一个有理分式不等式的加细

利用控制不等式理论给出了一个有理分式不等式的两种加细,并比较了二者的优劣.     

两个三角形不等式的串联与加细

对文[1]中给出的两个三角形不等式进行研究,通过加细,得到了串联起这两个不等式的一个不等式“链”.     

一个三角形不等式

定理设a、b、c为△ABC三边之长，则证明记s、R、r为△ABC的半周长、外接国半径与内切圆半径，由等及熟知径与内切圆半径，由等及熟知又由恒等式：所以①式等价于4Rs2（2R 2r）因为后一式为欧拉不等式．故由Gerretsen不等式所以①式成立．易知取等号的充要条件为△ABC是正三角形．一个三角形不等式@万锦文$湖北省咸宁鄂南高中!437100     

一个猜想不等式的加细与推广

文 [1 ]提出如下猜想　设 x1,x2 ,… ,xn ∈ R+ ,x1+ x2 +… + xn =1 ,n≥ 3,n∈ N,则　 ∏ni=1( 1xi- xi)≥ ( n - 1n) n. ( 1 )戴承鸿、刘兵华在文 [2 ]中证明了上述猜想不等式成立 .本文给出该不等式的一个加细及推广形式 .定理　设 x1+ x2 +… + xn=k,n≥ 3,n∈ N;若 k≤ 1 ,x1,x2 ,… ,xn ∈ R+ ,则　 ∏ni=1( 1xi- xi)≥ ( nk - kn) n ( ∏ni=1nxik) 1n-13≥ ( nk - kn) n ( 2 )若 k≥ n - 1 ,x1,x2 ,… ,xn ∈ ( 0 ,1 ) ,则∏ni=1( 1xi- xi)≤ ( nk - kn) n .　　 ( ∏ni=1n - nxin - k) 13 -1n ≤ ( nk - kn) n. ( 3)为证定理 ,先…     

一个加细的反向Jensen不等式

文 [1 ]在函数的凸性理论中 ,给出了一个重要的结论 :设 f ( x)、p( x)为 I上的可积函数 ,而 m≤ f ( x)≤ M,p( x)≥ 0 ,∫Ip( x) dx >0 ,则随连续函数Φ( t) ( m≤ t≤ M)之为下凸或上凸而相应地有Φ∫Ip( x) f ( x) dx∫Ip( x) dx≤或≥∫Ip( x) f ( x) dx∫Ip( x) dx(即 Jensen不等式 )　　为证明其反向不等式 ,引入以下记号 ,并引入严格凸函数的一个几何性质。记 I =[a,b];∫I=∫ba;A( f ( x) ) =∫Ip( x) f ( x) dx∫Ip( x) dx为 f ( x)的加权平均 ,p( x)≥ 0 ,∫Ip( x) dx >0 ,x∈ I。设Φ( x) >0 ,Φ″( x) >0 ,x∈ I,则Φ( …     

三角形的一个不等式

中国科技大学常庚哲同志在文[1]中用复数证明了以下问题: [问题1] 从△ABC的顶点A、B、C各作角的平分线分别交对边于D、E、F,则成立: △DEF的面积≤1/4·△ABC的面积,式中等号当且只当△ABC为等边三角形时     

三角形中的一个不等式

定理①:设△ABC的三边长分别为a、b、c,外接圆半径为R,内切圆半径为r,半周长为S,面积为△.     

一个三角形中线不等式

一个三角形中线不等式杨学枝（福州二十四中３５００１５）△ＡＢＣ中，边长ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ．这三边上对应中线分别为ｍａ、ｍｂ、ｍｃ，对应高线分别为ｈａ、ｈｂ、ｈｃ，△表示此三角形面积．用∑表示循环和．定理在△ＡＢＣ中，有当且仅当△ＡＢＣ为等腰...     

一个三角形不等式的加强

文[1]提出并证明了如下: 定理△DEF是△ABC的外角平分线构成的三角形,设BC=a,CA=b,AB=c,△BCD,△ACE,△ABF的内切圆半径分别为rA,rB,rC,则 (a/rA)+(b/rB)+(c/rC)≥6(√3).(1) 笔者要指出的是,不等式(1)可以加强为:     

一个有价值的三角形不等式

1966年,荷兰的O.Bottema建立了下述不等式:设P为△ABC内部任一点,AP、BP、CP分别交BC、CA、AB于L、M、N,则其中s为△ABC的半周长。等号当且仅当P为△ABC的内心时成立。 (1)不仅形式简洁,证明不易,而且其等式成立的条件还表明:对任意给定形状的     

关于三角形的一个不等式

关于三角形的一个不等式３１５２１１宁波大学数学系陈计１９９３年，管志宏［１］提出下列不等式：在西ＡＢＣ中，有当且仅当面ＡＢＣ为正三角形时等号成立．事实上，由熟知的几何不等式（见文［２］的２．１２及２．３３）：易知不等式（１）是平凡的．本文中，我们将不...     

一个三角形不等式的证明

文[1]中给出100个优美的几何不等式,其中l63是:a2≥(ωb+ωc)2(c+a)(a+b)/4(b+c)s≥4(s-b)(s-c)本文给出它的一个证明.符号均与文[1]同(a,b,c为△ABC三边,ωa,ωb,ωc分别为角A、B、C的平分线,S为半周长,R,r为外接和内切圆半径).     

一个三角形不等式的加强

设非钝角△ABC的三边长为BC=a,CA=b,AB=c,a≤b≤c,ma,ha分别为BC边所对应的中线长和高线长,R、r分别为△ABC的外接圆半径,内切圆半径.杨学枝老师在文[1]证得:     

关于广义对数平均的一个不等式的加细

In this article,we show that the generalized logarithmic mean is strictly Schurconvex function for p＞2 and strictly Schur-concave function for P＜2 on R2+.And then we give a refinement of an inequality for the generalized logarithmic mean inequality using a simple majoricotion relation of the vector.     

一个非钝角三角形不等式

一个非钝角三角形不等式３５００１５福州二十四中杨学枝如果△ＡＢＣ的半周长为ｓ，外接圆半径与内切圆半径分别为Ｒ与ｒ，当△ＡＢＣ为非钝角三角形时，４０年前人们已经知道有以下两个重要不等式：ｓ２≥２Ｒ２＋８Ｒｒ＋３ｒ２ｓ≥２Ｒ＋ｒ最近又有人对非钝角三角形中...     

介绍一个三角形不等式链

本文给出三角形中一个有趣的不等式链,命题 在△ABC中 sec~2A sec~2B sec~2C≥1/3(secA secB secC)~2 ≥secBsecC secCsecA secAsecB ≥csc~2(A/2) csc~2(B/2) csc~2(C/2)     

一个新的三角形不等式链

1971年,丹麦数学家A.Base砂’l建立了一个三角形不等式:在△乃劣中,有 600,月匕份及翻C (助厌伪心+伪‘Ccos月+馏南osB(l)1973年洒呜价tzl又将其拓展成: 8C06洲陌留J沁嘴C 、普(。~十cosccOS,十COS、os。)‘李l一cos(。一e)+姗(e一,)+。。(,一。)〕 一乙~、誓(。,晋3‘·号+·‘·号·‘·普+S‘·普S‘·、晋(S;·、;·e+S、·。;·,+S、。,S;·。)卫、:2 (2) 本文中,我们来建立一个与此有关的新的不等式链: 定理在△月淤中.有 27(。。,欣osC十e伪心eosA+cos月c。‘刀)(4(sin伪inC+幻nCsinA十sinAsinl了)2 q曰召一2‘36‘·‘·…     

锐角三角形中的一个不等式

文献［１］中得出了下述二次型三角形不等式：对锐角△ＡＢＣ与任意实数ｘ,ｙ,ｚ,有ｓ－ａａｘ２＋ｓ－ｂｂｙ２＋ｓ－ｃｃｚ２≥２（ｙｚｃｏｓＢｃｏｓＣ＋ｚｘｃｏｓＣｃｏｓＡ＋ｘｙｃｏｓＡｃｏｓＢ）①其中ａ,ｂ,ｃ与ｓ分别为三角形的三边与半周．最近,我们在...     

二、两个三角不等式的加细

二、两个三角不等式的加细宁波大学数学系陈计在△ＡＢＣ中，有这是笔者在文［１］中给出的一个不等式．对此不等式我们把它加细成：定理等号成立均当且仅当△ＡＢＣ是正三角形．笔者在［１］中还给出了：它容易加细成：命题在西ＡＢＣ中，有等号成立当且仅当面ＡＢＣ是正...