Über zwei nachgelassene Arbeiten Abel's und die sich daran anschliessenden Untersuchungen in der Theorie der linearen Differentialgleichungen

Ohne Zusammenfassung Die Abhandlung, welche wir hier ver?ffentlichen, ist die letzte, welche aus der Hand des verewigten Verfassers stammt. Als die Abhandlung schon im Druck war, wurde der Verfasser am 26. April pl?tzlich auf der Strasse von, der Krankheit betroffen, welche nach wenigen Minuten seinem ruhmreichen, der mathematischen Wissenschaft mit so grosser Hingabe und so seltenem Erfolg geweihten Leben ein Ende machte. Die Zeit und der Platz fehlen uns augenblicklich um eine angemessene Schilderung zu geben von der Stellung, welcheFuchs in der mathematischen Wissenschaft einnimmt, sowie von dem gewaltigen Einflusse, welchen er auf die Entwickelung der Mathematik in den letzten 37 Jahren, seit dem Erscheinen seiner berühmten AbhandlungZur Theorie der linearen Differentialgleichungen ausgeübt hat. Eine solche Schilderung wird jedoch, wie wir erfahren, nicht lange ausbleiben.     

On the theory of Schur-Rings

Zusammenfassung Diese Arbeit versucht, die von Issai Schur[1] entdcckte und von Wielandt ([14], [15], [16], [17]) betr?chtlich neiterentwickelte Methode zur Untersuchung von endlichen Permutationsgruppen zu einer Theorie der Schur-Ringe zu entfalten. Der Grundgedanke ist sehr einfach: Die Schur-Ringe werden nicht als eine spezielle Klasse von Ringen aufgefaβt, sondern als eine eigene mathematische Struktur. Nach unserer heutigen Ansicht f?llt der Begriff der mathematischen Struktur weitgehend mit dem Begriff der Kategorie zusammen. Daher wird für die Schur-Ringe (genauer: für die Schur-Algebren) ein eigener Homomorphiebegriff (Definition1.5) eingeführt, der eine Kategorie liefert (Theorem1.6). Ein weiterer Leitgedanke ist mit dem kategoriellen Grundgedanken sehr eng verknüpft. Die Theorie der Schur-Ringe wird als eine Verallgemeinerung der Theorie der endlichen Gruppen aufgefaβt und in diesem Sinne entwickelt. Dabei ist die Theorie der endlichen Gruppen vermittelst der Gruppenringe der endlichen Gruppen (die eine spezielle Teilkategorie der Kategorie aller Schur-Ringe sind) in die Theorie der Schur-Ringe eingefügt. Hierfür ist es wichtig, daβ die Morphismen der Gruppenringe in der Kategorie der Schur-Ringe genau die von den Gruppenhomomorphismen induzierten Gruppenringhomomorphismen sind. Die Einbettung der Theorie der endlichen Gruppen in die Theorie der Schur-Ringe vollzieht sich entlang dreier Entwicklungslinien. Die erste ist eine verallgemeinerte Charakterentheorie ([2], [3], [5], [6], [7] und[8]), die die Theorie der (gen?hnlichen) Charaktere von endlichen Gruppen als Spezialfall enth?lt. Die zweite ist die Verknüpfung der Struktur jedes Schur-Ringes T auf einer endlichen Gruppe G mit gewissen Klassen von Untergruppen von G. Es werden die Begriffe der T-Untergruppe (Abschnitt 3), des T-Normalteilers (Abschnitt 4), und der T-subnormalen Untergruppe (Abschnitt 8) eingeführt. Die T-Untergruppen bilden einen Teilverband des Verbandes aller Untergruppen von G (Theorem3.4). Die T-Normalteiler sind genau die Kerne (Definition6.1) der Homomorphismen der Schur-Algebren QT (Theoreme6.2 und6.3). Der dritte und wohl zugleich der wichtigste Aspekt ist die Gültigkeit des Homomorphiesatzes (Theorem6.2) und der Isomorphies?tze (Theoreme7.1 und7.2) für Schur-Algebren. Auf diese S?tze gründet sich der Vier-Untergruppen-Satz (Zassenhaus’ Lemma; Theorem9.1), der den Verfeinerungssatz für T-Subnormalketten (Theorem9.2) und den Jordan-H?lder Satz für T-Kompositionsketten (Theorem10.3) nach sich zieht. Als die Theorie der Schur-Ringe ungef?hr den soeben geschilderten Stand erreicht hatte, tauchte die Idee auf, diese Theorie auf beliebige Gruppen zu verallgemeinern ([9], [10], [11], [12], [13]). Das führte zum Begriff der Schur-Halbgruppe (Definition1.9). Der zugeh?rige Homomorphiebegriff (Definition1.11) liefert die Kategorie aller Schur-Halbgruppen (Theorem1.12), die die Kategorie aller Gruppen als echte Teilkategorie enth?lt. Jedem Schur-Ring T über einer endlichen Gruppe G wird eine Schur-HalbgruppeT über G zugeordnet (Theorem1.15). Jedem Homomorphismus ϕ einer Schur-Algebra ΘT über G wird ein Homomorphismus φ vonT zugeordnet (Theorem1.16). Das Paar der Zuordnungen ΘT →T, ϕ → Φ ist ein Funktor auf der Kategorie aller Schur-Algebren in die Kategorie aller Schur-Halbgruppen über endlichen Gruppen (Theorem1.17).      

Die Lehre vom Flächeninhalt ebener Polygone: einige Schritte in der Mathematisierung eines anschaulichen Konzeptes

Zusammenfassung. Es werden einige Stationen in der Ausarbeitung der Begriffe Multikongruenz und Erg?nzungsgleichheit nachvollzogen. Diese führte zur Herausbildung eines wohlumschriebenen methodischen Ansatzes und zu einer pr?zisen Definition des Begriffes Fl?cheninhalt für ebene Polygone. Ein wichtiger Aspekt dieser Entwicklung war es, eine klare Unterscheidung herauszuarbeiten zwischen dem ma?theoretischen Zugang zum Fl?cheninhalt – im nachfolgenden Fl?chenma? genannt – und dem kongruenzgeometrischen Fl?chenvergleich, welcher über Multikongruenz (auch Zerlegungsgleicheit oder endliche Gleichheit genannt) und eventuell Erg?nzungsgleichheit erfolgt. W?hrend das Fl?chenma? (im weiteren mit bezeichnet) eine nichtnegative reelle Zahl ist, ist der Fl?cheninhalt im Sinne des Vergleichs eine ?quivalenzklasse (im weiteren mit A bezeichnet). In dem Rahmen, in dem wir uns hier bewegen werden, stützt sich der ma?theoretische Zugang in der Regel auf die bekannte Formel für das Fl?chenma? des Rechtecks. Diese wird deshalb im nachfolgenden eine wichtige Rolle spielen. Nach einem überblick zu Euklids Lehre vom Fl?chenvergleich im ersten und sechsten Buch seiner Elemente, welche den Ausgangspunkt für alle weiteren Entwicklungen darstellt, werden wir Legendre's Behandlung (1794) des Fl?chenma?es des Rechtecks betrachten sowie seine begrifflichen Pr?zisierungen. Dann studieren wir zwei Abhandlungen von P. Gerwien (1833), welche sowohl in technischer als auch in konzeptueller Hinsicht wichtige Verbesserungen brachten und die ?quivalenz von Fl?chenma? und Fl?chenvergleich für euklidische und sph?rische Polygone bewiesen. Schlie?lich gehen wir auf Duhamels Kritik (1866) und auf Hilberts Grundlagen der Geometrie (1899) ein. Hilbert war es, der die Lehre vom Fl?cheninhalt in den axiomatischen Rahmen einordnete und der auch die heute üblichen Bezeichnungen einführte. Die L?sung Hilberts legte den Gedanken nahe, da? man Multikongruenz und Erg?nzungsgleichheit auch in der hyperbolischen und in der sph?rischen Geometrie verwenden k?nnen sollte. Das letztere hatte bereits Gerwien getan, das erstere wurde von H. Liebmann (1905) im Anschlu? an die Dissertation von L. Gérard (1892) geleistet. Unsere Betrachtungen enden mit der einheitlichen Theorie des Fl?cheninhaltes, die A. Finzel (1912) ausarbeitete und die erstmals alle drei klassischen Geometrien umfa?te. Die Theorie des Fl?cheninhaltes wird systematisch vom modernen Standpunkt aus in [4] und in [44], Kap. XI, entwickelt; man vergleiche auch den Artikel von R. Kellerhals in dieser Zeitschrift ([35]) sowie den übersichtsbeitrag [25] von H. Hadwiger. Eine auf den gymnasialen Mathematikunterricht ausgelegte elementare aber sehr ausführliche Darstellung gibt Faifofer ([15]).

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Eingegangen am 26.03.1998 / Angenommen am 25.05.1998     

Constitutive theory for a mixture of an isotropic elastic solid and a non-Newtonian fluid

Zusammenfassung Greens undNaghdis Formulierung der Theorie von in Wechselwirkung stehenden Kontinua benützend, leiten wir in dieser Abhandlung eine allgemeine (d.h. nichtlineare) Theorie ab, welche das thermomechanische Verhalten eines isotropischen elastischen Körpers, der von einer nicht-Newtonschen zähen Flüssigkeit durchdrungen ist, beschreibt. Konstitutive Gleichungen für Mixturen dieser Art werden zuerst postuliert und dann zu einer expliziten Form reduziert mit Hilfe von auf Tensor-Invarianten gewonnenen Resultaten. Dann untersuchen wir eine Klasse von Kräftereihe-Lösungen von Feldgleichungen und benützen ein iteratives Verfahren zur Lösung dieser Gleichungen, von denen jedes Stadium die Lösung von Lineargleichungen zur Voraussetzung hat. Das erste Stadium stellt eine linearisierte Theorie dar, für welche thermodynamische Reduktionen von der Ungleichheit bei der Wärmegewichtserzeugung abgeleitet werden. Schliesslich geben wir kurze Hinweise auf die dissipativen Mechanismen, welche die Erzeugung von Wellen mit kleiner Amplitude in der von uns behandelten Klasse von Mixturen affiziert.     

Zur Meinungsbildung in einer heterogenen Bevölkerung – ein neuer Zugang zum Hopfield Modell

Zusammenfassung  Wir geben eine Neuinterpretation des Hopfield Modells, bekannt aus der Theorie der neuronalen Netze und der statistischen Mechanik der ungeordneten Systeme, als Modell für die Meinungsbildung (bei bin?rer Wahlm?glichkeit) in einer heterogenen Bev?lkerung.     

Experimentelle Identifikation viskoelastischer Eigenschaften von Bremsbelägen

Bremsenquietschen ist ein hochfrequentes störendes Geräusch, welches auf reibungsinduzierte selbsterregte Schwingungen des Bremssystems zurückzuführen ist. Dabei verliert die nicht quietschende Konfiguration ihre Stabilität, das Bremssystem beginnt mit wachsenden Amplituden zu schwingen und erreicht schließlich einen Grenzzykel. Bei der mechanisch-mathematischen Modellbildung zur Vorhersage des Bremsenquietschens ist das viskoelastische Verhalten der Reibmaterialien eine der wesentlichen Einflußgrößen. Aufgrund der starken Abhängigkeit der Reibmaterialien von der Art und Höhe der Belastung, wird nachfolgend ein Verfahren zur experimentellen Identifikation ihrer Eigenschaften unter Berücksichtigung von quietschrelevanten Belastungszuständen vorgestellt. Die experimentell identifizierten Parameter werden in ein Mehrkörper-Bremsenmodell einer Kraftfahrzeugscheibenbremse integriert und erste Ergebnisse der nichtlinearen Stabilitätsanalyse vorgestellt. (© 2010 Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim)     

Zur Theorie des Hallschen Phänomens

Zusammenfassung und Schluß Damit will ich die Arbeit abbrechen, da alle anderen Koeffizienten der Größe nach vager sind als die Bestimmung diesesT.Ich habe in meiner Arbeit I nach Drudeschen Ansätzen eine Theorie des Hallschen Phänomens aufzustellen versucht. Aufgabe dieser vorliegenden Arbeit war es einerseits, die in den Formeln der Arbeit I auftretenden Größen näher zu interpretieren und die Art ihrer Abhängigkeit von den bezüglichen Magnetfeldern genauer aufzuzeigen. Dies ließ sich vollkommen durchführen.Anderseits wollte ich alle Koeffizienten numerisch berechnen, um dann in den von mir aufgestellten Schlußformeln ihre Werte einsetzen und daraus den Hallschen RotationskoeffizientenR numerisch bestimmen und mit den experimentell gefundenen Werten vergleichen zu können. Es wäre diese Art der Berechnung des RotationskoeffizientenR ein Prüfstein auf die Richtigkeit meiner Theorie gewesen. Leider ist mir vorderhand diese Probe infolge Fehlens richtiger und sicherer Werte aus der Elektronik nicht möglich und ich muß den Beweis auf eine spätere Zeit verschieben. Ich habe alle Koeffizienten numerisch ausgerechnet, nur sind die Werte so unsicher und die Methoden oft so ungenau, daß ich auf die Wiedergabe der Werte hier verzichte.Vgl.: Zur Theorie des Hallschen Phänomens, Monatshefte für Math. u. Physik, XXVI. Jahrg., 1915, p. 40 ff. Späterhin immer als Arbeit I zitiert.     

Populationsmodelle

Zusammenfassung  Wie werden mathematische Modelle gebildet und wie kann dieser Entstehungsprozess so dargestellt werden, dass er von Schülern im Mathematikunterricht nacherlebt und bisweilen sogar selbst?ndig durchgeführt werden kann? Der vorliegende Artikel gibt auf diese Fragen exemplarisch Antworten. Anhand einer Population unter dem Einfluss intraspezifischer Konkurrenz werden die einzelnen Stationen bei der Entwicklung eines passenden mathematischen Modells vorgestellt. Der Weg von der Motivation und Problemstellung zum Konzeptmodell, das Einbeziehen von Computersimulationen und die mathematische Analyse werden pr?sentiert und diskutiert. Für die Analyse reichen Mittel der Schulmathematik aus. Eine direkte unterrichtliche Umsetzung wird nicht angeboten, jedoch werden M?glichkeiten hierfür skizziert.     

Incubation and relaxation time for dislocation motion

Zusammenfassung Die Theorie quasistatischer Versetzungen ist in befriedigender Weise ausgebaut worden. Eine Anzahl von Unstimmigkeiten besteht jedoch in der Ansicht, wie Versetzungen auf dynamische Lasten reagieren. Insbesondere ergeben sich Schwierigkeiten bei der Berechnung von Versetzungsgeschwindigkeiten bei starker dynamischer Belastung. Die quasistatische Theorie sagt grosse Geschwindigkeiten voraus, während tatsächlich nur kleine Geschwindigkeiten gemessen werden. Beobachtungen über das Verhalten von Brüchen bei stossartiger Belastung lassen auf eine typische Inkubationszeit schliessen, bei der das Bruchverhalten aufhört, von der Belastungsgeschwindigkeit abhängig zu sein. Diese Inkubationszeit ist typisch von der Ordnung 10^–7 sec. Da plastische Brüche durch Bewegung und Anhäufung von Versetzungen verursacht werden, liegt der Schluss nahe, dass auch Versetzungen «immobil» werden, wenn die Stossdauer geringer wird als die typische Inkubationszeit. Mit dieser Auffassung lassen sich eine Reihe von Erscheinungen erklären, die nach der klassischen Theorie zu falschen Resultaten führen. Insbesondere wird gezeigt, dass das Viskositätsverhalten von Versetzungen nicht-newtonsch ist, was zu ganz anderen Ergebnissen führt, als wenn newtonsches Verhalten postuliert wird.     

The deflection and buckling of a beam-column with a one-sided constraint

Zusammenfassung Das Problem eines horizontalen, gelenkig gelagerten Stabes mit VertikalkraftQ am Mittelpunkt und mit axialer DurchlastP wird behandelt. Eine Durchbiegung infolgeQ wird jedoch durch eine Bodenebene verhindert. Die gekrümmten Formen des Stabes werden durch die lineare Stabtheorie und durch die Theorie der Elastika bestimmt. Die letztere ergibt eine Vergabelung der Gleichgewichtslagen, die in der linearen Theorie nicht erscheint. Schliesslich wird die Stabilität des geraden Stabes behandelt. Das kinetische Kriterium, das Energiekriterium und das klassische, auf nichttrivialen benachbarten Gleichgewichtslagen sich beziehende Kriterium werden alle in Betracht gezogen. Alle zeigen, dass eine beliebig kleine VertikalkraftQ die kritische DurchlastP um mehr als das Achtfache erhöht. Das heisst,P geht von der Knicklast für den gelenkig gelagerten Stab über auf die Knicklast für den halblangen, einerseits eingebauten Stab. Es wird gezeigt, dass die klassischen Kriterien in diesem Falle irreführend sind. Nicht nur die Grösse vonQ, sondern auch die der erwarteten Störung muss berücksichtigt werden.     

Domino–Pflasterungen und Aztekensterne

Zusammenfassung Elkies, Kuperberg, Larsen und Propp zeigen in [1] eine verblüffend einfache Formel für die Anzahl der Domino–Pflasterungen von sogenannten Aztekensternen. Einer der vier Beweise, die sie angeben, kommt mit elementaren Mitteln aus. In diesem wird eine Verschiebeoperation auf den einzelnen Dominos, das Domino–Shuffling, verwendet. Der Beweis einer zentralen Eigenschaft dieser Operation (Theorem 2) bleibt in [1] jedoch vage. Nachdem wir uns anhand einiger Beispiele dem Thema gen?hert haben, formulieren wir Theorem 2 und stellen den Beweis der Formel mittels Domino–Shuffling aus [1] vor. Anschlie?end beleuchten wir die Schwierigkeiten, die beim Beweis von Theorem 2 auftreten und geben einen Beweis an.     

Was sollen und was sind Divisoren?

Zusammenfassung. Der von Leopold Kronecker (1823–1891) gepr?gte Begriff „Divisor” kann als Klammer für die Teilbarkeitstheorien von Kronecker, Richard Dedekind (1831–1916) und Egor Ivanovič Zolotarev (1847–1878) dienen. Die ausführliche Einleitung versucht, den Leserinnen und Lesern einen überblick über historiografische und mathematische Arbeiten etwa der letzten zwanzig Jahre zu einem allgemeinen, an Kronecker anknüpfenden Divisor-Begriff zu geben. Der erste Teil des vorliegenden Aufsatzes ist einem detaillierten Vergleich von Dedekind und Kronecker hinsichtlich der von ihnen benutzten Begriffe und der Rezeption ihrer Theorien gewidmet. Der zweite Teil entwickelt systematisch und fast lückenlos eine allgemeine Theorie von Integrit?tsringen mit zugeordneten gr?ssten gemeinsamen Teilern („Divisoren”) ihrer Elemente (die nicht notwendig im Ring selbst existieren). Die Darstellung ist in die kommutative Algebra einzuordnen, wird jedoch – abweichend von bestimmten einschl?gigen Teilen der rezenten Literatur – unter der Beschr?nkung ausgeführt, ?quivalente des Auswahlaxioms nicht zu benutzen, um alle überlegungen so konstruktiv wie m?glich zu gestalten. Eingegangen am 6. Mai 1999 / Angenommen am 24. September 2001     

Damped and thermally driven acoustic oscillations in wide and narrow tubes

Zusammenfassung Die Theorie von Kirchhoff für gedämpfte Schwingungen in langen Rohren und die darauf aufgebaute Theorie von Kramers für thermisch getriebene akustische Oszillationen wird neu hergeleitet, wobei die sogenannte Grenzschichtvereinfachung zunächst nicht benötigt wird. Es zeigt sich, dass für Helium eine in der Kramersschen Theorie auftretende Konstante fast genau verschwindet; dies hat zur Folge, dass für thermische Schwingungen in Helium eine Grenzschichttheorie erster Ordnung versagt. Durch Hinzunahme von Gleidern, die vom Grenzschichtstandpunkt als Grössen zweiter Ordnung erscheinen, wird die Theorie thermisch getriebener Oszillationen für Helium in Übereinstimmung mit der Erfahrung gebracht.     

Magneto-fluid-dynamics of thin bodies in oblique fields

Zusammenfassung Es wird die stationäre Bewegung eines vollkommen leitenden reibungslosen Medizums um einen schlanken Körper in einem schräggerichteten Magnetfeld behandelt. Es wird hervorgehoben, dass im allgemeinen eine der Grenzbedingungen zur Folge hat, dass die Störungen durch den Körper nicht klein sind. — In einem speziellen Falle, der von grossem Interesse sein dürfte, gibt es keine «prima facie» Einwände gegen die Annahme vom Vorhandensein kleiner Störungen und Lösungen können gefunden werden. Diese enthalten eine allgemeine Konstante ähnlich derjenigen die in der konventionellen Theorie der dünnen Körper (ohne Magnetfeld) vorkommt und die in analoger Weise eliminiert werden kann — Zwei spezielle Fälle werden diskutiert, von denen der eine von Bedeutung sein könntes für die Theorie der Bewegung in parallelen Feldern.     

Comportement d'un câble porteur-tracteur

Zusammenfassung Die Feststellung der mechanischen und geometrischen Merkmale eines Trag- und Zugseiles ist entweder auf empirischem Wege oder durch Berechnung zu erlangen. Im letzteren Falle kann den sich aus der Berechnung ergebenden Formeln keinerlei Vertrauen geschenkt werden, sofern diese Berechnung nicht ausgeht von einer genauen Kenntnis der theoretischen Gegebenheiten, deren wechselseitige Beziehungen man in Form von Gleichungen ausgedrückt zu haben beansprucht.Da der einfachste Fall derjenige einer einzigen Last ist, welche an einem Trag- und Zugseil im Zustand des Stillstandes aufgehängt ist, war es angebracht, eine gründliche und vollständige Analyse einer solchen Aufhängung vorzunehmen. Dies ist der Zweck dieses Aufsatzes.Es wird darin festgestellt, dass jeder Neigungswinkel, in welchem das Tragseil aufgespannt ist, gekennzeichnet ist durch 4 unterschiedliche Werte, welche jeweils das Verhältnis zwischen der Länge des Tragseiles und seinem Gegengewicht bestimmen. Der Verfasser ist der Auffassung, die Berechnung von Tragseilen lasse sich nicht bequem und wirksam durchführen, wenn man nicht über Tabellen verfügt, die übrigens leicht aufgestellt werden können, welche diese 4 Werte für die in Frage kommenden Neigungswinkel angeben.Ferner stellt man fest, dass die dargelegte Theorie sich auch auf feste Seile anderer Anlagen anwenden lässt, vor allem auf die Tragseile von Hängebrücken.     

Numerische Simulation der Freispiegelströmung in einem Wasserrad

Es wird ein Berechnungsmodell für 2-Fluid-Strömungen mit drehendem Starrkörper vorgestellt, mit dem eine numerische Analyse der Strömungsvorgänge innerhalb von Schaufelwasserrädern möglich ist. Mit dem vorgestellten Berechnungsmodell erfolgt die erstmalige numerische Untersuchung der bei Schaufelwasserrädern auftretenden Strömungsvorgänge. Dabei werden die wesentlichen Punkte im Rahmen der numerischen Umsetzung eingehend diskutiert und die gewonnenen Ergebnisse anhand experimenteller Daten auf ihre physikalische Plausibilität hin überprüft. (© 2017 Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim)     

Ebene Äquiforme Zwangläufe im Grossen II

Im ersten Teil dieser Arbeit¹ wurden die orientierten Flächeninhalte der Punktbahnen ebener äquiformer Zwangläufe studiert und einige Anwendungen der erzielten Resultate angeführt. Der vorliegende zweite Teil beschäftigt sich - unter Beibehaltung der Bezeichnungen, der Numerierung der Abschnitte, Sätze usw. - einerseits mit Geradenhüllbahnen, andererseits mit globalen Eigenschaften spezieller äquiformer Zwangläufe, und zwar mit der äquiformen Bewegung der Krümmungsstrecken einer ebenen Kurve, mit äquiformen Konchoiden-bewegungen und mit der äquiformen Bewegung der Durchmesser eines beschränkten konvexen Bereichs. Beim Studium der durch formale Integration gewonnenen, vorzeichenbehafteten “Längen” der Geradenhüllbahnen wurden zur Interpretation des Vorzeichens orientierte Geraden des Gangsystems betrachtet. Dieser anscheinend notwendige Übergang zu Speeren wurde bislang bei der Formulierung von Holditch-Sätzen über Längen von Geradenhüllbahnen (vgl.[11],[39]) nicht beachtet. Wie schon im ersten Teil gestatten die Ergebnisse eine Anwendung in der globalen euklidischen n-Lagentheorie sowie auf nichtgeschlossene euklidische Zwangläufe.     

Sudoku im Mathematikunterricht

Zusammenfassung Sudoku ist ein immer popul?rer werdendes R?tsel. Wir sind der Meinung, dass es sich hervorragend für den Mathematikunterricht auf verschiedenen Niveaustufen eignet: einerseits zum Trainieren elementarer Logik, andererseits aber (und hier liegt unser Schwerpunkt) zur Abstraktion ausgehend von Konkretem. Schüler k?nnen anhand von Beispielen eigenst?ndig L?sungstrategien entdecken und, unter Anleitung, als allgemeines Prinzip formulieren. Wir stellen zun?chst das R?tsel vor, leiten systematisch L?sungstechniken her und zeigen an Beispielen, dass damit auch recht schwere Sudokus gel?st werden k?nnen. Dann stellen wir Hintergrundinformation zur Verfügung und geben Hinweise zu weiterführenden Informationsquellen. Weiterhin diskutieren wir eine neue Sudokuvariante mit hoher Symmetrie und eine M?glichkeit, für ein gegebenes Gitter die minimal notwendige Anzahl von Hinweisen abzusch?tzen. Mathematics Subject Classification (2000) 05B15 , 97-01     

A theory of hail growth based on studies of alberta storms

Zusammenfassung Radarstudien von Hagelstürmen in Alberta gestatten wichtige Hinweise zu einer Theorie des Hagels. Schwere Stürme sind oft von langer Dauer und ergeben oftmals Hagelfälle, die stundenweise ohne Unterbrechung andauern. Wir schliessen daraus, dass auch der Bildungsmechanismus anhaltender Natur sein muss. In manchen Fällen bildet sich Hagel innerhalb von 20 Minuten vom Zeitpunkt des ersten Erscheinens eines Radarechos; das zeigt ein sehr schnelles Wachstum an, das unserer Meinung nach eine sehr wasserreiche Umgebung erfordert, die wir auf im Aufwind gespeicherten Regen zurückführen.Im vorliegenden Aufsatz beschreiben wir das Wachstum von Hagelteilchen auf Grund dieser Gedanken. Andere Gesichtspunkte, die wir hierbei mit einbeziehen, basieren auf Messungen in europäischen Windkanälen und auf Studien der stochastischen Natur des Gefrierens unterkühlter Wassertropfen. Es ergibt sich, dass alles Hagelwachstum in Alberta zwischen 3 und 7 km Höhe stattfindet, dass es einen Aufwind in der Stärke von ungefähr 15 m sec^–1 erfordert und dass der Gesamtwassergehalt zwischen 10 und 30 gm^–3 liegen muss. Unter solchen Umständen können sich Hagelkörner zu einem Durchmesser von 5 cm innerhalb von 20 Minuten in einer einzigen Auf- und Abwärtstrajektorie entwickeln.

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This work and the field program whose data it utilizes were supported directly or indirectly by the following agencies: The Canadian Meteorological Service, The Research Council of Alberta, The Canadian National Research Council and The Geophysical Research Directorate of the U.S. Air Force Cambridge Research Center.