外,还能解“已知三角形的两条边长及其中一边的对角求第三边”. [例1]如图1,作△ABC,使BC=4,CA=3,∠B=π/6,并求AB边的长. 作法(1)作线段BC=4; (2)以C为圆心,作半径为3的圆;     

三角形边的n等分线的性质及推广

<正>笔者学习贵刊2007年12月上半月刊(高中)《直角三角形斜边的n等分线的性质及推广》后,颇受启发.认同之余。不禁思考,能否作进一步推广.将直角三角形推广到一般三角形.如果可以,那么适用范围就会更广.经过大胆的假设和严密的论证,笔者得到以下结论.     

角平分线构成的三角形

角平分线构成的三角形陈计，庞火茂，陈聪杰（浙江省宁波大学数学系３１５２１１）一、引言符合某种条件的三角形的存在性，是三角形几何学研究中的一个基本课题，也是数学竞赛命题的一个好矿点（见［１］）．１８８９年，Ｃ．Ｐａｂｓｔ［２］指出：以西ＡＢＣ的中线ｍａ...     

由全等三角形判定猜想三角形面积

赵浩鹏同学由三角形全等的判定条件,想到在该条件下计算三角形的面积,想法非常好.这种自己提出问题,自己解决的自主学习钻研的学习精神和方法,值得大力提倡.     

由国美股权之争想起的

近来国美电器的股权纷争,个中缘由错综复杂,但归根究底,其祸根始于“将企业做大做强”的雄心壮志。比如对“上海滩”的家电霸主——永乐电器的并购,就是掌门人黄光裕狼性扩张策略的最好例证。     

三角形分角线共点的三角形式

对于△ABC,若AD与AB、AC分别交成角α_1、α_2,BE与BC、BA分别交成角β_1、β_2,CF与CA、CB分别交成角r_1、r_2。则AD、BE、CF共点于P 证明若AD、BE、CF共点于P,则由正弦定理可得: 又若(1)成立,令CF、BE交于P,PA与AF、AE分别夹角为a_1~＇、a_2~＇由必要性可知由①、②可得     

由三角形内角和谈起

一、基本知识一个三角形的三个内角之间有下面的重要关系:三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°.三角形中,一个内角的邻补角叫做这个三角形的一个外角.显然有(1)三角形的一个外角等于和他不相邻的两个内角之和.(2)三角形的一个外角大于任何一个和他不相邻的内角.     

由三角形的高线派生出的等边三角形

文[1]中笔者研究三角形性质时,发现了一个由三角形中线“生成”正三角形的问题,在文末笔者指出三条高线中能否有这种生成问题.最近,我们得到了如下结论.图1定理如图1,△ABC中,H是△ABC的垂心,H A、H B、H C的延长线上分别有点Z、L、M.若AZBC=BLAC=CMAB=33,则△ZLM是等边三角形.证明∵AZ=33a,BL=33b,CM=33c.(以锐角三角形为例)∵AH=2R cos A,∴H Z=2R cos A 13a,同理HM=2R cos C 13c.∵∠AH C=180-°B.ZM2=(2R cos A a3)2 (2R cos C c32) 2(2R cos C c)(2R cos A a3)cos B=4R2(cos2A cos2C 2cos A cos B cos C) …     

三角形角的关系及应用

三角形角的关系及应用山东省惠民师范学校李风坤众所周知，在△ＡＢＣ中，Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π，这是三角形三内角的基本关系．在此条件下，我们容易得到三角形三内角的另一关系，用定理形式叙述如下：定理三角形任一角的正弦的平方，等于其他两个角的正弦的平方和，再减去这两...     

三角形中大角不一定对大边

在△ABc中,迩匕滋为钝角,形B为锐角,它们祖对好边分别为,a、b.因方钝角的承弦位有可能比锐角的正弦值小,粉以、比.4可能小于_.*,~~,一sin月少;sinB,’即可能有“{竺黑<1, -一,””一”,i”刀一‘ . a户,口。 一一d通一n肠︸n一n S︸S根据正弦定理可知/若<‘”a<”·故三角形中大角不一定对大」边。1名。“限制了同一毛角形中角的大小联系.文中推理忽略了此隐含条件而成为虚假推理. 1.在一个三角形.中,其钝角的正弦伍一定比其锐角的正弦位大1因三角形的内角和为三角形中大角不一定对大边@王震$安徽舒城舒茶高级职业中学~~…     

广义三角形角的关系及应用

广义三角形角的关系及应用帅泽平（湖南省常德西洞庭一中４１５１３７）从所周知，在△ＡＢＣ中余弦定理表达形式之一为：ａ２＝ｂ２＋ｃ２－２ｂｃｃｏｓＡ．因这个式子揭示了三角形的边与角之间的内在联系，能否将式子表示为三角函数的形式呢？利用正弦定理ａｓｉｎＡ＝...     

3倍角三角形的性质初探

在△ＡＢＣ中,若∠Ｃ＝ｎ∠Ｂ,∠Ｂ＝ｎ∠Ａ,ｎ∈Ｎ,则称△ＡＢＣ为。倍角三角形． 当ｎ＝１时,即为正三角形;当ｎ＝２时,则∠Ｃ＝２∠Ｂ,∠Ｂ＝２∠Ａ,此时 ∠Ａ：∠Ｂ：∠Ｃ＝２～０：２～１：２～２,我们称△ＡＢＣ为２倍角三角形． 关于２倍角三角形,文［１］已给出了若干有趣的性质． ２倍角三角形性质可以给出许多竞赛题以新解,简解,见文［２］． 当ｎ＝３时,∠Ｃ＝３∠Ｂ,∠Ｂ＝３∠Ａ,则∠Ａ：∠Ｂ：∠Ｃ＝３～０：３～１：３～２,称△ＡＢＣ为３倍角三角形,关于３倍角三角形,笔者初步得到如下性质： （１）当∠…     

关于三角形角平分线的一个不等式

关于三角形角平分线的一个不等式杨学枝（福州二十四中３５００１５）１引言陈计先生在《专著（几何不等式新进展）的补遗（１）》（见宁波大学理工版学报，１９９１年第２期）以及《中学教研（数学）》（浙江），１９９２年第５期‘难题征解’栏中，提出了同一个问题：三...     

探究三角形角平分线上点的性质

<正>一、点在三角形内角平分线上探究一如图1,AD是△ABC的内角平分线,P是AD所在直线上一点(P不与A、D重合),BP、CP分别交AC、AB于点E、F,直线EF交BC的延长线于点D′,则AD′是△ABC的外角平分线.证明在△ABC中,由塞瓦定理得BD DC·CE EA·AF FB=1①     

正方形与45°角的三角形

含45°角的三角形与正方形之间存在着内在联系,找出它们之间的微妙关系,可培养对此类问题的直觉思维能力,从而能对与它有较复杂关系的一些问题作出快速的判断.     

三角形中角平分线基本形及其应用

<正>八年级学生学习了三角形后,会经常遇到一类有关三角形角平分线问题,本文对其基本图形进行归纳,并例析其应用.在△ABC中,∠A=α,(1)如图1,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,则∠BDC=90°+α/2;(2)如图2,BD平分三角形的外角     

角成等比的三角形的形状

至于角成等差而边成等差或等比的三角形的形状是较易于判定的,但对于角成等比的三角形的形状的判定却比较困难。本文试图通过求偏导数的方法解决这个问题。问题1 已知△ABC的三内角A、B、C成