一道习题的探究性学习

题目:设函数y=f(x)的定义域为D,若对于任意x1、x2∈D且x1+x2=2a,恒有f(x1)+f(x2)=2b,则称点(a,b)为函数y=f(x)图像的对称中心.研究并利用函数f(x)=x3-3x2-sin(πx)对称中心,求f(1/2012)+f(2/2012)+…+f(4022/2012)+f(4023/2012)的值. 本题属于“学习迁移型”试题,高三复习课后学习、思考与研究的一次探究作业题,其关键要求出函数y=f(x)图像的对称中心.在展示研究成果时,有些学生独特的解法与探究精神让笔者惊讶不已,也使笔者对函数图像的对称中心探求方法有了新认识和新思考,经整理、修改展示如下.     

函数与数列综合问题例析

数列是高考的热点 ,是学生进一步学习的基础 .数列与函数知识的综合应用是学生学习的难点 ,下面列举这方面的例子进行分析 .例 1　已知函数f(x)在 ( - 1,1)上有定义 ,f 12 =- 1,且满足x ,y∈ ( - 1,1)有 f(x) +f(y) =f x + y1+xy .1)证明 :f(x)在 ( - 1,1)上为奇函数 ;2 )对数列x1 =12 ,xn + 1 =2xn1+x2 n,求 f(xn) ;3)求证 1f(x1 ) + 1f(x2 ) +… + 1f(xn) >- 2n + 5n + 2 .解　 1)令x =y =0 ,则 2 f( 0 ) =f( 0 ) ,∴ f( 0 )= 0 .令 y =-x∈ ( - 1,1) ,则f(x) + f( -x) =f( 0 ) =0 ,∴ f( -x) =- f(x) ,即f(x)为 ( - 1,1)上的奇函数 .( 2 …     

两题一解正误怎辨

题 1　设函数 y =f( x)的定义域为 R,且满足 f( a + x) =f ( b- x) ,求 y =f ( x)的图像的对称轴方程 .题 2　设函数 y =f ( x)的定义域为 R,求函数 y =f ( a + x)与 y =f ( b - x)的图像的对称轴方程 .解 1　令 a + x =t,则 x =t- a,从而b - x =b + a - t,∴　 f ( t) =f( b + a - t) ,即 f ( x) =f( b + a - x) ,∴　 y =f ( x)的图像是轴对称图形 ,且对称轴方程为 x =b + a2 .解 2　令 a + x =t,则 x =t- a,从而b - x =b + a - t,∴　函数 y =f ( a+ x)与 y =f ( b- x)的图像的对称轴即为 y =f ( t)与 y =f ( b+a - t)的图像的对称轴 ,…     

上期课外练习解答

高一年级1.∵　f(2 ) =f(1)·f(1) =1,f(3 ) =f(1)·f(2 ) =1,f(4 ) =f(3 )·f(1) =1……由归纳得f(1) =f(2 ) =f(3 ) =… =f(2 0 0 3 ) =1.∴　原式 =1.2 .当x为非零实数 ,故　f(x + 1) =f(x)·f(1) 　f(x + 1)f(x) =f(1) =3 ,故　f(2 )f(1) + f(4 )f(3 ) +… + f(2n)f(2n -1) =3n .∴　n =667.3 .f(x) =a + 1-2ax + 2 欲使f(x)在 (-2 ,+∞ )上是增函数 ,只须使 1-2a <0 ,故a的取值范围是 (12 ,+∞ ) .高二年级1.记f(x) =x2 -2x +a ,g(x) =x2 -2bx + 5由函数图象易知A B f(1) =a -1≤ 0 ,f(3 ) =3 +a≤ 0 ,且 g(1) =6-2b≤ 0 ,g(3 ) =1…     

观察 猜想 验证 反思——从一道课本习题说起

题　设f(x) =x2 - 1x2 +1,求1) f ba ;　2 ) f ab .解　1) f ba =b2a2 - 1b2a2 +1=b2 -a2a2 +b2 ;2 ) f ab =a2b2 - 1a2b2 +1=a2 -b2a2 +b2 .对1) ,2 )的计算结果进行观察,不难发现:f ab +f ba =b2 -a2a2 +b2 +a2 -b2a2 +b2 =0 .由f ab ,f ba 的特点,容易让人联想到f(x) +f 1x 的值有可能为定值,于是进行验证:f(x) +f(1x) =x2 - 1x2 +1+1x2 - 11x2 +1=x2 - 1+1-x2x2 +1=0 (x≠0 ) .通过验证,说明猜想成立,这样就得到了一般性的结论.用此方法可以解决一些高考和竞赛题,下面举例说明.例1　(2 0 0 2年全国高考)己知f(x) =x21+x2 ,求f(1) +f(12 …     

课外练习

高一年级1.已知a ,b为整数 ,且 f(a +b) =f(a)·f(b) ,又f( 1) =1,求 f( 1) +f2 ( 2 ) +f3 ( 3 )+… +f2 0 0 3 ( 2 0 0 3 )的值 .(安徽岳西县城关中学 ( 2 4660 0 )李庆社 )2 .如果函数f(x) ,对于非零实数x1,x2 均有f(x1+x2 ) =f(x1)·f(x2 )且f( 1) =3 ,当f( 2 )f( 1) +f( 4 )f( 3 ) +f( 6)f( 5 ) +… +f( 2n)f( 2n -1) =2 0 0 1时求n .(深圳市蛇口中学 ( 5 180 67)　王远征 )3.若函数 f(x) =ax +1x +2 在区间 ( -2 ,+∞ )上是增函数 ,则a的取值范围是 .(北京昌平一中 ( 10 2 2 0 0 )何乃忠张全合 )高二年级1.设A ={x|1相似文献   

函数f(a+x)与f(a-x)的图像关于x=a对称吗?

在学习函数问题时往往需要数形结合利用函数图像,有时会涉及图像的对称性.问题1函数y=f(a+x)与y=f(a-x)的图像关于x=a对称吗?分析我们先从具体函数f(x)=x3谈起,     

2003年湖南省高中数学竞赛试题及参考答案

选择题 (共 6小题 ,每小题 6分 ,满分 36分 )1　设函数f(x) =logax (a >0 ,a≠ 1) ,若 f(x1x2…x2 0 0 3 ) =8,则 f(x21) + f(x22 ) +…f(x22 0 0 3 )的值等于 (　　 )(A) 4 .　 (B) 8.　 (C) 16 .　 (D) 2loga8.解　f(x21) + f(x22 ) +… + f(x22 0 0 3 ) =logax21+logax22 +… +logax2 0 0 32 =2 (logax1+logax2 +… +logax2 0 0 3 ) =2logax1x2 …x2 0 0 3 =2 f(x1x2 …x2 0 0 3 ) =16 .故选 (C) .2　如图 1,S ABC是三条棱两两互相垂直的三棱锥 .O为底面ABC内一点 ,若∠OSA =α ,∠OSB =β ,∠OSC =γ ,则tanαtanβtanγ的取值…     

新题征展(62)

A　题组新编1 .已知函数 y =f ( x) ,对于任意实数 x1和 x2 ( x1≠ x2 ) ,均有 f ( x1+ x2 ) =f ( x1) .f ( x2 ) ,且 f( 0 )≠ 0 .( 1 )若 f ( 1 ) =1 ,则 f ( 1 ) + [f( 2 ) ]2 +[f ( 3) ]3 +… + [f( 2 0 0 5) ]2 0 0 5=;( 2 )若 f( 1 ) =3,且 f( 2 )f( 1 ) + f ( 4 )f ( 3) + f ( 6 )f ( 5)+… + f( 2 n)f ( 2 n - 1 ) =2 0 0 7,则 n =;( 3) f ( - 2 0 0 6 ) .f ( - 2 0 0 5) .… .f( - 1 ). f ( 0 ) . f ( 1 ) .… . f ( 2 0 0 6 ) =.2 .在△ ABC中 ,三个顶点的坐标是A( 1 ,1 )、B( 4 ,1 )、C( 3,2 ) ,且动点 P( x,y)在△ ABC内部…     

从一道数学竞赛题谈起

第四届 ( 1 992年 )北京市大学生数学竞赛 (非数学专业 )有这样一道试题 :若函数 f ( x)对一切 u≠ v均有f( u) - f( v)u- v =αf′( u) + βf′( v) , ( 1 )其中 α,β>0且 α+ β=1 ,试求 f( x)的表达式 .本题有多种解法 ,现介绍两种不同于 [1 ]的解法 .解法一　 1°若 f′( x)≡ k( k为常数 ) ,则 f( x)为一次函数 ,问题已经解决 .2°若 f′( x)不恒为常数 ,则至少存在两点 x1与 x2 使 f′( x1)≠ f′( x2 ) ,在 ( 1 )式中分别令 u=x1,v=x2 及 u=x2 ,v=x1,可得f ( x1) - f ( x2 )x1- x2=αf′( x1) + βf′( x2 ) , ( 2 )f ( x2 ) - f ( …     

李安纳特方程的稳定性和有界性

§ 1 .　Introduction　　Recently,Li啨ｎａｒｄ typeequationhasbeenwidelyinvestigated ,manyexcellentresultshavebeenobtained .In [1],theauthorhasinvestigatedLi啨ｎａｒｄ typeequation¨x +f1 (x) x +f2 (x) x2 +g(x) =0 ( 1)andadtainedmanyresultsonthequalitativebehaviorofequation ( 1) .FortheretardedLi啨ｎａｒｄ typeequation¨x+f1 (x) x+f2 (x) x2 +φ(x) +g(x(t -h) ) =0 ,( 2 )wherehisanonnegativeconstant,f1 ,f2 ,φandgarecontinuousfunctionsonR ,theauthorsin [2 ]haveinvestigatedstabilityandbounde…     

西安建筑科技大学·高等数学期末试题(2005.1.3)

一、填空与单项选择题(每小题3分,共30分)1.已知当x→0时,无穷小1-cosx与asin2x2等价,则a=2.limx∞x-sinxx+sinx=3.12∫-12cosxln1+x1-xdx4.设f(x)的一个原函数是sinx,则xf∫′(x)dx=5.曲线y=e-x+2x上与直线x-y+2=0平行的切线方程是6.函数y=∫x0t(t-1)dt的极小值是()(A)0(B)-16(C)16(D)567.若连续曲线y=1f(x)与y=f2(x)在[a,b]上关于x轴对称,则b∫af1(x)dx+b∫af2(x)dx的值为()(A)2∫baf1(x)dx(B)2∫ba2f(x)dx(C)0(D)2∫ba[f(x)-f2(x)]dx8.设y=exsinx,则dy=()dex(A)sinx-cosx(B)sinx+cosx(C)ex(sinx-cos(x)D)ex(sinx+cosx)9.下列函数中(…     

奇偶函数性质的延拓

我们知道一个奇函数f(x) ,对于定义域内任一实数x ,都有f(x) + f( -x) =0 .其实质是奇函数f(x) 的图象关于原点对称 .将其图象适当平移 ,可得如下命题 :命题 1　函数f(x) ,对于定义域内任一实数x ,都有 f(a +x) + f(b -x) =c成立的充要条件是函数f(x) 的图象关于点( a +b2 ,c2 )对称 .证　必要性 .若函数 f(x) ,对于定义域内任一实数x ,都有 f(a +x) + f(b -x) =c.设P(x ,y)是函数f(x) 的图象上任一点 ,则P(x ,y)关于点 ( a +b2 ,c2 )的对称点为Q(a +b -x ,c- y) ,从而 f(a + b -x) =c - f[b - (b -x) ]=c- f(x) =c- y .所以Q(a +b -x ,c …     

高三数学期中自测题

选择题　 (每小题 5分 ,12小题共 6 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1.集合M ={x|x =2n ,n∈Z} ,N ={x|x =2n +1,n∈Z} ,P ={x|x =4n +1,n∈Z} ,x∈M ,y∈N ,则必有 (　　 )(A)x +y∈M .(B)x +y∈N .(C)x +y∈P .(D)x +y M ,N ,P任何一个 .2 .已知集合M =- 1,0 ,1,f是从M到M的映射 ,则满足 f(- 1) +f(0 ) +f(1) =0的映射有(　　 )(A) 6个 .　 (B) 7个 .　 (C) 8个 .　 (D) 9个 .3.已知f0 (x ) =f (x ) =x +1(x≤ 1) ,-x +3(x >1) ,fn +1(x) =f [fn (x ) ],则f2 (- 12 ) = (　　 )(A) - 12 . (B) 32 …     

秘密在哪儿？

在函数y =f(x)中隐含着秘密 ,发现并利用y =f(x) 的秘密 ,是顺利解题的关键 .那么 ,秘密到底藏在哪儿呢藏在函数的关系式之中例 1 :(0 1年全国高考题 )设 f(x)是定义在R上的偶函数 ,对于任意x1 ,x2 ∈ 0 ,12 ,都有f(x1 +x2 ) =f(x1 )·f(x2 ) ,且 f(1 ) =2 .求 f 12 ,f 14 .分析 :怎样由 f(1 ) =2去求f 12 呢 ?从题设给出的函数关系式 :f(x1 +x2 ) =f(x1 )·f(x2 )启发我们 ,只要把 1分成两个 12 之和 ,即可解决问题 .解析 :首先 ,由x1 ,x2 ∈ 0 ,12 都有f(x1 +x2 ) =f(x1 )·f(x2 )的条件 ,可推出x∈ [0 ,1 ]时都成立的一般式子 :f(x) =f …     

赋值法在抽象函数中的应用

我们把未给出具体解析式的函数称为抽象函数 .由于这种表现形式的抽象性 ,使得直接求解思路难寻 .解这类问题可以通过化抽象为具体的方法 ,即赋予恰当的数值或代数式 ,经过运算与推理 ,最后得出结论 .下面分类予以说明 .1　 判断函数的奇偶性例 1　若 f ( x + y) =f ( x) + f ( y)对于任意实数 x、y都成立 ,且 f( x)不恒等于零 ,判断函数 f ( x)的奇偶性 .解　在 f( x + y) =f ( x) + f ( y)中令x =y =0 ,得 f( 0 ) =0 .又在f ( x + y) =f( x) + f ( y)中令 y =- x,这样就有　 f ( x - x) =f ( x) + f( - x) ,即 f ( 0 ) =f ( x) + f ( - x)…     

含参二次绝对值函数题的解法探究

<正>一、试题呈现已知函数f(x)=x²+ax+b(a,b∈R).记函数g(x)=|f(x)|在区间[0,4]上的最大值为M(a,b).求证:当-8≤a≤0时,有M(a,b)≥1/8a2+ax+b(a,b∈R).记函数g(x)=|f(x)|在区间[0,4]上的最大值为M(a,b).求证:当-8≤a≤0时,有M(a,b)≥1/8a².二、解题探究解法一(1)当a=0时,f(x)=x2.二、解题探究解法一(1)当a=0时,f(x)=x²+b在区间[0,4]上为增函数,则M(a,b)=max{|f(0)|,|f(4)|}     

一堂解题教学课的实录与启发

在学习了｜a｜-｜b｜≤｜a±b｜≤｜a｜+ ｜b｜之后 ,我精心设计了一堂解题教学课 .在师生的互动活动中 ,教学过程一波三折 ,效果出人意料 ,使我深受启发 .现在对本次课记录如下 ,与大家共享 .出示例题 :求函数f(x) =｜x + 1 ｜-｜x- 2 ｜的最小值经过思考后 ,一位同学提出如下解法 :因为 ｜x+ 1｜≥｜x｜- 1 ①-｜x- 2 ｜≥- ｜x｜- 2 ②所以① +②有 :｜x+ 1｜- ｜x- 2｜≥ 3 ③即　f(x) min =- 3教师评议 :解题思路清楚 .唯一不足的是 :需要指出取“=”的条件 .要使f(x)最小值存在 ,必须③中取得“=” ;③中取得“ =” ,需要①②中“=”…     

新题征展(69)

A题组新编1.已知ABCD为空间四边形,分别求下列情况下两对角线AC、BD所成的角:(1)AB=AD,CB=CD;(2)AB⊥CD,AD⊥BC;(3)AB2+CD2=AD2+BC2.2.已知函数f(x)=x3+3ax2-3b,g(x)=x2-2x+3.(1)若曲线f(x)与g(x)在x=2处的切线互相平行,则a、b的取值分别为;(2)若曲线f(x)与g(x)在x=2处的切线的夹角为45°,则a、b的取值分别为;(3)若f(x)在f(x)与g(x)的图像的交点处取得极值,则a、b的取值分别为.3.已知O为坐标原点,OP=(23,-2),OQ=λOP(0<λ<1),MQ.OP=0,ON+OQ=0,MN=(m,0).(1)当λ=12时,求m的值;(2)当m=-8时,求ON.NM.4.若函数f(x)=1+x2,a…     

对一类函数不等式的讨论

一、问题的来源例 :已知 :当 |x|≤ 1时 ,有 |ax2 +bx +c|≤ 1 .证明 :当 |x|≤ 1时 ,有 |2ax +b|≤ 4 .以上为一匈牙利奥数竞赛题 ,综观各类文献 ,其典型的证法有以下两种 :证法一 :记f(x) =ax2 +bx+c,g(x) =2ax+b.因函数 g(x)在 [- 1 ,1 ]上单调 ,故只要证明在已知条件下有 |g(1 ) |=|2a+b|≤4且|g(- 1 ) |=|- 2a+b|≤ 4即可 .易知2a+b=32 (a +b +c) +12 (a -b +c) - 2c=32 f(1 ) +12 f(- 1 ) - 2f(0 ) .于是由 |f(- 1 ) |≤ 1 ,|f(0 ) |≤ 1及|f(1 ) |≤ 1 ,知 |2a +b|≤ 32 |f(1 ) |+12 |f(- 1 ) |+2 |f(0 ) |≤32 +12 +2 =4,即 |2a +b|…