Wave features related to the equations of a moving threadline

The equations governing the plane vibrations of a moving threadline are studied from the point of view of linear and nonlinear wave theory. Some exact solutions to the quasilinear hyperbolic associated model are obtained and a new evolution equation, found by applying a suitable reductive perturbation method, is investigated.

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Riassunto In questa Nota si studiano le equazioni che descrivono le vibrazioni piane di un filo flessible mettendo in luce le proprietà legate alla propagazione ondosa lineare e non lineare compatibile con il modello. Si determinano alcune soluzioni esatte del sistema quasilineare iperbolico associato e si investiga l'equazione di evoluzione trovata considerando un opportuno sviluppo asintotico delle variabili di campo.

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Work supported by the C.N.R. through the G.N.F.M. and by M.P.I. through Fondi per la ricerca scientifica 40% e 60%.     

On a class of quasilinear hyperbolic reducible systems allowing for special wave interactions

Summary A class of quasilinear hyperbolic reducible systems, which involve two first order homogeneous equations in one space dimension and time, is characterized by requiring the associated hodograph system to reduce to a particular canonical form allowing explicit integration. Furthermore for the mathematical models so determined, it is shown that any two pulses travelling in opposite directions interact on colliding but emerge with unaffected profiles from the interaction region. Such a kind of situation, though in a different physical context, is similar to that occurring in nonlinear dispersive media when two solitons collide but emerge unaltered from the interaction. Finally, the governing system of isentropic fluid-dynamics is considered. In this case it is determined a set of multiparameter pressure-density laws which allow for the soliton-like interactions studied herein.

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Riassunto In questo lavoro si caratterizza una classe di sistemi quasilineari del primo ordine iperbolici e riducibili che consentono un'esplicita integrazione dell'associato sistema odografo. Si dimonstra poi che i modelli matematici così determinati sono atti a descrivere interazioni di tipo solitonico tra onde semplici che viaggiano in direzione opposta. Infine nel caso del sistema della fluidodinamica isentropica, si caratterizzano delle forme funzionali per il legame pressione-densità che sono compatibili con le particolari interazioni tra onde semplici del tipo su menzionato.

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This work was supported by the C.N.R. through the G.N.F.M.     

Individuazione delle singole equazioni delle rette inflessionali in unS 3 Euclideo

Riassunto Introducendo uno speciale riferimento intrinseco, il sistema algebrico di nono grado delle rette inflessionali di una trasformazione puntuale tra dueS ₃ euclidei si spezza in sistemi di secondo grado, consentendo di determinare le equazioni separate delle singole rette inflessionali e delle proiettività caratteristiche esistenti tra le coppie di rette corrispondenti.

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Summary By introducing a special frame, the algebraic system of nineth degree of the inflexional straight lines of a pointwise transformation between two euclideian spacesS ₃ is split into second degree systems. This allows us to determine the separate equations of each inflexional straight line and of the characteristic projectivities between the pairs of corresponding straight lines.

     

Legge di evoluzione delle discontinuità e determinazione di una classe di potenziali elastici compatibile con la propagazione di onde eccezionali in un mezzo continuo sottoposto a particolari deformazioni finite

Sommario Si determina un potenziale elastico compatibile con la completa eccezionalità delle onde di discontinuità in un mezzo isotropo con simmetria cilindrica sottoposto a deformazioni finite. Si scrive, inoltre, la legge di evoluzione delle discontinuità e si danno delle condizioni analitiche per la formazione di onde d'urto.

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Summary We point out an elastic potential requiring the existence of exceptional waves in an isotropic medium with cylindrical symmetry subject to finite deformation. The evolution of weak discontinuity and the analytic condition for occurrence of shock waves are determined.

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Lavoro eseguito nell'ambito dei contratti di ricerca del C.N.R., Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica.     

Similarity solutions and model constitutive laws to viscoelasticity with application to nonlinear wave propagation

Nonlinear viscoelastic media are investigated within the framework of the group analysis. By requiring the governing system of equations to be invariant under the dilatation group, some classes of material response functions are characterized. Furthermore several sets of self-similar solutions to the model of interest are determined. Finally for the Maxwell media wave propagation into a non constant state described by a similarity solution is studied and the occurrence of a shock wave is considered.

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Riassunto Si considera un modello per i mezzi viscoelastici non lineari nell'ambito dell'analisi gruppale. Richiedendo che il sistema di equazioni di interesse sia invariante rispetto al gruppo di dilatazione, si caratterizzano delle classi di funzioni di risposta per il materiale. Inoltre si determinano diverse soluzioni di similarità. Successivamente nel caso dei mezzi di Maxwell si studia la propagazione di onde di discontinuità in uno stato non costante descritto da una soluzione di similarità. Infine si discutono le condizioni per l'esistenza di un tempo critico a cui un'onda d'urto può formarsi.

     

Some observations on cohomologicallyp-ample bundles

Sunto Usando un recente risultato di Deligne e Illusie si prova un teorema di annullamento per la coomologia di un fibrato coomologicamente p-ampio. Si studiano le proprietà dei gruppi di coomologia dei fibrati vettoriali nel caso in cui il morfismo di Frobenius si estenda a un sollevamento della varietà su W₂(k), anello dei vettori di Witt di lunghezza 2 del campo. Si studiano, infine, a titolo di esempio, i fibrati coomologicamente p-ampi su P^d.

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Partially supported by the MRST 40% and 60% funds.     

Sulla influenza dell'effetto Hall nella propagazione di onde magnetofluidodinamiche iu un fluido incomprimibile

Sunto Si esamina l'influenza dell'effetto Hall sulla propagazione ondosa it un fluido incomprimibile descritto dalle equazioni della magnetofluidodinamica nello schema del continuo. Nella parte I si studia dapprima la propagazione di onde piane di piccola ampiezza e poi quella delle onde di ampiezza finita. Nella parte II l'indagine é estesa alle onde cilindriche e nella parte III infine si discute la propagazione di onde piane e cilindriche nel caso in cui nello stato imperturbato il fluido non sia in quiete, bensì in moto uniforme. Nel lavoro si tiene conto delle azioni dissipative della viscosità e della conducibilità elettrica finita.

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Summary In this paper we discuss wave propagation in an incompressible conducting fluid considered as a continuous medium taking account of the Hall effect. In Part I we first consider the propagation of plane waves of small amplitude and secondly waves of finite amplitude. In Part II the discussion is extended to cylindrical waves and in Part III the propagation of plane and cylindrical waves is examined when in the unperturbed state the fluid is not at rest, but in a state of uniform motion. The dissipative effects of viscosity and finite electrical conductivity are taken into account in the present paper.

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A Bruno Finzi nel suo70mo compleanno.

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Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività dei Gruppi di Ricerca Matematica del C.N.R. (Anno 1969) presso l'Istituto di Matematiche Applicate ? U. Dini ? della Facoltà di Ingegneria dell'Università di Pisa.

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Entrata in Redazione il 20 ottobre 1969.     

Wave features for a heat conductor with thermal relaxation

Summary In the context of the nonlinear wave theory we study, in the case of a rigid heat conductor, the model proposed by G. Grioli. We point out some properties concerning exceptionality conditions and shock waves. We obtain some functional forms for the specific internal energy at equilibrium and for the heat conductivity by which a weak discontinuity wave never breaks down. Moreover we verify that the model is strictly exceptional.

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Sommario Nell'ambito della teoria delle onde non-lineari si studia un modello per la propagazione del calore proposto da G. Grioli, nel caso di un conduttore rigido.Richiedendo che il sistema di equazioni che regge il modello sia completamente eccezionale si ottengono alcune forme funzionali per l'energia interna all'equilibrio e per la conducibilità termica.Si verifica ehe il sistema é altresi strettamente eccezionale.

     

On the wave interaction in a charged fluid with Hall and ion slip-currents

Summary The evolution of non linear small perturbations in a charged fluid with generalized Ohm's law is considered, pointing out the possibility of effects due to interaction between different waves. Following the perturbative reductive methods, some phase functions for studying interaction are introduced. A suitable hypothesis on their evolution permits us to prove that the amplitudes of the first order perturbation obey Burgers-like equations, in which the dissipative terms are not influenced by the Hall effect.

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Riassunto Si studia l'evoluzione di piccole perturbazioni in un sistema M.F.D. con legge di Ohm generalizzata, prendendo in considerazione gli effetti della mutua interazione tra onde appartenenti a differenti famiglie di caratteristiche. Mediante tecniche di tipo perturbativo riduttivo e con l'introduzione di opportune funzioni di fase, si mostra che le ampiezze delle perturbazioni sono regolate, in prima approssimazione, da equazioni del tipo di Burgers in cui i termini dissipativi non dipendono dall'effetto Hall.

     

Gibb's variational principles for the equilibrium of continuous systems with an interface

A mathematical formulation of the Gibbs variational principle is supplied for the equilibrium of a system of to fluids with an interface adsorbing or not and permeable or not. These properties of the interface are represented by suitable constraints for the admissible variations.

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Sunto Viene fornita una rigorosa formulazione del principio variazionale di Gibbs per l'equilibrio di un sistema di due fluidi con un'interfaccia assorbente o non ed impermeabile o non. Dette proprietà dell'interfaccia sono tradotte da opportuni vincoli per le variazioni ammissibili.

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Work partially supported by G.N.F.M. of the Italian C.N.R.     

Sull’approssimazione di una trasformazione fra piani mediante trasformazioni quadratiche

Riassunto Si dimostra che le corrispondenze fra due piani che in una coppia generica ammettono una trasformazione quadratica quasi prossima d’ordine 3 94) sono quelle le cui curve caratteristiche sono rette (rispettivamente le trasformazioni quadratiche).

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Résumé On démontre que les correspondences entre deux plans qui dans un couple générique possèdent une transformation quadratique presque prochaine d’ordre 3 (4) sont celles qu’ont pour courbes caractéristiques des droites (ou respectivement les transformations quadratiques).

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Lavoro eseguito nell’ambito dell’attività dei Gruppi di Ricerca Matematica del Consiglio Nazionale delle Ricerche.     

Quasi-invariant manifolds,stability, and generalized Hopf bifurcation

Sunto Viene compiuta un'analisi completa del problema della biforcazione di Hopf relativa ad arbitrarie piccole perturbazioni del secondo membro di un'equazione differenziale in Rⁿ, p=f₀(p). Gli autovalori di f₀(O) soddisfano una condizione di non risonanza. I risultati sono forniti in termini delle proprietá di stabilità di un sistema dinamico piano convenientemente associato all'equazione imperturbata.

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Research partially supported by U.S. Army Research Grant DAAG-29-80-C-0060 and by C.N.R. (Italian Council of Research) contr. 79.00696.01.

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Work performed under the auspices of the National Group of Math, Phys. of C.N.R.     

A class of diffraction problems in diffusive absorption phenomena

Riassunto Si considera la diffusione di una sostanza in due strati adiacenti di materiali, in uno dei quali la sostanza viene assorbita secondo una legge in cui la velocità di penetrazione è funzione crescente della concentrazione della sostanza sul fronte. Si dimostra l'esistenza globale di una soluzione del problema e si investigano alcune sue proprietà qualitative.

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Work partially supported by the Italian C.N.R. (Progetto strategico « Applicazioni industriali e tecnologiche della matematica »).     

The group of pythagorean triples in Number fields

Sunto Generalizzando precedenti definizioni, si introduce il gruppo delle terne pitagoriche nell'anello di interi R di una fissata estensione finita K di Q. Sia S l'anello degli interi di K(i): si dà una descrizione esplicita di tali gruppi in termini delle unità di S, del suo gruppo di classi di ideali e di opportuni ideali primi di S.

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Lavoro eseguito con il contribute del M.P.I.     

A remark on some degenerate elliptic problems

We prove existence of bounded weak solutions to a quasilinear degenerate elliptic equation in divergence form.

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Sunto Dimostriamo l'esistenza di soluzioni deboli limitate per una equazione ellittica, quasilineare, degenere, in forma di divergenza.

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We acknowledge the support of MURST (60%, 40%) and GNAFA-CNR.     

Sulla propagazione ondosa in un sistema viscoelastico lineare in presenza di forze di massa

Riassunto Si studia la propagazione ondosa che si determina in un sistema viscoelastico lineare sotto l'azione di assegnate forze di massa e per effetto di prefissate condizioni al contorno. Mediante l'analisi asintotica di una particolare serie di Neumann che interviene nella soluzione, si dimostrapoi l'esistenza di una regione di ?strato limite? pert→∞, in corrispondenza di tempi di rilassamento molto ?piccoli?.

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Summary We study the wave propagation which takes place in a linear-viscoelastic model under the action of prefixed mass forces and of boundary data. The solution of this problem is expressed by means of a particular Neumaun's series. The asymptotic analysis of it shows the existence of a boundary-layer region fort→∞ when very ?small? characteristic relaxation times occur.

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Lavoro eseguito nell'ambito del G.N.F.M. del C.N.R.     

Applications of polarity

Sunto Nella prima parte di questo lavoro si sviluppa la geometria differenziale del triedro mobile per il gruppo SL(n). La polarità nella sfera unità trasforma una matrice di Frenet C in — C^T per varie geometrie lineari e proiettive. Nella seconda parte si deriva una serie di disuguaglianze integrali basate sulla trasformazione per polarità. Nella terza parte si calcola la trasformazione della matrice Hessiana e della curvatura di Gauss in polarità e ne fa applicazione ai teoremi di rigidità di Liebmann-Hilbert e J?rgens-Calabi-Pogorelov.

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ToBeniamino Segre on his 70-th birthday

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Entrata in Redazione il 18 settembre 1974.

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Research partially supported by NSF Grant GP-27960. AMS (MOS) classification: 26 A 84, 28 A 86, 35 A 30, 35 K 99, 53 A 15, 53 A 20.     

Cobordism characteristic classes

Sunto. Viene generalizzata al caso di varietà PL la nota costruzione dei cicli rappresentativi delle classi caratteristiche di una varietà differenziabile come autointersezioni del fibrato tangente proiettificato. Tale generalizzazione che conduce a classi caratteristiche valide sia in coomologia che in cobordismo, si basa su una costruzione geometrica dei quadrati di Steenrod.

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Entrata in Redazione il 19 aprile 1977.

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Research made when the author was a member of the G.N.S.A.G.A. of the C.N.R.     

The behaviour of induced discontinuities behind a first order discontinuity wave for a quasi-linear hyperbolic system

Summary In the present paper we study the propagation into a constant state of the induced discontinuities associated with a first order discontinuity wave for a quasi-linear hyperbolic system. Making use of the theory of singular surfaces and the ray-theory, we derive and solve completely the equations which the induced discontinuity vector must obey along the rays associated with the wave front. So we determine the evolution law of and find that it depends non-linearly on the first order discontinuities and on the geometrical features of the wave front; thus the behaviour of the induced discontinuities is known once the evolution law of the first order discontinuity wave is obtained explicitly.

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Riassunto In questa nota studiamo la propagazione, in uno stato costante, delle discontinuità indotte associate a un'onda di discontinuità del primo ordine per un sistema iperbolico quasi-lineare. Adottando un'opportuna combinazione della teoria delle superfici singolari e delle teoria dei raggi, determiniamo in maniera completa il comportamento del vettore delle discontinuità indotte lungo i raggi associati al fronte d'onda. Troviamo che la legge di evoluzione di dipende non linearmente dalle discontinuità del primo ordine e dalle caratteristiche geometriche del fronte d'onda. L'andamento di è perciò noto una volta nota esplicitamente la legge di evoluzione delle discontinuità del primo ordine.

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Work performed under the auspices of C.N.R. (G.N.F.M.) and supported by M.P.I. of Italy.     

Propagation of discontinuity waves of any order through an elastic solid saturated with an inviscid fluid

Summary In this paper we study the propagation of discontinuity waves of any order through an elastic solid saturated with an inviscid fluid by using the linear theory derived in [1] by G. Szefer. By means of the singular surfaces theory we obtain the possible normal speeds of propagation of the wave front and the evolution law along the normal trajectories for transverse and longitudinal propagation.

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Riassunto In questo lavoro studiamo la propagazione di onde di discontinuità di ogni ordine in un mezzo elastico poroso saturato da un fluido non viscoso nell'ambito della teoria lineare formulata da G. Szefer in [1]. Usando il metodo delle superfici singolari otteniamo le possibili velocità normali di avanzamento del fronte d'onda e la legge di evoluzione delle discontinuità lungo le corrispondenti traiettorie normali sia per propagazione trasversale, sia per propagazione longitudinale.

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This work was supported by the G. N. F. M. of C. N. R.