一元二次方程根与系数的关系及应用

在义务教育课程标准实验教科书九年级上册 (华东师大版 )第 2 2章《实践与探索》一节中 ,我们得到一个很重要的结论 ,即一元二次方程根与系数的关系 :如果一元二次方程ax2 +bx+c=0 (a≠ 0 )的两根是x1,x2 ,那么有x1+x2 =-ba ,x1·x2 =ca .这实际上就是著名的“韦达定理” .运用这个定理 ,在不解方程的情况下 ,可以解决许多与一元二次方程的根有关的问题 .一、已知一根求另一根及求未知系数例 1　已知方程x2 -6x +m =0的一个根是 5 ,求另一个根及m的值 .解 :设方程的另一个根为x1,根据根与系数的关系得x1+5 =6.得x1=1 .又∵x1·5 =m ,∴m =5 …     

一元二次方程根与系数作用大

对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当判别式Δ=b2-4ac≥0时,若两根为x1、x2,则两根与一元二次方程的系数关系为:x1+x2=-ba,x1·x2=ca,根与系数的这种关系又称为韦达定理;它的逆定理也是成立的,即当x1+x2=-ba,x1·x2=ca时,那么x1、x2则是ax2+bx+c=0(a≠0)的两根.一元二次方程的根与系数的关系,综合性强,应用极为广泛,在初中数学中占有极重要的地位,也是数学学习中的重点,更是中考试     

一类直线与抛物线相交的有关问题

<正>已知抛物线y=x²-1与过原点的直线l交于A、B两点,抛物线的顶点为M,判断AM与BM的位置关系,并进行证明.解析由于直线l经过原点,因此可以设直线l的解析式为y=kx(k≠0,k为实数),设A、B两点的横坐标分别是m、n,则m,n是关于x的一元二次方程x2-1与过原点的直线l交于A、B两点,抛物线的顶点为M,判断AM与BM的位置关系,并进行证明.解析由于直线l经过原点,因此可以设直线l的解析式为y=kx(k≠0,k为实数),设A、B两点的横坐标分别是m、n,则m,n是关于x的一元二次方程x²-1=kx的两个实数根,方程x2-1=kx的两个实数根,方程x²-1=kx即是方程x2-1=kx即是方程x²-kx-1=0,因此m+n=k,mn=-1.     

初三代数第一学期期末自测题

A组一、填空题1 .13 x2 =2x的二次项是 ,一次项是 ,常数项是 .2 .二次方程 2ax2 +bx +c=0 (a≠ 0 )有一根为 1 ,那么 2a +b +c=.3 .已知 (m +1 )xm2 -2m -1 +3x -2 =0是关于x的一元二次方程 ,那么m的取值范围是 .4.已知点P在第二象限 ,它的横坐标与纵坐标的和为 1 ,点P的坐标可以是 (只要写出符合条件的一个点的坐标即可 ) .5 .已知y +3与x-1成正比例 ,且x =2时 ,y=2 ,则x=-3时 ,y=.6.若解方程 2xx +1 -m +1x2 +x=x+1x 产生增根 ,则m=.7.要使直线y =3x -2通过点 ( 2 ,1 0 ) ,应把此直线向上平移个单位 .8.若直线y =-x +a和直线y =x +b的交…     

初中数学竞赛中的一元二次方程问题

法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有以下关系:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,那么x1+x2=-ab,x1·x2=ac.反过来,如果x1,x2满足x1+x2=p,x1·x2=q,则x1,x2是一元二次方程x2+px+q=0的两个根.因此,人们把这个关系称为韦达定理.一元二次方程的韦达定理,揭示了根与系数的一种必然联系.利用这个关系,我     

用根与系数关系解题

我们知道,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系:如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=-b/a,x1·x2=ca.利用这一关系,可以解答与一元二次方程有关的一些问题.     

一道全国联赛最值问题的两种解法

<正>例题(2016年全国初中数学联赛(初三年级)试题)设实数x,y,z满足x+y+z=1,则M=xy+2yz+3xz的最大值为().(A)1/2(B)2/3(C)3/4(D)1思路1判别式法依据已知条件x+y+z=1,M=xy+2yz+3xz,通过消去x或y或z构造一元二次方程,利用一元二次方程有实数根的条件"判別式大于或等于零"建立不等式求M的最大值.     

初三代数第一学期期中自测题

A组题一、填空题 (每小题 3分 ,共 3 0分 )1 .一元二次方程的一般形式是 ,其中二次项为 ,一次项系数为 ,常数项为 .2 .4x2 +7=3x( 2x -1 )化为一般形式是 ,其中二次项系数是 ,一次项系数是 ,常数项是 .3 .方程 5x2 =0的根是 ;方程 2x2 -4=0的根是 ;方程 3 (x -1 ) 2 =9的根是 .4.方程x2 -2x -1 =0有的实数根 ;方程 4x2+4x+1 =0有的实数根 ;方程 3x2 -x +6=0有的实数根 .5 .一元二次方程x2 +3x -1 =0的两根之和为,两根之积为 ,以 5和 -3为根的一元方程是.6.方程 3x2 -3x +1 =0的根的情况是 ,方程-2x2 -x +5 0 =0的根的情况是 .7.在实数范围…     

对《巧求值》的指正和另解

<正>《中学生数学》2013年第6期(下)刊载的《智慧窗》第三题《巧求值》及"解答"如下:题目已知:x2-4x-3=0,y2-6y+2=0,求x2+2y2+4x-4y-2的值.参考答案将x2-4x-3=0化为(x+2)2-8(x+2)+9=0.将y2-6y+2=0化为(y+1)2-8(y+1)+9=0.因此,x+2,y+1是一元二次方程t2-8t+9=0的两个根.     

圆锥曲线的对称问题例析

圆锥曲线上存在两点,关于某条直线对称,求参数的取值范围,这类问题的常见解法是:设P(x1,y1)、Q(x2,y2)是圆锥曲线上关于直线y=kx+b对称的两点,则PQ的方程为y=-1/kx+m,将之代入圆锥曲线方程,得到关于x(或y)的一元二次方程,其中P、Q的坐标即为方程的根,故△＞0,从而求得k(或b)的取值范围.例1 已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y=1交于A、B两点.     

二次函数与一元二次方程的关系及运用

二次函数和一元二次方程是我们学习的两个"二次"问题,两者之间有着怎样的关系呢?下面为同学们一一介绍.一、两者的关系(1)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值等于m,求自变量x的值,可以解一元二次方程ax2+bx+c=m(即ax2+bx+c-m=0).反过来,解方程ax2+bx+c=0(a≠0)又看做已知二次函数y=ax2+bx+c值为0,求自变量x的值;     

综合题新编选登

题10 0 　已知集合A={ (x,y) | x2 + y2 - 4x- 14 y+ 4 5 <0 } ,B={ (x,y) | y≥| x- m| + 7} .1)若A∩B≠ ,求m的取值范围;2 )若点Q的坐标为(m,7)且Q∈A,集合A,B所表示的两个平面区域的边界交于点M、N ,求△QMN的面积的最大值.图1　题10 0图解　1)如图1,当射线y=x - m+ 7(x≥m)与圆(x- 2 ) 2 + (y-7) 2 =8相切时,由| 2 - m+ 7- 7|2= 2 2得m=- 2或m=6(舍去) .当射线y=- x+ m+ 7(x≤m)与圆(x- 2 ) 2 +(y- 7) 2 =8相切时,由| 2 - m- 7+ 7|2=2 2得m=6或m=- 2 (舍去) .图2　题10 0图故所求的m的取值范围是区间(- 2 ,6 ) .2 )显然点Q在圆(…     

初三代数第一学期期中自测题

A组一、填空题(每小题3分,共36分)1.方程7x2-(x+3)2=(x+1)2的二次项系数是,一次项系数是,常数项是.2.如果x2=0.81,那么x1=,x2=.3.分解因式x2+3x-4=.4.三个连续偶数的平方和是200;那么这三个偶数是.5.方程mx2+2x-m=0的根的判别式等于8,则m=.6.已知方程3x2+7x-6=0的根是x1=23,x2=-3,则二次三项式3y2+7y-6可分解为.7.方程x2+px+q=0的两根是-1和3,则p=,q=.8.关于x的方程(a-2)xa2-2-x+3=0是一元二次方程,则a=.9.制造某种产品,原来每件的成本是100元,由于连续两次降低成本,现在的成本是49元.如果每次降低成本的百分数相同,则每次降低成本的百分数…     

运用二次函数图象研究二次方程初探

二次函数与二次方程的关系密切.对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)而言,当y=0时,就得到一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0).因此,一元二次方程的根就是相应的二次函数图象与x轴的交点的横坐标.我们     

问题与解答

一本期问题 1 已知一直角三角形的面积为S,周长为l,求以二直角边为二根的一元二次方程。 2 求证(π-3.1415926) (π-3.1415927)≥-2.5×10~(-15) 陕西富平美原中学八五级郭翔宇提供 3 若x、y为实数,且有 y=(1-x~2)~(1/2)+(x~2-1)~(1/4)/2x-3求log_(1/2)(x+y)的值. 4 已知2x+5y+4z=0.3x+y-7z=0,求证 x+y-z=0. 5 已知锐角△ABC中有cosA+cosB-cos(A+B)=3/2,求证△ABC为等边三角形。     

直线方程(选择题五道)

1.已知三点A(3,0)、B(12.-3),C(6,y)的坐标都适合方程x+By+C=0(B,C为常数),则y的值为 (A)-2 (B)-1 (C)0 (D)1 2.和直线3x+4y+5=0关于y轴对称的直线的方程是 (A)3x-4y=5=0 (B)3x-4y+5=0 (C)3x+4y-5=0 (D)4x+3y+5=0     

综合题新编选登

题 98 　设抛物线y2 =2px (p >0 )的焦点为F ,经过点F的直线交抛物线于A ,B两点 ,点M在抛物线的准线上 ,O为坐标原点 ,求证 :1)MA ,MF ,MB的斜率成等差数列 ;2 )当MA⊥MB时 ,∠MFO =|∠BMF -∠AMF|.证　 1)设MA ,MF ,MB的斜率分别为k1,k ,k2 ,点A ,B ,M的坐标分别为 (x1,y1) ,(x2 ,y2 ) ,(- p2 ,m) .图 1　第 98题图因AB经过点F(p2 ,0 ) ,所以AB的方程可设为x =ty +p2 ,代入抛物线方程 y2=2 px ,得 y2 - 2 pty - p2 =0 .由根与系数关系可知 ,y1y2 =- p2 .注意到 y12 =2 px1,y22 =2 px2 ,得x1+p2 =y122 p+p2 =12 p(y2 +p2 ) …     

2006年高考数学重庆卷

一、选择题:共10小题,每小题5分,共50分.1.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},则(UA)∪(UB)=A.{1,6}B.{4,5}C.{2,3,4,5,7}D.{1,2,3,6,7}2.在等差数列{an}中,若a4+a6=12,Sn是数列{an}的前n项和,则S9的值为A.48B.54C.60D.663.过坐标原点且与圆x2+y2-4x+2y+25=0相切的直线的方程为A.y=-3x或y=31xB.y=3x或y=-31xC.y=-3x或y=-31xB.y=3x或y=31x4.对于任意的直线l与平面α,在平面α内必有直线m,使m与lA.平行B.相交C.垂直D.互为异面直线5.若3x-1xn的展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为A.-540B.-162C.162D.5406…     

一元二次方程根的非对称式的求值方法

设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1和x2,利用根与系数的关系,我们能够熟练地求出关于它们的对称式x12+x22,     

圆锥曲线中OA⊥OB的处理方法

圆锥曲线中时常出现"OA⊥OB"的情况,本文介绍两类处理方法,仅供参考. 　　一、等价转化法: 　　1.等价转化为"x1x2+y1y2=0":无论是通过kOA·kOB=-1,还是→OA·→OB=0,都可将QA⊥OB等价转化为x1x2+y1y2=0,其中A(x1,y1),B(x2,y2).……