函数单调性问题的转化策略

“函数在给定区间上单调”问题是中学数学中学习导数后的一类常见问题,它涉及导数与函数单调性的关系及转化与化归等数学思想的应用,因而在高考中屡见不鲜．本文从一道典型题出发,总结这一类问题及其变式题的转化思路．     

函数单调性问题中的恒成立问题

有一类关于函数单调性的判定问题 ,根据函数单调性的定义 ,可转化为恒成立问题后 ,方便、快捷地得以解决 .例 1　设函数 f(x) =logπ(ax2 + 2x)在 [2 ,4 ]上为单调递增函数 ,求a的取值范围 .浙江《中学教研 (数学 )》2 0 0 3年第 4期中 ,用分类讨论法求解此题 ,较繁 ,现简解之 .解　因为 f(x) =logπt在t∈ (0 ,+∞ )上为单调递增函数 ,所以只需t =ax2 + 2x在 [2 ,4 ]上为单调递增函数即可 .若设 2≤x1- 2x1+x2在 [2 ,4 ]上须恒成立 .由…     

用函数单调性解方程实根分布的有关问题

方程的实根分布情况,常常与参数的取值范围结合在一起,解答这类问题,有时需要借助于导数从研究函数的单调性入手,使问题获得比较圆满的解决．     

如何用导数解决含参函数的单调性问题

1提出问题我们在解决单调性问题中，常常遇到一类含有参数的函数（简称含参函数）在某区间单调问题：     

函数单调性的应用

单调性是函数的一个基本性质 ,该性质有广泛的应用 ,主要用于如下几个方面 :1　比较两个数的大小例 1　比较log2 (x + 1)与log2 ( 2x + 3)的大小 .简析　从题设的两个对数 ,便联想起y =log2 u在 ( 0 ,+∞ )上是单调函数 ,因此只要比较两个真数的大小 ,原题就可获解 .解　由 x + 1>0 ,2x + 3>0 ,解得x >- 1.当x >- 1时 ,有 0 - 1,且x≠ 0 ,n∈N ,n≥ 2 ,求证 :( 1+x) n>1+nx .简析　欲证 ( 1+x) n >1+nx ,需…     

与单调性概念有关的几个疑惑

函数的单调性是函数的一个重要性质,也是高考的热点与重点考查对象之一,几乎每份高考试卷都有相关的试题,在平时的学习中,由于对单调性概念理解不深透,存在这样或那样的疑惑,考试时总是产生这样或者那样的错误,本文结合平     

函数单调性应用的再探索

函数单调性是函数重要的性质,其应用体现了函数的思想、转化的思想、数形结合的思想.充分利用函数单调性解题可以使原本复杂的问题简单化、明了化,灵活掌握并应用这一性质有利于培养学生分析问题的能力,提高学生数学思维的品质.应用函数单调性解题,在高考中历考弥新.笔者结合具体事例分析利用这一性质求解比较数或式的大小,证明不等式,求函数的值域、极值,参数的取值范围的确     

函数中的任意性和存在性问题

函数中的任意性、存在性问题,也即函数中的恒成立和能成立问题,一直是高中数学考试乃至高考的重点和难点,这一类问题主要涉及到函数的最值和值域,其基本模式如下:1.不等式f(x)>A对于任意的x∈D成立     

函数不等式高考压轴题巧解

在近几年的高考试题中,出现了含有参数的函数不等式在某一区间上恒成立求参数取值范围的压轴题,大多学生在处理时感觉困难,无从入手,那么有没有一种既简单又易操作的通性通法呢?本文通过一些实例介绍解决这类问题的一种方法.导数是高中新课标教材中的重要内容,它是研究函数的有力工具,应用导数来解决函数的单调性与最(极)值问题也是近年来高考的热点.利用导数解决有关函数问题,是一种有效的手段.这类问题都有一个共同的特征,即求解方程f’(x)=0.若能直接找到根,则结合具体问题对原函数进行分析,从而达到解题的目的;若方程含有参数无法直接解出(如:ex-2ax-1=0),而解方程f’(x)=0的过程又是解答导数问题的必经之路,我们又该怎么办呢?所以解f’(x)=0的技巧也是解答函数不等式问题的一把万能钥匙.在方程无法解出时,我们可以对函数的导数再求导,即用二阶导数研究一阶导数,进而解决问题.     

导数在解决函数问题中的应用

导数是解决函数的单调性、极值、最值、切线等问题的有力工具,作为高中数学的新增内容之一,运用导数研究函数的恒成立、最值、方程、不等式的证明等问题是近几年高考的热点,也将是命题的新增长点.如果给定函数解析式次数高于二次、形式复杂时,常考虑用导数解决函数问题.     

新高考强化了导数应用——不等式恒成立与有解问题辨析

不等式恒成立与有解问题,经常在函数、导数、不等式等知识点的交汇处出现,一直是中学数学的-个重点 在新课程高考试题中,不等式恒成立与有解的问题,经常与参数的范围联系在一起,成为新高考的一个亮点. 考场实践证明,考生容易把"恒成立与有解问题"弄混,使之成为高考中的一个难点.本文通过对"恒成立与有解问题"的辨析,看看导数在新高考中应用的强化.     

函数单调性在解不等式与方程中的应用

1　在解不等式中的应用例 1　解不等式(1 .2 5) 1-(ｌｏｇ2 ｘ) 2 <(0 .64 ) 2 ｌｏｇ ｘｘ.解　∵ (1 .2 5) 1-(ｌｏｇ2 ｘ) 2 =541-(ｌｏｇ2 ｘ) 2=54 · 45(ｌｏｇ2 ｘ) 2 ,又∵ (0 .64 ) 2 ｌｏｇ ｘｘ=(45) 8,∴原不等式可变形为5445(ｌｏｇ2 ｘ) 2 <458,即 45(ｌｏｇ2 ｘ) 2 <459.∵ 45(ｌｏｇ2 ｘ) 2 为单调减函数 ,∴ (ｌｏｇ2 ｘ) 2 >9.即ｌｏｇ2 ｘ >3或ｌｏｇ2 ｘ <- 3 .故此不等式的解是 :0 <ｘ <18或ｘ >8.例 2　已知 ｙ1=ａｘ2 -3ｘ 1与 ｙ2 =ａｘ2 2ｘ -5 ,其中ａ >0且ａ≠ 1 ,若 ｙ1<ｙ2 ,求ｘ的值 .解　若ａ >1 ,则 ｙ…     

文科数学中运用导数解决含参函数问题的策略

函数与导数是高中数学的核心内容．以函数为载体,以导数为工具,考查函数性质及导数应用为目标,是最近几年函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向．运用导数确定含参数函数的参数取值范围是一类常见的探索性问题,考查的基本点主要是求存在性问题或恒成立问题中的参数的范围．解决这类问题,主要是运用等价转化的数学思想,通过不断地转化,把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题．解决的主要途径是将含参数不等式的存在性或恒成立问题根据其不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参函数的最值讨论．     

定义法证函数单调性学习心得

我们在学习函数单调性时应倍感亲切,因为初中时已经接触过.当时有两句口诀人人都会讲,第一句：＂y随x增大而增大＂.这就是高中所学的增函数.第二句：＂y随x增大而减小.＂这就是减函数.当时没有点明函数的单调性,也没有强调单调区间,进入高中后学习函数单调性时,将上述两句语言抽象成了数学符     

函数不等式恒成立问题的求解策略

函数-不等式恒成立问题是中学数学的重要内容,也是近年高考的一个热点问题.研究高考试题,不难发现函数-不等式问题立意深刻,是有效地甄别考生能力的一类好试题.本文中例谈高考中函数-不等式恒成立问题的求解策略,以飨读者.一、直接法例1(2007年重庆卷)已知函数f(x)=ax~4lnx+bx~4-c(x>0)在x=1处取得极值-3-c,其中a,b,c为常数.(Ⅰ)试确定a、b的值;(Ⅱ)讨     

函数单调性在证明不等式中的应用

利用函数的某些性质解决不等式的证明问题 ,在高等数学中是经常使用的方法 ,本文结合实例 ,利用函数的单调性来处理不等式的证明问题 .例 1　当 0 f (x) >limx→ π2 - 0f (x) ,而 limx→ 0 f (x) =1 ,limx→ π2 - 0f (x) =2π ,故 1 >sinxx >2π.例 2　当 x>0时 ,证明 :x -x22 相似文献   

一道导数题的阅卷启示

笔者参加了今年安徽省的高考阅卷,批阅理科第16题.题目及所给标准答案如下:     

一类函数的对数完全单调性

通过对参数λ,μ的讨论,主要利用函数的单调性理论,已有对数完全单调函数的性质以及幂函数的积分表达式研究了函数Gλ,μ(x)及函数[Gλ,μ(x)]-1的对数完全单调性,并在此基础上得到了一定条件下函数Gλ,μ(x)及[Gλ,μ(x)]-1对数完全单调的充要条件.     

从函数单调性的角度看一类“不等式恒成立”问题的等价转化

近几年来,随着高考命题改革的逐步深入,全国以及各省、市自主命题的高考试题不断有所创新．这种创新一方面体现在更加重视对学生能力的考查,另一方面体现在更加注重对数学思想和数学知识应用的考查．其中,以高等数学知识为背景的试题,设计形式新颖,成为高考试卷中一道亮丽的风景线．这些试题的设计来源于高等数学,但解决的方法却是高中数学所学的初等数学知识,