利用微分方程解关于积分上限的函数方程

我们从《高等数学》上册里已经知道：若是内的连续函数，则积分些关于积分上限的函数方程，关键是要建立一些恰当的微分方程，然后再利用解微分方程的方法去解函数方程。这里需要注意的是：初始条件隐含在积分上限的函数方程中。例1设f（x）在[0，＋co）内连续，且会解由八x）在【0，＋co）内连续，从所给函数方程表达式可知，人工）可导。从而有；n，、。11＿l＿＿。，、一．．—。，一、－———。。。广（x）一月会·2到·2，有f（）ZC／”。又f（）一1，有Czl即f（）一e‘“。“—”“＼2一）—””“”—”一“—“”””“’n—。。…     

导数的极限与单侧导数

求函数在某些特殊点，比如分段函数的分界点、区间端点处的导数，通常应按导数的定义求出函数在这些点处的单侧导数。但也有人取函数的导数在这些点处的单侧极限作为单侧导数，这样做常常出错。例如：在x＜0时，但f（x）在x=0处的左导数不存在，因为f（x）在x=0处左间断。在x＞0时，不存在，但按导教的定义可求得f（x）在x=0处的右导数有时这种方法也能凑效，关键是函数必须满足一些条件。我们有下面的求单侧导数的所谓“导数极限法”。导技极限法设函数人X）在X。处连续，在X。的左（右）邻域（X。一点八）［或（X。，X。十的」内可导，…     

关于分段函数及含绝对值函数的求导问题

本文讨论分段函数的求导问题，建立了求导时方法选取的一般程式。对于含绝对值的函数，给出了一个求导定理。一、分段函数的导数分段函数的求导，关键在于求分段点处的导数，常用方法有：①不连续则不可导；②导数或左右导数的定义；③导数单侧极限定理*：设f（x）在（a，b）内连续，x0∈（a，b），在（a，x0）及（x0，b）内可导且limf（x）、limf（x）都存在，则导数单侧极限定理用左右导数定义及微分中值定理可证，此处从略。下面仅作几点说明：1“定理中若厂十（X。）一片一（X。），则几X）在X。处可导，若不相等，则人X）在X。处不…     

变上限积分的特性及应用

变上限积分是一个很重要的函数,在我们的微积分教材中,用它来证明了微积分基本公式.许多其它问题用它处理也是既方便又简单.这些主要用到它的两条特性:①变上限积分在积分区间上是可导的,且其导函数就是被积函数;②变上限积分和被积函数比起来,其可导的阶数大1.下面举几例说明其特性及应用.     

关于分段函数在分界点处导数问题的讨论

对分段函数,我们常见的一类问题是讨论它在分界点的可导性．按常规的做法,分段函数在分界点处的导数用定义去计算,但在学生学习中,有不少学生不愿也不易接受这种方法,而是采用对不同区间上函数求导来计算,这种做法在一定条件下是可行的,这里就这类问题通过一些实例分析说明．对分段函数f（X）,讨论在分界点X0X0的可导性,归纳一般步骤如下：1．若f（X）在点X0不连续,则它在点X0不可导;2．若f（X）在点工。连续,且在点X0左、右导数都存在且相等,则f（X）在点X0可导．对如上第二步中,左、右导数一般用定义计算,但在函数满足…     

关于求分段函数在分段点处导数的几种解法剖析

求分段函数在分段点处的导数，包括讨论它是否存在，一般都应根据导数的定义，并利用导数存在的充要条件，即“左、右导数均存在且相等”，才能确定函数在分段点处的导数是否存在。如存在，则可得到函数在该分段点处的导数值。笔者发现，经常出现不用导数定义讨论的情况。现举例剖析如下。1．盲目地用上“分段函数的导函数在分段点处连续”的条件。例1设函数问f（0）是否存在？解法一按导数定义，f（X）在X=0处的左、右导数分别为由于／－（0）一／＋（0）一0，所以／（0）存在，且／（0）一见解法二当X＜O时，／（X）一（X勺‘一ZX，所…     

某些积分所确定的函数的导数

设重积分的积分区域依赖于变量t的值，且此重积分定义一个t的可微函数：其中积分区域G；依赖于t的值。如何求F’（t）呢？下面我们举例说明。解这类问题可直接利用变限积分的导数公式，只要把括号内的积分当作一个函数人y）对形如（1），（2）的函数F（t），在求导时，可首先利用变量代换，把F（t）转化成票次积分，再利用例1的方法求F’（t）。例2已知jfx，y）连续，F（t）一if（，y）dxds，求F’（t）。x2小y＼ti解利用极坐标变换，得例3已知人U）连续，F（O一解利用球面坐标变换得：例4设人X）连续，G：0＜X＜h，X’＋F’（t）。解…     

被积函数带有绝对值的积分方法

一、不定积分被积函数中含有绝对值的函数可表示为分段函数，故其原函数一般也为分段函数。但注意到原函数的连续性，特别是在分段点处的连续性，这是解决问题的关键。类型的积分求法如果人工）在其零点两侧不改变符号或无零点，容易将被积函数的绝对值去掉；如果人X）仅有一个零点X。，即当且仅当X—X。时，八x。）一0，且人x）在x二x。的两侧改变符号，不令F（X）为人X）的一个原函数，则注意到C，Q并非任意两个独立的常数川人X川的原函数在X—X。处连续，因此即G一ZF（X。）＋Q，将Q代人（1），则为所求的不定积分，当人X）有有…     

一个变限函数的隐含条件

针对涉及变上限函数求导的一道常见习题所引起的疑惑．指出其中具有容易被忽略的隐含条件．用分析的方法,通过定义一个定积分的变上限函数,可证明变上限函数F（x）=∫0^x（x—t）^nf（t）山必须满足的n＋1个隐含条件．     

变上限函数在解题中的应用

变上限函数在解题中的应用李效忠（合肥工业大学，合肥２３０００９）现行微积分教材为了证明定积分中著名的牛顿－莱布尼兹公式而引入了变上限函数（即积分上限的函数）．本文将通过实例说明如何利用变上限函数来解一类与定积分有关的问题，从这些例子也可看出，如果能恰...     

西安交通大学·高等数学

考试日期98年元月15日一、填空题：（每小题3分，共15分）5）设幂级数在x=－1条件上收敛，则幂级数的收敛区间（不考虑端点）为二、选择题：（每小题3分，共15分）A）无穷小量B）无穷大量C）有界的但不是无穷小量D）无界的但不是无穷大量A）跳跃B）可去C）无穷D）振荡3）若f（）的导函数是sinx，则f（）有一个原函数为（）。A）1＋sinxB）l－slnxC）l＋cosxD）1－cosx则在点X一1处函数人X）（）．A）不连续B）连续，但不可导C）可导，但导数不连续D）可导且导数连续5）设S（x）为人S）的以2。为周期的傅里叶正弦级数的和函数，，。…     

小议变上限的定积分

设函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积，则对任何ｘ∈［ａ，ｂ］，定积分∫ｘａｆ（ｔ）ｄｔ定义了区间［ａ，ｂ］上的一个关于ｘ的函数Ｆ（ｘ），称为“变上限的定积分”，即Ｆ（ｘ）＝∫ｘａｆ（ｔ）ｄｔ，且若函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，则ｄｄｘ∫ｘａｆ（ｔ）ｄｔ...     

分部积分法的巧用

分部积分法作为积分学的基本方法之一有着重要的作用,它不但解决了许多常见的积分问题,而且在有些情况下可以发挥意想不到的效果．本文将结合例子来说明分部积分法在改善被积函数的性质、判别广义积分的致散性及证明积分不等式方面的巧用．分析该题由于被积函数在点不连续,因此不能直接应用对积分上限求导的公式,这里将用分部积分法将被积函数改善成连续的,从而使问题得到解决．由于是的可去间断点,故只须补充定义则在连续数在x＝0处可导且导数为零（可根据定义）,故有例2证明广义积分因为所以绝对收敛,因此广义积分因为所以绝对收…     

关于中值公式两边取极限的理解

关于中值公式两边取极限的理解陈大均（华南建设学院西院）在证明连续函数ｆ（Ｘ）取变上限Ｘ的定积分的导数Φ（Ｘ）＝ｆ（ｘ）时，常应用积分中值公式取极限△ｘ→０，由于ｆ（Ｘ）连续，关于这一极限可作如下理解，注意到ξ＝Ｘ＋θ△Ｘ，（０＜θ＜１），可看成函数符...     

证明某些不等式的一种方法

对于有些含有定积分的不等式的证明，常常可以把一常数变为参数而构造辅助函数，再利用函数的增减性等有效方法，给出了这样一类不等式的证明方法。下面我们通过几个简单例子来阐明这种方法。树三设f（）在［a，b】上具有二阶连续导数，且产（x）＞O，试证：分析只证明右边不等式，把不等式中常数b变为参数X，作出辅助函数则显然F（a）一0。若能证明函数F（x）是单调增的（广义增即可），就可得要证明的不等式。证明作辅助函数F＜夸＜x，（因为a＜x＜b）；由题设产（x）＞0，所以广（x）非减，从而知产（x》O，因此F（b）＞F（a）一0，…     

泰勒公式的应用

（一）导教的近似计算与误差分析对于函数y=f（X），当f（X）用表达式给出，并且f’（X）不太复杂时，可以直接用f’（X）的表达式求此函数的导数值。但是在一些工程问题中，函数往往是用表格形式结出的（即所谓离散形式），例如，或者yk=f（xk）易求而f’（xk）不易求，怎样求f’（Xk）的近似值？在以下的讨论中，我们假定y=f（x）在X=X0附近具有适当高阶的连续导数。在学习导数概念时，遇到过三个极限式我们引入三个记号：把西人V人如分别叫做函数人X）在X处的、步长为h的一阶向前差分，一阶向后差分、一阶中心差分。根据极限和无穷小…     

高等数学中反例的构造及应用

数学中的反例既是对命题十分简明的否定,又是对命题极有说服力的肯定,它往往能起到正面的例子难以起到的作用．一个绝妙的反倒不仅能加深学生对概念的理解,而且有利于思维能力的培养,给人以深刻的印象．一般来讲,人们习惯于把注意力集中在摆出正确的命题和得到正确的解法,而忽视如何发现错误,举反例就是为了发现和纠正错误．高等数学中很多定理的逆命题都不正确,为了说明它的不正确性,往往需要构造反例来证明它．下面我们看一些反例的构造及应用的例子．例１若函数ｆ（ｘ）在点ｘ０处连续,是ｆ（ｘ）在ｘ０处也可导．解这个命题是…     

级数sum from n= 1to ∞的求和问题

级数是一个函数项级数。我们连同级数一并考虑。首先这两个级数在（－，＋）内都是绝对收敛、并且是一致收敛的。事实上，取优级数为＞：去，它是收敛的，而：由外尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法可知：都是一致收敛并且绝对收敛。记：下面考虑这两个级数的求和问题。为此在X学0处将函数：展开为余弦级数。f（x，t）的余弦级数为：在X＝0处，（4）式也成立。再将f（x，t）进行t的偶开拓，再周期开拓后，得到的函数广（X，t）在一co＜t＜＋co处处连续。因此（4）式在0＜t＜。上成立。现用t—O及t—知分别代入（4）式，有：将两个级数分别…     

非连续导函数的局部保号性

局部保号性是连续函数的一个重要性质,在已有文献基础上进一步讨论函数的局部保号性,给出了导函数在非连续点处的一个局部无限保号性.设f(x)是区间I上的可导函数,f′(x_0)0 (其中x_0∈I,f′(x)在x_0处不必连续),则任给x_0的开邻域■是区间I的无限子集.这一结果进一步深化了函数在非连续点处的局部保号性理论.     

对高中数学极值一节教学的建议

人民教育出版社中学数学室编著的《全日制普通高级中学教科书 (试验修订本 )数学》第三册选修Ⅱ (以下简称 (选修Ⅱ )有 3.8函数的极值一节 ,此节分极大值和极小值的定义、判别方法与求可导函数极值的步骤 (以下简称定义、判别、步骤 )三层叙述 .细读教科书 ,可以体会到 :极值定义的前提是“函数f(x)在点x0 处及其附近有定义” ;判别的前提是“函数f(x)在点x0 处及其附近有定义且连续 ,在点x0 附近可导” ;而步骤的前提是“函数f(x)在点x0 处及其附近有定义、连续且可导” .定义、判别、步骤所指对象的集合之间有图 1的包含关系 :图 1　　　…