关于两类函数图象的对称性问题

奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,以及函数y=f(x)和y=-f(x),y=f(-x)及y=-f(-x)的图象分别关于x轴对称,y轴对称和原点对称,这些都是显为人知的,但对另一些有关对称性的问题,如;函数y=f(x),若对于定义域内的任-x,都有f(m x)=f(n-x),其图象的对称性如何? (问题1)以及函致y=f(m x)与y=f(n-x)其图象的对称性又如何?(问题2)有些人恐怕就不大清楚了,本文想对此两类函数图象的对称性问题谈一些浅见。     

对一个竞赛题目的思考

题目设实数集R上定义的函数y=f(x),对于任何x∈R都有f(x) f(-x)=1,则这个函数的图像( ). (A)关于原点对称(B)关于y轴对称(C)关于点(0,1/2)对称(D)关于点(0,1)对称(湖州市第三届“立方杯”高中数学竞赛题)     

新题征展(10)

A.题组新编1.(1)设函数y=f(x)的定义域为R,则两函数y=f(2-x)与y=f(x-4)的图象关于　　对称;(2)已知函数y=f(x)对于任意x∈R都有f(2-x)=f(x-4),那么函数y=f(x)的图象关于　　对称;(3)设函数y=f(x)的定义域为R,则两函数y=f(x)与y=-f(2-x)的图象关于　　对称.(廉万朝、孙荣供题)2.     

函数性质选择题四则

1 函数y=ax~2 bx c的单调性:(A)分别有一个增区间和减区间,(B)有一个增区间或减区间;(C)不能确定。 2 f=(x)为奇函数的必要条件是:f(x)的(A)定义域关于原点对称;(B)图象关于原点对称;(C)恒有f(-x)=-f(x)。 3 下列函数中的周期函数是(A)y=cos2|x|;     

两类不同的轴对称问题

下面是两道常见于各类复习资料或高考试卷的题型: 1.设x∈R,函数 y=f(1-x)和y=f(1 x)的图象关于直线_成轴对称. 2.函数y=f(x)(x∈R)满足x(1-x)=f(1 x),则y=f(x)的图象关于直线_成轴对称. 这是两类不同的轴对称问题,很多同学混淆不清,常常认为两题答案相同,其实不然.为了彻底弄清这类问题,本文给出两个定理,以作说明.     

函数图象中对称问题剖析

请先看下面一题 :设函数 f(x)定义在R上 ,则函数 f(1-x)与f(1+x) 的图象关于 (　　 )(A)直线 y =0对称 .　　 (B)直线x =0对称 .(C)直线 y =1对称 . (D)直线x =1对称 .学生往往容易错选 (D) (正确答案应选 (B) ) .什么原因呢 ?显然 ,学生把它混同于问题“若 f(1-x)=f(1+x) ,则 f(x)的图象关于 对称”了 .此类现象还很多 ,学生常常难辨真伪 .其实 ,要解决好此类问题应分以下两步 :第一步 ,要根据题意分清研究对象 ,即某函数自身的对称问题 ,还是某两个函数之间的对称问题 .第二步 ,剖析题设条件中函数的特性 .下面就常见的两类易混淆的对…     

新题征展(133)

A 题组新编1.设函数y=f(x)在定义域D上可导,且a∈D,则(1)函数y=f(x)的图象关于点(α,f(α))对称( ←→)函数y=f'(x)的图象关于直线x=α对称;(2)当f'(a)=0时,函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称( ←→)函数y=f'(x)的图象关于点(a,f'(a))对称.     

奇偶函数性质的延拓

我们知道一个奇函数f(x) ,对于定义域内任一实数x ,都有f(x) + f( -x) =0 .其实质是奇函数f(x) 的图象关于原点对称 .将其图象适当平移 ,可得如下命题 :命题 1　函数f(x) ,对于定义域内任一实数x ,都有 f(a +x) + f(b -x) =c成立的充要条件是函数f(x) 的图象关于点( a +b2 ,c2 )对称 .证　必要性 .若函数 f(x) ,对于定义域内任一实数x ,都有 f(a +x) + f(b -x) =c.设P(x ,y)是函数f(x) 的图象上任一点 ,则P(x ,y)关于点 ( a +b2 ,c2 )的对称点为Q(a +b -x ,c- y) ,从而 f(a + b -x) =c - f[b - (b -x) ]=c- f(x) =c- y .所以Q(a +b -x ,c …     

九年级第二学期自测题

一、选择题 (每小题 2分 ,共 2 0分 )1 抛物线y =(x 2 ) 2 1的顶点坐标为 (　　 ) A (2 ,1 )　　　　　B (2 ,-1 )C (-2 ,1 )　　　D (-2 ,-1 )2 在函数y =3x,y =-x 2 ,y =-1x,y =12 x2的图象中 ,是中心对称图形 ,且对称中心是原点的图象有 (　　 )个 A 0　　　B 1     

函数单值性概念辩析二例

现行高中数学教材里“函数”指的是:从非空数集A到非空数集B上的映射,也就是说B集中每一元素都有A中的元素从A到B的多对一或一对一的对应(包括非空数集A、B及从A到B的对应法则f)才是函数。对此函数单值性概念初学者或初教者常不易掌握,故当涉及到某些具体问题时常感困惑,下举二例予以说明。例1 什么样的函数既是奇函数,又是偶函数? 一种错误解答是:隐函数x~2+y~2=1是兼具奇偶性的函数,其根据是,圆既关于原点成中心对称,又关于y轴成轴对称,故符合教材中已载明的两个定理的结论,即函数图象关于原点成中心对称图形是此函数为奇函数的充要条件;函数图象关于y轴成轴对称图形是此函数为偶函数的充要条件。     

谈函数图象的变换

如果己知函数y=f(x)的图象,我们可以通过有关的变换而得到一系列函数的图象。下面用具体例子加以说明。一、简单变化 1.y=-f(x) 因为-f(x)与f(x)互为相反数,所以函数y=-f(x)的图象与y=f(x)的图象关于x轴对称。故只要把y=f(x)的图象关于x轴反射,就可以得到y=-f(x)的图象。     

两类极易混淆的对称问题

先看这样两道习题: 1.若函数y=f(x)对定义域内任意的自 变量x都有f(x-1)=f(1-x),则该函数的 图像关于直线＿＿对称. 2.(1997年全国高考试题)函数y=f(x -1)与y=f(1-x)的图象关于直线＿＿对 称.(注:原题是一道选择题) 这两道习题涉及到两类对称问题,即一个     

函数图像的两种对称问题

对于如下问题,许多同学感到不知所措. 1.y=f(x)是定义在R上的函数,则y= f(1-x)与y=f(1+x)的图像关于__对称. 2.y=f(x)是定义在R上的函数,若f(1+ x)=f(1-x),则y=f(x)的图像关于__对称. 3.y=f(x)是定义在R上的函数,则y= f(x-1)与y=f(1-x)的图像关于__对称. 其实,此类问题涉及到了函数图像的两种对称性,一种是同一函数自身的对称性,我们称其为自对称;另一种是两个函数之间的对称性,我们称其为互对称.     

函数图象的变換

在中学数学中,从开始学习一次函数和二次函数时,就遇到函数图象的变換,以后对于指数函数与对数函数的图象,特别是三角函数的图象就需要研究更为复杂的一些图象变換了。但是尽管如此,这还只限在对某些特殊函数图象的研究上,因此笔者愿就一般的一元函数y=f(x)討論它的图象的对称、平移、放縮等变換,供教师們教学时参考。有不当之处,希同志們指正。一、对称 1.軸对称 (1) 关于x軸对称的图象:函数y=-f(x) 与y=f(x),当x取相同的值吋,y有相反的值(即当点的横坐标有相同的值时,两图象中对应点的纵坐标有相反的值。以后各論証仿此),所以它們的图象对称于x軸。 (2) 关于y軸对称的图象:函数y=f(-x) 与y=f(x),当x取相反的值时,y有相同的值,所以它們的图象对称于y軸。因为对于偶函数有f(-x)=f(x),因此,偶函数     

函数奇偶性的判定方法

函数的奇偶性是函数的一条重要性质,那么对函数的奇偶性,怎样才能做到更快更准确地判定呢?可从以下几方面来分析:1.根据定义域我们都知道,将奇(偶)函数的定义域表示在数轴上,定义域关于原点对称,所以,若函数的定义域不关于原点对称,则函数就一定是非奇非偶函数,例如函数f(x)=x(xx--44)定义域为(-∞,4)∪(4,+∞),不关于原点对称,所以该函数为非奇非偶函数.2.根据图象我们都知道,奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,而反之也成立,即若函数的图象关于原点对称,则函数就一定是奇函数,若函数的图象关于y轴对称,则函数就一定是偶函…     

关于函数y=lg(cx+d)/(ax+b)图象的对称问题

函数y=lgx-1x+1是奇函数,它的图象关于原点对称,而象函数y=lgx-1x+3,它没有奇偶性,但其图象会不会关于非原点的某特殊点对称呢?事实上,y=lgx-1x+3=lg(x+2)-1(x+2)+1,显然,它的图象可以由奇函数y=lgx-1x+1的图象向左平移2个单位得到,所以函数y=lgx-1x+3的图象关于点(-2,0)对称.一般地,我们可以得到函数y=lgcx-dax+b(ad≠bc,ac≠0)的对称中心,分两种情形:情形1 ac>0不妨设a,c均大于0.若a,c均小于0,则y=lgcx+dax+b=lg-cx-d-ax-b=lgnx+n′mx+m′,其中m,n均大于0.结论1函数y=lgx-mx+m(m≠0)是奇函数,它的图象有对称中心为原点(0,0).∴f(2)+f(-2)=…     

重视数学教学中的对称性

现实世界五彩缤纷 ,对称性情况比比皆是 ,尤其在数学领域更是如此 ,展现出无限魅力。中学数学教学中 ,结合教学内容最大限度地利用好对称性 ,对于培养学生学习数学的兴趣 ,启发数学的思维 ,增强数形结合的能力 ,拓宽解题思路 ,简化解题方法 ,提高中职学校学习效果 ,都是十分有益的。一、平面直角坐标系内点的对称性 :在平面直角坐标系 ,点P(x ,y)关于x轴、y轴、原点、直线 y =x对称的点为A(x ,-y)、B(-x ,y)、C(-x ,-y)、D(y,x)。这是研究其它对称性的必备条件。二、函数的对称性 :1 .奇函数、偶函数的对称性 :众所周知 ,奇函数的图象关于…     

函数性质中的一对姊妹花——对称性和周期性

我们知道，奇、偶函数具有如下重要性质：“函数f（x）的图象关于原点（0，0）对称”的充要条件是“对于f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（x）＋f（-x）=0成立”；“函数f（x）的图象关于直线x=0（即y轴）对称”的充要条件是“对于f（x）的定义域内的任意一个x，都有f（x）-f（-x）=0成立”．函数的奇偶性是函数对称性的最基本、最特殊的体现，现将其推广．     

利用基本函数图形作图

许多函数的图形,往往可由基本函数的图形变换而成。本文的目的在于揭示共变化规律,并据以给出利用基本函数图形的一种行之有效的作图方法。 (一) 几个变换定理 一、对称变换 定理1.图形y=φ(x)=-f(x)可由图形y=f(x)经x轴的对称变换(即绕x轴翻折)而得。 证明:在图形y=f(x)上任取一点M(p,q),便有q=f(p),而将M关于x轴的对称点M′(p,-q)的     

五个对称结论及应用

对称是高中数学的一个重要内容,分为中心对称和轴对称两大类型,最常见对称有,关于原点、x轴、y轴,直线y=x、直线y=-x等五种,设点P(x,y)或曲线F(x,y)=0,则有以下结论:1.关于x轴对称时,P(x,y)的对称点为P’(x,-y),曲线F(x,y)的对称方程为F’(x,-y)=0,其特点是"纵变,横不变".