数列{(1+1/n)~n}极限存在性的证明与e近似计算

<正> 数列{(1+1/n)~2}的极限是数学上最重要的极限之一,关于它的存在性的证明方法已有多种,参见文[1]、[2]、[3],本文提供这个极限存在性的两种证法,并且给出用常用对数的工具计算e的近似值及进行误差估计的初等方法。     

(＋∞∑n-1)1/n2m的初等解法

本文用初等的方法研究(＋∞∑n-1)1/n2m(m∈N)的求和问题. 这个问题最先由Euler[8]解决.文献[1][6]给出了另两种求解方法.特别地,对于m=1的情形,即(＋∞∑n-1)1/n2=∏2/6,已有许多不同的证明方法,可见文献[2][3][4][5]以及那里的参考文献.本文的想法,主要受文献[5][6]的启发而来的.     

|A B|~(1/n)≥|A|~(1/n) |B|~(1/n)的一个证明

文[1]、[2]用两种方法证明了命题:设A,B是n阶正定矩阵,则有|A B|~(1/n)≥|A|~(1/n) |B|~(1/n)等号成立当且仅当A=kB(k>0)。本文用矩阵迹的概念给出一个不同的证明。我们首先证明下面两个引理。     

递推关系式an=g(n)an-k+f(n)的通项及应用

推广了文[1]的结论,得到了递推关系式an=g(n)an-k+f(n)的通项,并介绍了在数学课程中的一些简单应用.     

对"条件x+y=1下1/xn+λ/yn(n≥2)的最小值"再探究

文[1]把解决问题(1):“已知z,Y∈R+且z+.y一1,求去+4j,的最小值’’的“]一z+y”的代换方法移植到问题(2):巳知z,Y∈R+且z+y一1,求壶+歹8的最小值’’时思此时z—i歹舞,y—i歹斋.路受阻后,提出在(≯1+多)( )中,括号内 。=应配上什么式子才能解出的疑问,由此利用文[1]中的(*)式和待定系数法探讨出了一般性的结论:“已知z,y E R+且z+y一1,若^>o,则当且仅当导一^南时,击+号("≥2)取得最小值为(1+A南)一十一. 笔者读后颇受启发,但在(去+io)( )中,括号内到底应配上什么式子呢?文[1]的一般性结论能否再推广?为此,本文再作些探究.1 大胆尝试,印…     

极限(limn→∞ln√n/n=-1)的一些另证

编者按:[1]文发表后,引起读者兴趣,纷纷来稿,提供了许多证法,其中类同于[1]文更正后证法的,不再刊登.其它证法,本刊汇总摘编于后.(以收稿日期先后为序) 证法Ⅰ设an={(1+1/n)n},bn={(1+1/n)n+1}.     

关于冠C_(2n)⊙K_1调和猜想——兼评“轮W_(2n+1)=C_(2n)⊙K_1的调和标号”一文

本文证明了Thom Grace[1]提出的猜想:冠C_(2n)☉K_1是调和的;同时指出文[2]的结论是已有的结果,并不是Thom Grace猜想。     

对"条件x+y=1下1/xn+λ/yn(n≥2)的最小值"再研究

1 问题回顾 文[1]由问题:"已知x,y∈R 且x y=1,求1/x 4/y的最小值"推广为下述定理:     

方程x~((n))+f_1(t)x~((n-1))+f_2(t)x~((n-2))+…+f_(n-1)(t)■+f_n(t)x=0解的稳定性

考虑方程z~((n))+f_1(t)x~((n-1))+f_2(t)x~((n-2))+……+f_(n-1)(t)x+f_n(t)=0 (1)在现有文献中,对方程(1)的研究几乎能集中在二阶,对于 n>2的情形,很少见到。本文应用变换技巧以及.直接方法,特别利用文[9]的推广了的方法研究了 n 为任意正整数的方程(1)的平凡解的稳定性,得到了其平凡解全局一致渐近稳定性的充分条件。特别当 n=2时所得的结果包含了文献[1-8]的有关结果。有些结果就非文[8]的条件所能得到,如本文定理4、5及其推论1。     

sum from n=1 to +∞(1/n~(2m))的初等解法

本文用初等的方法研究sum from n=1 to(1/n~(2m))(m∈N)的求和问题。这个问题最先由Euler[8]解决。文献[1][6]给出了另两种求解方法。特别地,对于m=1的情形,即sum from n=1 to ∞(1/n~2)=((π~2)/6),已有许多不同的证明方法,可见文献[2][3][4][5]以及那里的参考文献。本文的想法,主要受文献[5][6]的启发而来的。     

关于不定方程 x~(1/n)+y~(1/n)=z~(1/n) 的广义整数解及一类 Kummer 扩域的次数

<正> §1.引言在[1]中我们给出了方程x~(1/n)+y~(1/n)=z~(1/n) (1)的全部正整数解.设 Z 为整数环,Z~+为所有正整数集合,Z~*=Z\{0}.设 a∈Z~+,我们规定 a~(1/n)表示 a 的算术根.在[1]中我们说正整数组(a,b,c)是方程(1)的解是指     

正确求取sum from i=1 to n (a_i)整数部分的一种方法

文 [1 ]、[2 ]、[3]介绍了求S=∑ni=11i 和 S=∑ni=1i整数部分的一些不等式 ,从而设法求出 [S].但是不论该不等式如何精确 ,总有不能解决的问题 ,例如文 [3]中最强的一个不等式2 n 2 548- 1 16 3 1 22 相似文献   

SL(n+1,R)/S(GL(1,R)×GL(n,R))上线丛的一个超几何方程（英文）

本文研究了伪黎曼对称空间SL(n+1,R)/S(GL(1,R)×GL(n,R))线丛上的微分方程.利用李代数方法,即Casimir算子得到这个微分算子.这个微分算子是一个超几何方程,这个结论推广了文献[1,3,5]中的微分方程.     

On the Diophantine Equation sum from k=1 to m((k~n)=(m+1)~n)

P. Erds has conjectured [1] that the Diophantine equation 1~n+2~n+…+m~n=(m+1)~n (1) has no positive integer solutions except that n=1, m=2. It is true when m≤10~(10) [3]. A generalized form of (1) has been investigated in [1] [2], and various     

极限lim(lnn~n(1/2)/n=-1)(n→∞)的一些另证

[1 ]文发表后 ,引起读者兴趣 ,纷纷来稿 ,提供了许多证法 ,其中类同于 [1 ]文更正后证法的 ,不再刊登 .其它证法 ,本刊汇总摘编于后 .(以收稿日期先后为序 )证法     

关于公式1+2+…+n=(n(n+1))/2

<正>九年义务教育三年制初中《代数》第一册(上)第38页,B组第二题为:正整数从1开始,逐个相加,一直加到n,它们的和记作s,即s=1+2+3+…+n(n表示一个正整数),写出计算s的公式.这道题目中含有字母且设问富有思考性,解题方法体现了数学方法,更重要的是结果能作公式用,而且应用分层次用.为帮助同学理解这些特点,现对这道题进行解读,供同学们参考.     

正确求取n∑i=1ai整数部分的一种方法

文[1]、[2]、[3]介绍了求 S=n∑i=1 1/√i和S=n∑i=1√i 整数部分的一些不等式,从而设法求出[S].但是不论该不等式如何精确,总有不能解决的问题,例如文[3]中最强的一个不等式     

n元函数极值的探讨

在高等数学或数学分析的教学中，经常遇到这样的问题：如何将二元函数求极值的方法推广到，n元函数中去。这一问题在教材中很小涉及，本在[1]、[2]基础上，讨论了，n(n≥2)元函数极值点的判别法，确立了判别临界点为极值点的一个充分条件。这些条件与[1]、[2]的方法是等价的，但方法简单。     

重要极限limn→∞(1+1/n)n存在性的简洁证法

利用均值不等式(n∏i=1ai)1/n≤1/nn∑i=1ai给出了重要极限limn→∞(1 1/n)n存在性的一种简洁证明方法,特别是数列{(1 1/n)n}的有界性的证明非常简洁.同时给出了均值不等式的一种初等证法.     

对n个函数的最佳同时L_1逼近

1 G.M.Phillips和B.N.Sahney在[1]中讨论了对两个实值函数f_1(x)和f_2(x)的最佳同时L_1逼近问题.接着,A.S.B.Holland,J.H.McCabe,G.M.Phillips和 B.N.Sahney在[2]中把[1]的部分结果推广到了n个实值函数的情形. 按照[2],n个实值函数的最佳同时L_1逼近有三种不同提法,它们可以分别定义如下.