怎样证明曲线(直线)恒过定点

1　直线或曲线恒过定点的理论依据1.1　由“y- y0 =k(x- x0 )”求定点众所周知 ,直线方程 y - y0 =k(x - x0 )中 ,如果 M0 (x0 ,y0 )为定点 ,k为参数 ,则可视其为过定点 M0 (x0 ,y0 )的直线系方程 .根据这一道理 ,如果能把含有参数的直线方程改写成 y - y0 =k(x - x0 )的形式 ,     

建立空间曲线的参数方程的方法及应用

将空间曲线的一般式方程 F1(x,y,z) =0F2 (x,y,z) =0 化为参数方程x =x(t)y =y(t)z =z(t)是个难点 .而在计算两类曲线积分时 ,由于公式中曲线方程是由参数形式给出的 ,因此会遇到这个问题 .本文采用把曲线投影到坐标面上的方法 ,通过投影曲线标准方程的参数方程达到化空间曲线的一般式方程为参数方程的目的 .最后给出此问题的讨论在计算两类曲线积分时应用的例 .例 1　将曲线 L 的一般式方程x2 y2 z2 -x 3 y -z -4 =02 x -2 y -z 1 =0化为参数方程 .解　在方程中消去 z,得曲线 L 在 xoy平面上的投影曲线为L′:5 x2 -8xy 5 y2 …     

一类直线方程求法的探讨及应用

在圆锥曲线中,已知弦的定比分点,求弦所在直线的方程常见解法是利用直线的参数方程及参数的几何意义求解.当分点为弦的中点时,求弦所在直线的方程还有设所求直线斜率为k利用韦达定理及中点条件求出k值或者利用差换法求斜率等方法.这些解法运算量较大,不如下面两种解法简便。一、对称曲线作差法二次曲线f(x,y)=0中,以已知点M(x_0,y_0)为中点的弦如果存在,则弦所在直线的方程为f(x,y)-f(2x_0-x,2y_0-y)=0(*) 证明:设圆锥曲线的方程为f(x,y)=0,M(x_0,y_0)为已知点,如果曲线f(x,y)=0和     

对一道高考试题的探讨

题　如图 1 ,设点A和 B为抛物线y2 =4px (p >0 )上原点以外的两个动点 ,已知OA⊥ OB,OM⊥ AB,求点 M的轨迹方程 ,并说明它表示什么曲线 .(2 0 0 0年北京、安徽春季高考试题 )解法 1　设 A(x1,y1)、B(x2 ,y2 ) ,AB方程为 y =k(x - a) ,联立方程y =k(x - a)y2 =4px 　 y2 - 4 py     

浅谈曲线系方程的应用

设f(x,y)=0,g (x y)=0 是两曲线的方程,求证方程f(x y)+λg(x y)=0表示经过这两条曲线的交点的曲线。这是十年制学校高中第二册复习题六的第一题的第(4)小题它的正确性,我们已经证明,还可证明其逆命题也成立。我们把方程f(x,y)+λg(x,y)=0(λ为任何实数)叫做经过两曲线f(x,y)=0和g(x,y)=0的交点的曲线系方程。(不包括曲线g(x,y)=0) 直线系方程和圆系方程是曲线系方程的两个     

曲线的交并方程在解题中的应用

过两曲线f_1(x,Y)=0与f_2(x,y)=0交点的曲线方程f_1(x,y)+λf_2(x,y)=0在统编教材中已作习题提出,笔者以为这两曲线并集的曲线方程f_1(x,y)f_2(x,y)=0亦同样应引起重视。因为前者固可在两高次曲线的交族中找到所需要的曲线,而后者则可将两低次曲线合并为高次曲线。这些都是解析法处理问题时常用的变形技巧。平面上,我们经常研究一直线1:f(x,y)=0     

这种解法锚在哪里?

题目 方程√(x+1)2+√(x-1)2+y2=1所表示的曲线是什么? 　　解法1 　　所给方程的几何意义即动点(x,y)与两个定点(-1,0)、(1,0)的距离之和等于常数1,所以动点(x,y)的轨迹是以这两个定点为焦点,长轴长为1的椭圆.……     

过一点切线方程的另一种初等求法

先看一个具体问题:求过椭圆x42 y32=1上一点P(1,23)的切线方程.在中学阶段解决此类问题,一般采用Δ方法,即设切线方程为y-32=k(x-1),代入x24 y32=1,整理得关于x的一元二次方程:(3 4k2)x2 (-8k2 12k)x 4k2-12k-3=0,通过判别式Δ=(-8k2 12k)2-4(3 4k2)(4k2-12k-3)=0,解得k=-21,故所求切线方程为x 2y-4=0.这种方法思路直,用到知识少,学生容易掌握,不足之处是运算量偏大,出错率高.那么能否给出一种求解思路简单,而运算量又较小的方法呢?命题:P(x0,y0)为圆锥曲线C:f(x,y)=0上一点,则曲线C上过P点的切线方程为f(x,y)-f(2x0-x,2y0-y)=0(*)证明:因…     

利用等轴双曲线的一个变换简解一道高考题

我们知道,反比例函数y=k/x(k≠0)的图象是双曲线,由它的两条渐近线x轴、y轴互相垂直可知.方程xy=k(k≠0)表示的曲线是等轴双曲线.可以证明,将等轴双曲线C:x2-y2=a2(a>0)绕坐标原点O按逆时针方向旋转45°,所得等轴双曲线C′的方程为xy=a22.事实上,设等轴双曲线C′的方程为xy=k(k>0),易知C′的两个顶点为A′1(-k,-k)、A′2(k,k),由|A′1A′2|=2 2k=2a,便可得到k=a22.利用上述变换,处理一些等轴双曲线的问题十分简单,请看2006年高考北京卷理科倒数第2题:题已知点M(-2,0)、N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=2 2.记动点P的轨迹为W.(Ⅰ)求W…     

直线上两点间的距离公式及其应用

1　公式设直线 l的方程为 y =kx m,点P1( x1,y1) ,P2 ( x2 ,y2 )为直线 l上任意两点 ,则有 :| P1P2 | =1 k2 | x1- x2 | ,　或| P1P2 | =1 1k2 | y1- y2 | ( * )这一公式即所谓圆锥曲线的弦长公式 .但从其推导过程 (利用两点间距离公式及直线方程 )容易看出 :这一结果与 P1,P2 是否在圆锥曲线上无关 .求弦长仅仅是它的一种应用 ,因此更名为“直线上两点间距离公式”更符合其本质特征 .本文旨在发掘这一公式在其它方面的重要应用 .2　应用2 .1　用于求曲 (直 )线方程待定系数是求曲线方程的基本方法 ,由此求曲线方程需将给定的几何…     

从一道课本例题开始的研究性学习

在高中数学课本的《圆》这一章节中 ,有这么一道例题 :已知圆C的方程是x2 +y2 =r2 ,求证 :经过圆C上一点M(x1 ,y1 )的切线的方程是x1 x+y1 y=r2 .课本上给出的证明是 :方法一 :当OM与坐标轴都不垂直时 ,设直线OM的斜率为k1 ,切线斜率为k,根据圆的切线性质 ,得k=- 1k1 .因为k1 =y1 x1 ,所以k=- x1 y1 .于是经过点M(x1 ,y1 )的切线方程是 y-y1 =- x1 y1 (x-x1 ) .经过整理 ,得xx1 +yy1 =r2 .当OM垂直于x轴时 ,经过点M(x1 ,y1 )的切线方程是x =x1 ;当OM垂直于 y轴时 ,经过点M(x1 ,y1 )的切线方程是 y=y1 .显然分别是在y1 =0或x1 =0时 ,方…     

解析几何解题技巧点滴

熟悉并掌握解析几何解题的技巧,是正确、迅速解题的必要条件。下面根据本人平时教学中的粗浅体会,谈谈一些常见的技巧。一、紧密结合代数知识研究几何问题众所周知,解析几何中解析法是借助于坐标系用代数的方法去研究几何问题的方法。如果能把代数知识充分灵活地运用,则几何问题就可迎刃而解。例1 已知曲线x~2+y~2+2kx+c=0中,c为负常数,证明:无论k取何值时,曲线恒过两定点。证:把圆系方程化为关于k的一元一次方程: 2x·k=-(x~2+y~2)-c (1) ∵k有无穷解,∴{2x=0 -(x~2+y~2)-c=0} 即{x=0 y=±-c(1/2) 显然这是满足关于x、y的方程的一组解,故曲     

从一道轨迹题的解法看参数的选取

在直角坐标系中,利用参数法求轨迹方程,一般有两种方法:一是直接寻找轨迹上任意一点的横坐标x与纵坐标y与参数t的直接联系x=f(t),y=g(t);二是将动点看作受某一参数所确定的两条直线的交点,再从这两条含参数的直线方程     

有关Euler函数(n)的方程的正整数解

设(n)是Euler函数.主要研究了方程(xy)=3((x)+(y))的可解性问题,利用初等的方法给出了这一方程的所有的35组正整数解.对于任意素数k>3,(x,y)=(3k,4k),(4k,3k)是方程(xy)=k((x)+(y))的2个正整数解.证明了更为一般的结论:对于任意奇数k>3,当gcd(k,3)=1时,(x,y)=(3k,4k),(4k,3k)是方程(xy)=k((x)+(y))的2个正整数解.     

用两圆公共弦的方程解题

解析几何课本 P6 1第 1 1题 :求经过两条曲线 x2 y2 3x - y =0和 3x2 3y2 2 x y =0交点的直线方程 .此题安排在曲线与方程这一节 ,我们认为目的有二 :其一 ,可以先求出两个交点再求直线方程 ;其二 ,可以从曲线与方程的关系的角度 ,设两曲线交于两点 A、B,则 A、B两点坐标也满足方程 ( x2 y2 3x - y) - ( x2 y2 23x 13y) =0即 7x - 4y =0 ,而此方程表示一条直线 ,又过 A、B的直线是唯一的 ,所以方程 7x - 4y= 0即为所求 .当圆的方程讲过后 ,我们便可以告诉学生 :方程 7x - 4y =0就是两圆x2 y2 3x - y =0和　 x2 y…     

两组参级方程等价的一个充要条件

在六年制重点中学高中数学课本《解析几何》P186.3中有这样一个习题:设x=t-t~2(t是参数),化普通方程x~2+2xy+y~2+2x-2y=0为参数方程。解这个习题,最后得两组参数方程: x+t-t~2 y=t~2+t’ x=t-t~2 y=t~2-3t+2 究竟这两组参数方程有什么关系?它们是否表示同一曲线?本文讨论如下。     

普通方程化为参数方程的教学

在许多情况下,用曲线的参数方程x=f(t), y=φ(t)去研究曲线的性质比用它的普通方程F(x,y)=0要方便些。因此,研究如何把普通方程化为参数方程是解析几何的一个课题,高中《解析几何(平面)》课本P161。2,P166.3.P167.4.P186.3给出了这部分的练习题。在教学中发现,对这些练习题学生常常提出一些迷惑不解的问题,例如,对P186.3:“把下列各方程按照所给条件化成参数方程(t,θ是参数)(1)x~2+2xy+y~2+2x-2y=0 x=t-t~2,(2)17x~2-16xy+4y~2-34x+     

考点28 轨迹问题

1.(上海卷,3)直角坐标平面xOy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足OP·OA=4,则点P的轨迹方程是.2.(江西卷,16)以下四个关于圆锥曲线的命题中1设A、B为两个定点,k为非零常数,若PA-PB=k,则动点P的轨迹为双曲线;2过定圆C上一定点A作圆的动弦AB,O为坐标原点,若OP=12(OA+OB),则动点P的轨迹为椭圆;3方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;4双曲线2x52-y92=1与椭圆3x52+y2=1有相同的焦点.其中真命题的序号为(写出所有真命题的序号).3.(北京卷,18)如图,直线l1:y=kx(k>0)与直线l2:y=-kx之间的阴影区域(不含边界)记为W,其左半…     

把直角坐标方程化为极坐标方程的等价问题

在直角坐标系中,点与坐标是一一对应的。若方程F_1(x,y)=0与方程F_2(x,y)=0同解时,这两个方程就表示同一曲线;反之,表示同一曲线的两个方程也必同解。但在极坐标系中,一个点对应无数个坐标((-1)~kρ,kπ θ),其中k∈Z。方程f_1(ρ,θ)=0与f_2(ρ,θ)=0若同解就表示同一曲线,但表示同一曲线的两个方程却不一定同解。如方程ρ=θ与p=2π θ表示同一曲线,但方程并不同解。我们在极坐标中把表示同一曲线的方程称为等价方程。显然所有的同解方程都是等价方程。     

一类曲线系的方程及其应用

我们把具有某种共同性质的所有曲线的集合,称为一个曲线系,用含有一个参数的方程来表示。例如:(1)圆心在直线 y=x 上的所有圆,组成一个圆系,其方程为(x-k)~2+(y-k)~2=(?)(k 为参数).(如图1)(2)顶点在原点,对称轴为 y 轴的所有抛物线组成一个抛物线系,其方程为 y=ax~2.(a 为参数)(如图