一道三角函数题参考答案的探究

<正>近日做到这样一道题目:已知f(sinθ)=cos2θ+cosθ.(1)求y=f(cosx)解析式;(2)求(1)中函数在x∈[0,π/2]上的最大值和最小值.参考答案是:解(1)∵cosx=sin(π/2-x),∴y=f(cosx)=f[sin(π/2-x)]=cos[2(π/2-x)]+cos(π/2-x)=cos (π-2x)+sinx=-cos2+sinx=     

一类函数题的“是”与“非”初探

题已知f(cosx)=sin3x,求f(sinx)(该题可见诸于多种资料)解f(sinx)=f[cos(π2-x)]=sin3(2π-x)=-cos3x.[1]又解f(sinx)=f[cos(x-2π)]=sin3(x-2π)=cos3x.上述两种解答方法实际上一样,但结果明显不同,问题出在哪里呢?下面看题目给出的条件:f(cosx)=sin3x,不妨令x=6π,得f(23)=1;再令x=-6π,得f(23)=-1,即对于f(23),有±1两个值与之对应,从对应方式来看,存在一对多的情况.按照高中教材对函数的定义,这种对应不能称为函数.进一步分析发现:f(cosx)=sin3x=3sinx-4sin3x=sinx(4cos2x-1),其中的sinx不能用含cosx的式子唯一地表示(sinx=±1-cos2x).…     

一道填空题(2018全国卷Ⅰ)的多种解法

<正>题目(2018全国卷Ⅰ理16)已知函数f(x)=2sinx+sin2x,则f(x)的最小值是___.解法一(导数法):由sinx的周期为2π,sin2x的周期为π,而2π和π的最小公倍数是2π,∴函数f(x)的最小周期为2π,在[0,2π]上考虑其最小值.f′(x)=2cosx+2cos2x=2(2cosx-1)(cosx+1),令f′(x)=0,得cosx=-1或cosx=1/2,     

函数y=|sinx|的周期问题

对于函数 y =| sinx|的周期 (最小正周期 )问题 ,我们常用图像法来分析 .这里介绍用解析法分析它的周期问题 .由于y =| sinx| =sin2 x =1 - cos2 x2 ,函数值的重复取得 ,等价于 cos2 x值的重复取得 ,故函数的周期为π.例 1　求函数 f( x) =| sinx cosx| ,　 ( x∈ R)的周期 .解　由 f( x) =| sinx cosx|　 =| 2 sin( x π4 ) | =2 sin2 ( x π4 )　 = 1 - cos( 2 x π2 ) ,函数 f ( x)值的重复等价于 cos( 2 x π2 )的值的重复 ,而 cos( 2 x π2 )的周期为π,所以函数 f ( x)的周期为π.例 2　求函数f( x) =1 - cos2 x 1 …     

一类函数题的“是”与“非”初探

题 已知f（cosx）=sin3x，求f（sinx）（该题可见诸于多种资料） 解 f（sinx）=f[cos（π/2-x）]=sin3（π/3-x）=-cos3x．     

由f(sinx)求f(cosx)不必先求f(x)

笔者曾利用课外时间组织学生练习过一道有趣的题目: 设f(sinx)=cos3x(1)求证f(cosx)==-sin3x。此题抄出约10分钟,当堂几乎没有学生能够证出。经观察发现,原来学生们均企图由(1)式先求出f(x)的表达式,再求f(cosx)一一从而陷入了难以摆脱的困境。于是笔者启发学生:能否不求f(x),而将cosx用与它恒等的sib(π/2-x)代替?这时学生的思路由“山穷     

例谈平方法求函数最值

<正>在求函数最值时,有时可以先将等式两边平方,通过求y²=f2=f²(x)的最值来求y=f(x)的最值,这种方法常能独辟蹊径,化难为易.下面结合具体例题进行研究.例1设x∈(0,π),求函数y=(1+cosx)·sinx/2的最大值.解因为y2(x)的最值来求y=f(x)的最值,这种方法常能独辟蹊径,化难为易.下面结合具体例题进行研究.例1设x∈(0,π),求函数y=(1+cosx)·sinx/2的最大值.解因为y²=(1+cosx)2=(1+cosx)²·sin2·sin²x/2     

函数f(x)=sinx/x单调性的妙用

我们将看到,利用sinx/x的单调性来解一些题目显得非常方便简捷。为此,先证明定理函数f(x)=sinx/x在(0,π)内严格递减。证明当x∈(0,π/2)时,设0相似文献   

How to use a definite integral to find area(2)

Another example,the sine and cosine curves intersect fromx=π/4to x=5π/4.However,we want to find the area of the region bounded by the sine and cosine curves fromx=0to x=2π.Analysis:Let f(x)=sinx,and g(x)=cosx.Let f(x)=g(x),and find xin sinx=cosxas x∈[0,2π]x=π/4 or x=5π/4.     

一套易错的三角基础题

一、判断下列命题的真假: 1.已知α、β均为第一象限的角,且α>β,则 sinα>sinβ一定成立。 2.若0≤x≤2π,则函数y=(sinx ctgx)/(1 tgx)的定义域为x≠3/4π或x≠7/4π。 3.函数y=cosx在区间[0,2π]上是偶函数。     

三角中容易忽视的几个问题浅析

本文就学生在三角学习中的常见错误分析如下:一、忽视定义域例1:函数f(x)=sinx(1 tanxtan2x)的最小正周期为A.πB.2πC.2πD.32π误解:f(x)=sinx1 2sin2xcos2xcosx·sin2xcos2x=sinx1 1c-ocsoxsx=tanx,∴T=π,选A.剖析:错误原因是没有注意定义域:x|x≠kπ 2π,且x≠2kπ π,k∈Z.因为f(0)=0≠f(0 π)(无意义),所以选A错误.正确应选B.二、忽视变形过程是否等价例2:已知2sinx=1 cosx,求cot2x误解:∵2sinx=1 cosx,∴1 sincoxsx=21,∴tan2x=21cot2x=2.剖析:错误原因是变形不等价.只有在1 cosx≠0时,才可以从2sinx=1 cosx推到sinx1 cosx=21.…     

y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)是奇函数吗

题目:判断函数y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)的奇偶性。解:y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)=(2sin~2(x/2)+2sin(x/2)cos(x/2))/(2sin~2(x/2)+2sin(x/2)-cos(x/2))=2sin(x/2)(sin(x/2)+cos(x/2))/2cos(x/2)(cos(x/2)+sin(x/2))=tg(x/2)。∵ y=tg(x/2)是奇函数。∴ y=(1-cosx+sinx)/(1+cosx+sinx)是奇函数。表面看来,以上解法无懈可击。但如果注意到当     

也谈函数f(x)=3/cos x+2/sin x最小值的初等求法

文[3]利用构造平面几何的方法给出了函数f(x)=3cosx 2sinx(0相似文献   

综合题新编选登

题158已知函数f(x)的导数f′(x)满足0α时,总有f(x)α,在α与β之间存在一点c,αα,所以f′(c)=1,与已知0相似文献   

数形结合解题5例

数形结合是一种常用的解题方法,也是高考经常考查的一种数学思想。对于有些问题,若能抓住本质,以形辅数、数形结合,则可直观、快速地求解。本文以2005年高考题为例,谈谈数形结合在解题中的妙用。例1 函数f(x)=|sinx cosx|的最小正周期是( )。(全国卷Ⅱ理科第1题) (A)π／4 (B)π／2 (C)π (D)2π常规解法用定义f(x k)=f(x)进行验证。巧解先画出g(x)=sinx cosx=2~(1/2)sin(x π/4)的图像(见图1),然后将g(x)图像中x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即得f(x)的图像,由图像可知f(x)的最小正周期是π,故选(C)。     

从局部跃向整体

本文介绍求函数最值的一种策略:从局部跃向整体。它借助于下述结论: 若在定义域中存在实数x,使y_1=f(x)取得最大(小)值为m,y_2=g(x)取得最大(小)值为n,则函数y=f(x) g(x)的最大(小)值为m n。例1 函数y=sinx·cosx sinx cosx 的最大值是___。(90年高考数学文理科试题) 解本题等价于:是否存在实数x(注:由于填充题不需要解题过程,故只需要求出一个特殊的x值即可),使函数y_1= sinx·     

函数不等式中的参数取值范围的求解方法

<正>求函数不等式f(x)≥g(x)中的参数的取值范围(最值)的方法到底有几种?何时用哪种方法求解速度快?对此问题,本文作一些归纳、总结、探究,以飨读者朋友.例1定义在R上的奇函数f(x)对任意x¹,x1,x²(x2(x¹≠x1≠x²)都有(x2)都有(x¹-x1-x²)[f(x2)[f(x¹)-f(x1)-f(x²)]<0.若实数a,b(a>0)使得不等式f(a2)]<0.若实数a,b(a>0)使得不等式f(a²e2e^a-aa-a²)     

从一道用洛必达法则求极限的题目谈起

同济大学应用数学系编《高等数学习题集》 (高等教育出版社 ,1 998年第 3版 ) 3 .2 .2 3题 ,求A =limx→ 0sin2 x -x2 cosxx2 sin2 x (1 )　　 (1 )为 00 型不定式 ,连续 4次使用洛必达法则得A =limx→ 0sin2 x -2 xcosx x2 sinx2 xsin2 x x2 sin2 x =(2 )limx→ 02 cos2 x -2 cosx 4xsinx x2 cosx2 sin2 x 4xsin2 x 2 x2 cos2 x =(3 )limx→ 0-4 sin2 x 6sinx 6xcosx -x2 sinx6sin2 x 1 2 xcos2 x -4 x2 sin2 x =(4)limx→ 0-8cos2 x 1 2 cosx -8xsinx -x2 cosx2 4cos2 x -3 2 xsin2 x -8x2 cos2 x =16其计算繁杂且易…     

两道试题的辨析

题1已知f（cosx）=cos17x,求证： （1）f（sinx）=sin17x; （2）对于怎样的整数n,能够由f（sinx）=sinnx推出f（cosx）=cosnx？     

课外练习

高一年级1.设f(x)满足f(π/2)=0,f(x1) f(x2)=2f((x1 x2)/2)f((x1-x2)/2),x∈R.求证:f(x)是周期函数. (上海市桂林西街14弄23号1708室(200233)郭纪标)2.已知lgtanx 21gcosx=2-4lg5,求sinx cosx的值. (山东滨州市第六中学(256651)李新民)