“椭圆及其标准方程”的教学设计

一、数学分析 “椭圆及其标准方程”是继圆的学习之后运用“曲线和方程”理论解决具体的二次曲线的又一实例．学生对“曲线与方程”的内在联系（数形结合思想的具体表现）仅在“圆的方程”一节中有过一次感性认识．但由于学生比较了解圆的性质,从“曲线与方程”的内在联系角度来看,学生并未真正有所感受．所以,椭圆定义和椭圆标准方程的联系成为了本堂课的教学难点．     

旦德林双球模型定义后的“椭圆的标准方程”的教学

“椭圆的标准方程”是解析几何中圆锥曲线的起始课,多次被选为国家、省、市评优课的课题.新教材的设计思路遵循了椭圆发展的历史：公元前3世纪,阿波罗尼奥斯（Apollonius,约公元前262年～约公元前190年）在《圆锥曲线论》中采用平面截对顶的圆锥得到椭圆,并由多个命题导出椭圆的两个焦半径之和等于常数这一性质.17世纪荷兰数学家舒腾（F.van.Schooten,1615~1660）利用椭圆的两个焦半径之和等于常数这一性质,给出椭圆的画法.直到1822年比利时数学家旦德林（G．P. Dandelin,1794～1847）利用双球模型总结出椭圆的定义［1］.新教材中第二节课才是椭圆的标准方程,但在实际教学中（包括国家、省、市评优课）,由于大部分老师不习惯新教材的设计思路,往往还是沿袭旧教材的做法,把椭圆的标准方程和椭圆的定义安排在一节课上,报刊上发表的有关文章大多也是把二者放在一起.下面就谈一谈按照新教材的设计思路,旦德林双球模型定义后的“椭圆的标准方程”的教学的几点体会,以飨读者。     

圆与椭圆

在圆锥曲线中,通常都是以平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两定点长度）的点的轨迹叫椭圆,其标准方程为x^2/a^2＋y^2/b^2=1（a,b〉0）。特别地,当a=b时,椭圆的方程就成为了圆的方程．从这个角度来讲,圆可以看作一类特殊的“椭圆”．而且对上述椭圆方程,     

从统一方程看椭圆 抛物线和双曲线之间的联系

从统一方程看椭圆抛物线和双曲线之间的联系田蓉（北京职工医学院１０００３６）众所周知，椭圆、抛物线和双曲线可以统一地定义为到定点距离与到定直线距离之比是常数的动点轨迹，在通常的解析几何教材中，只是在极坐标下按这个定义给出统一方程，却没有再从方程出发而作...     

圆锥曲线统一定义及其统一极坐标方程

圆锥曲线统一定义及其统一极坐标方程戴书铭，陈炆（吉林前郭五中）唐吾【基本概念】１．椭圆、双曲线、抛物线可统一定义为：与一个定点（焦点Ｆ）的距离和一条定直线（准线ｌ）的距离之比等于常数ｅ的点的轨迹．（１）当０＜ｅ＜１时是椭圆；（２）当ｅ＞１时是双曲线；...     

一节数学课实录

一节数学课实录蔡大志（湖北武昌实验中学４３００６１）【教学内容】根据定义求轨迹方程．【教学目的】掌握运用二次曲线的定义求轨迹方程的方法．【教学重点】根据定义求轨迹方程的步骤及其实施方法．【教学难点】轨迹的定型及其纯粹性完备性的讨论．【教学课时间】４５...     

椭圆与双曲线焦点的完美统一

在椭圆双曲线中通常会遇到这样一类题目：求与某椭圆（或双曲线）同焦点且过某一点的椭圆（或双曲线）的标准方程．常规方法通常要求出焦点，根据焦点位置设出所求圆锥曲线方程的类型，然后联立方程组求解．本文介绍一个有关椭圆与双曲线焦点的结论，使椭圆与双曲线的统一更加完美．     

椭圆两个定义等价性的纯几何证明

读本刊 2 0 0 2年第二期《椭圆第二定义中来自学生的几个问题及对策》后 ,颇有同感 ;同时笔者也有一个该文未提及 ,而教学中每届都有学生提出且颇引起全班同学共鸣的问题 :如果不是象教材中那样布列等式组复杂变形最后化成标准方程的话 ,从“直观”上实在看不出分别满足椭圆两个定义的条件的点的轨迹竟是同一曲线 ,能否从纯几何角度来说明两个定义的等价性 ?现把本人给课外兴趣小组作的一个解答作一介绍 ,求教于各位 .图 1首先让我们来给出这个问题的提法 ,如图 1 ,椭圆 x2a2+ y2b2 =1的左、右焦点是F1 ,F2 ,右准线方程L :x=a2c,M是椭圆上…     

用圆锥曲线定义速解选填题

对于某些数学问题,若能灵活运用其定 义,便能快速获解．下面仅谈谈圆锥曲线定义 的灵活运用． 例１ 已知圆Ｏ方程为ｘ～２＋ｙ～２＝１００,点 Ａ的坐标为（－６,０）,Ｍ为圆Ｏ上任意一点, ＡＭ的垂直平分线交ＯＭ于点Ｐ,则点Ｐ的轨 迹方程为（）． 此题若用求轨迹方程的其它方法很费 时,但根据图形用定义就能迎刃而解． ｜ＰＡ｜＋｜ＰＯ｜＝｜ＰＭ｜＋｜ＰＯ｜ ＝Ｒ Ｐ点的轨迹是以 Ａ（－６,０）,Ｏ（０,０） 为焦点的椭圆．故选（Ｂ）． 例 ２ 已知定点 Ａ（２,）,Ｆ是椭圆头十头一１的左焦点,点Ｍ在椭圆上移动,１６ １…     

关于椭圆的教学

在中学平面解析几何教材中,关于椭圆知识的安排,一般都是从“到两定点距离之和等于定长”的轨迹定义出发,推导出椭圆的标准方程,再讨论椭圆的性质。通过例题讲解,引入准线概念,建立椭圆的另一个轨迹定义:“到一个定点的距离与它到一条定直     

浅谈椭圆的定义及应用

椭圆是圆锥曲线中的一种曲线 ,学好它对学好双曲线与抛物线有十分重要作用 .而椭圆的定义既是研究椭圆标准方程的基础 ,也是解题的重要依据 .为此本文对椭圆的定义急应用进行研究 ,供同学们学习时参考 .课本指出 :平面内与两个定点F1,F2 的距离和等于常数 (大于 |F1F2 | )的点的轨迹 ,叫椭圆 .在理解定义时应注意它的条件 :①定义中讲的是距离之和而不是距离差 ;②常数大于 |F1F2 | .这里应注意 ,当常数分别大于、等于、小于 |F1F2 |时 ,点的轨迹分别为椭圆、线段、不存在 ,这里渗透了分类思想 .在理解定义时 ,要注意定义的可逆性 :椭圆…     

高考题源自“探究与发现”

2008年浙江省高考理科数学选择题最后一道题,可以从普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2—1（人民教育出版社）的“探究与发现”第42页中（为什么截口曲线是椭圆）找到答案．该题提供了很好的数学探究课题,因为该题有助于学生对椭圆定义的理解,有助于学生体验椭圆的形成过程,有助于学生形成发现、     

黄金椭圆的若干性质

自詹姆斯·利根定义黄金分割椭圆[1]以来，常有阐述黄金分割椭圆性质的短文[2]见刊，这些性质无疑对二次曲线的探讨增添了新的内涵．本文将进一步介绍黄金分割椭圆的一些几何属性，它必然起到加深和拓宽对黄金比的认识和研究的作用．定义如果椭圆的短轴与长轴之比为黄金比（记为），则称这种椭圆为黄金分割椭圆，简称为黄金椭圆．由定义知b＝wa，性质1黄金椭圆的离心率为．性质2从黄金椭圆上一点K，引以短轴为直径，原点为圆心的圆O的两条切线，切点为A、B，直线AB与x轴、y轴分别相交于M、N，则．则证如图1，设K（x。，y。），op的方程…     

72 椭圆第二定义的发现

1”寻觅与追索T：我们从回顾椭圆标准方程的推导过程开始！移项，两边平方，化简得obzpb4过程中，主要有三个式子，请分别说一说，它们表示、揭示了什么？SI：①式是椭圆的定义式，它揭示了：椭国上的点到两定点距离之和等于定长2d，这一本质属性．S：③式是椭圆的标准方程，它具有简单、对称、和谐的特点．T：那么，②式又揭示了什么呢？我们将②式变形为④式的几何意义是什么呢？S：④式表示椭圆上的点M（X，y）到焦．左A（C，0）与到定直线人：C一一的距离之比是常数上（a＞c＞0）（注意一一—·。＞a，即定直线在椭圆的右面的外侧…     

浅谈椭圆、双曲线第二定义的教学

圆锥曲线的统一定义（与一个定点的距离和一条定直线距离的比等于常数的点的轨迹）是“圆锥曲线”这一章的核心．而椭圆、双曲线的第二定义是统一定义的重要组成部分，因此，处理好第二定义的教学，无论对沟通第一、第二定义的联系，从而加深学生对椭圆、双曲线本质属性的...     

在主编寄语指导下的椭圆教学

1教学回顾与反思在笔者以往的椭圆第1课时教学中,采用的教学基本流程是:教师用绳子画椭圆→建立椭圆定义→建立椭圆标准方程→例1和练习→小结与布置作业.反思这一过程,感到有如下问题:(1)两种曲线无关感到突兀按照教材编写的顺序进行教学,根据椭圆的定义先画出图形,然后给出定义,再推导其标准方程.但是学生心目中的"椭圆"应该与圆有一定联系,至少它们外表"相近","椭圆"是一个长圆形,是由圆"压扁"或"伸长"而成.今天学习椭圆教师为什么不提圆呢?这样显得没有人情味,学生心里产生一种不自然感.     

利用圆锥曲线的光学性质求一类最值

普通高中课程标准实验教科书人教A版选修2—1第二章《圆锥曲线与方程》中三次涉及了圆锥曲线的光学性质,（1）第46页,2．2．2椭圆的简单的几何性质,例5涉及了椭圆的光学性质,（2）第66页,2．4．1抛物线及其标准方程,例2涉及了椭圆的光学性质,     

圆锥曲线方程

本单元的主要知识点是：椭圆的定义、标准方程、几何性质、第二定义及其参数方程；双曲线的定义、标准方程、几何性质、第二定义；抛物线的定义、标准方程及其几何性质；根据给定条件用定义法或待定系数法求曲线的方程；用中间变量法求动点的轨迹；直线与圆锥曲线的位置关系及弦长、焦点弦等问题；画圆锥曲线的草图等。     

椭圆与双曲线

1　本单元重、难点分析重点 :1)椭圆的两种定义 ,两种标准方程 ,几何性质 (包括 :范围、长轴、短轴、顶点、对称性、焦点、离心率、准线 ) .2 )双曲线的两种定义 ,两种标准方程 ,几何性质(包括 :范围、实轴、虚轴、顶点、对称性、焦点、离心率、准线、渐近线 ) ,等轴双曲线 .3)直线与椭圆或双曲线相交所成弦的中点轨迹问题 .4 )待定系数法、运动变化的思想 ,数形结合的思想的应用 .难点 :曲线方程的探求过程 ,利用定义解题 ,几何性质及应用 ,已知方程画曲线 ,讨论对称性和曲线中参数的范围 ,与渐近线有关的双曲线问题的讨论等 .典型的方法与…     

正确理解和运用圆锥曲线的定义

对于椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线 ,既有椭圆、双曲线各自的定义 (第一定义 ) ,又有三种圆锥曲线的统一定义 (第二定义 ) ,正确理解和掌握这些定义是学好圆锥曲线的关健 .准确、灵活运用圆锥曲线定义解题不仅可以加深对定义的理解 ,还能起到事半功倍的作用 .1　求动点的轨迹及方程例 1　 1 )平面上到定点与定直线的距离相等的点的轨迹是 (　　 )(Ａ)圆 .　　 (Ｂ)抛物线 .(Ｃ)直线 .　 (Ｄ)直线或抛物线 .2 )方程 (ｘ - 1 ) 2 + ｙ2 =|ｘ - ｙ + 3|对应点Ｐ(ｘ ,ｙ)的轨迹为 (　　 )(Ａ)椭圆 .　　 (Ｂ)双曲线 .(Ｃ)抛物线 .　 (Ｄ)两…