欧氏几何的公理体系和我国平面几何课本的历史演变

1 几何原本与几何基础 我们都知道，两千多年前，古希腊的数学家欧几里得写了一本著名的书——《原本》，在古往今来的浩瀚书海中，《原本》用各国文字出版的印数仅次于《圣经》而居世界第二位．我国最早的中译本是在明朝末年由外国传教士利玛窦与我国科学家徐光启翻译的，1607年出版，书名定为《几何原本》．此后，我国出版的各种译本都沿袭这一名称。     

欧几里得的《原本》

欧几里得(Euclid,公元前约330-275)是被世人尊称为“几何学之父”的古希腊的大数学家,早年求学于雅典,曾在柏拉图(Plato) 学园受过教育．约在公元前300年应托勒密一世的邀请,来到亚历山大大学从事研究和教学．欧几里得治学严谨,他那句流芳百世的名言:“几何无王者之道”,表达了欧几里得尊     

数学历史的启示（续完）

人类在很早的时候,就有各种计算面积与体积的公式或经验公式,也得到了不少几何的定理,例如：著名的Pythagoras(毕达哥拉斯,约公元前580年一前500年)定理等．但在古代作为几何的代表作,则是Euclid(欧几里得)的《原本》(Elements)．Euclid生平不详,只知他在公元前300年左右活跃于亚历山大城,《原本》共13卷,包括5条公理,5条公设,119个定义和465条命题,构成了历史上第一个数学公理体系,可以说其影响一直延续至今．现在中学里学习的“平面几何”与“立体几何”的内容,在《原本》中都已有了．《原本》不但包含了“平面几何”与“立体几何”的内容,而且还涉及到其它一些数学内容,如数论的一些内容等．所以《原本》不完全是一部纯几何的著作,这是历史上印数最多的著作之一(仅次于圣经),一部历史上应用时间长达一、二千年的书,而且其影响极大,如数学公理化的思想,不仅影响几千年来数学的发展,还影响到许多其他学科．     

欧几里得《原本》的中文译本的产生

本文回顾欧几里得《原本》这部经典数学著作的中文译本产生的三个阶段 ,并略论它的产生对传统中国数学的影响 .1　《原本》中译本的产生欧几里得 (Ｅｕｃｌｉｄ ,公元前约 330～前 2 75)是被后人尊为“几何学之父”的希腊数学家 .他编著的《原本》集当时希腊数学之大成 ,开公理化方法之先河 ,对后世数学以及其他科学产生了难以估量的影响 .为此 ,人们称《原本》为数学家的“圣经” .《原本》的手抄本流传了一千七百多年后 ,才有印刷本 ,长期印刷中 ,出现了一千多种版本 ,从希腊文先后译为阿拉伯文、拉丁文、英文等 .科学书籍中 ,在使用时间…     

用“找规律”重新认识“辗转相除法”

<正>辗转相除法最早出现于古希腊欧几里得《几何原本》的第Ⅶ章,其主要作用在于给出了求两个正整数最大公因数的一般方法.比如,要求198和252的最大公因数,运用辗转相除法的计算过程为     

几何论证的教育功能与课程改革——读《标准（征求意见稿）》的一点体会

本文着重谈谈对《标准 (征求意见稿 )》中的“几何论证”的看法 .1　几何论证的教育价值众所周知 ,以《九章算术》为标志的中国古代数学 ,注重寓理以算 ,注重经世致用 ,没有系统地使用数学符号 ,没有自觉的抽象思维 ,没有证明 ,没有创造出甚至没有想到作为理论体系的数学 ,因而没有得到很好的发展 .相反 ,古希腊数学对人类整个文明却发挥了非同凡响的影响 ,突出以欧几里得 (Ｅｕｃｌｉｄ)的《几何原本》为标志 ,它产生了一种理性的力量、思维的力量 ,提出了理性思维的模式 ,从而增加了人们利用思维推理获得成功的信念 .它从公元前 3世纪开始…     

关于数学中的公理化方法

公理化方法(以下简称公理法)的广泛使用,是现代数学的一大特点。 一、公理化方法的沿革 数学中的公理法起源于欧几里得的《几何原本》(或简称《原本》)。欧几里得基于当时所积累的丰富的几何事实,把一些基本概念(点、线、平面)加以定义,而后选择一些几何的基本命题叫做公理(欧氏     

《几何原本》中的“余弦定理”

《几何原本》是欧几里得1最重要的数学著作,它是对古希腊数学的一次总结,全书共有13卷（有些书中认为是15卷）.第1、2、3、4、6、11、12、13卷的内容属于几何学,剩下的5卷属于现今的算术和数论,全书共有命题636个.在一次数学史的课上,老师讲到《几何原本》第一卷和第二卷中的一些命题,课后我对这些命题进行整理,发现...     

勾股定理及其逆定理

勾股定理揭示的是直角三角形三边之间 的度量关系,其内容是 如图1,△ABC中, ∠C=90°,CB=a,AC =b,AB=c,则有 a2+b2=c2． 勾股定理最早的文 字记载见于欧几里得 (公元前三世纪)的《几何原本》第一卷命题 47,“直角三角形斜边上的正方形面积等于两 直角边上正方形面积之和．”     

欧几里得和《几何原本》

几何学到公元前4世纪,经过一大批希腊数学家的努力,已经有了丰富的内容,但是内容繁杂、孤立、不系统.第一个把几何总结成一门具有严密理论学科的,是希腊杰出的数学家欧几里得.他是在公元前300年左右,应托勒密王的邀请,来亚历山大城教学的.他酷爱数学,他非常详尽地搜集了当时所能知道的一切几何知识,整理成一门有着严密系统的理论,写成了数学史上早期的巨著——《几何原本》.     

从数学史角度谈三棱锥体积公式的证明

众所周知,棱锥的体积公式为V=1/3Sh,它的背后隐藏着一段优美的探索历程和深刻的数学思想方法:古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》中研究过它;祖日恒原理的发现为其证明提供了新思路;近代法国数学家勒让德也曾对它产生兴趣;微积分工具的逐渐成熟使其证明变得简捷且更具一般     

“旅行者问题”对图论发展的历史作用及其教育价值——在高中校本课程中探究正多面体表面的哈密尔顿回路

<正>1前言正多面体也称为“柏拉图多面体”,它的历史可以追溯到古希腊时期.柏拉图(Plato,公元前427-347)在宇宙起源学说中将正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体分别与火、土、气、水这四种元素相对应,而正十二面体由于具有每个面均为正五边形的特殊性,作为“第五种存在”(quintessence)²对应着宇宙.在欧几里得(Euclid,公元前330-260)的《几何原本》第13卷命题13-17中严谨地证明了如何在球内作这五种内接正多面体³,     

非欧几何的发现

欧氏几何包括我们高中生学过的平面几何和立体几何 ,但欧氏几何并不是唯一能正确反映物质空间的几何学 .为了开阔同学们的视野、了解几何空间的多样性 ,这里介绍另一种几何———非欧几何 .欧几里得的《几何原本》是欧氏几何的经典著作 .许多人认为《几何原本》中的第五公设 (它等价于过直线外一点 ,只能作一条直线与已知直线平行 )是可以用其它的公理、公设证明出来的一个定理 .从欧几里得时代起 ,直到十九世纪初 ,都没有找到正确的证明 .俄罗斯数学教授罗巴切夫斯基在青年时代也曾企图找到“第五公设”的证明 ,但很快地他就发现是不能证明…     

从欧几里得《几何原本》到希尔伯特《几何基础》

数学研究的对象是"数"与"形",形的数学就是几何学.它是以直观为主导,以培养人的空间洞察力与思维为目的.从数学发展的历史来看几何学的第一个最重要著作就是欧几里得(Euclid,约公元前330-275年)的<几何原本>.它被世界各国翻译成各种文字.它的印刷量仅次于"圣经",所以不少人称<几何原本>为数学工作者的"圣经".<几何原本>在数学史乃至人类思想史上有着无比崇高的地位.     

素数有无穷多个

<正>在初中读书的小孙子,学校里布置了一道习题:"证明素数的个数无穷多",他不会做,拿来问我.我记得多年前曾经在课堂上给学生介绍过这个内容,多少年过去了,关于如何证明的细节,现在也记不太清楚了.这是一个经典的问题,让中学生回答,确实有点勉为其难了.我随即翻阅资料,查找答案.在古希腊,公元前300年欧几里得在《原本》第九篇中有个命题:"素数的个数比任何指     

平行公理与非欧几何

中学所学的平面几何源于欧几里得《几何原本》 ,而欧氏几何的基础有五个公设和五大公理 .其中的第五公设说“若一直线与两直线相交 ,且若同侧所交两内角之和小于两直角 ,则两直线无限延长后必相交于该侧的一点 .”现在几何书上的平行线公理就是由此而来 .从公元前 3 0 0年直到 180 0年间 ,人们虽始终坚信 ,欧氏几何是物理空间的正确理想化 ,但是在那样长的几乎整个时期之内 ,数学家却始终对一件事耿耿于怀 ,那正是这个第五公设的证明 .它使许多著名的数学家付出了毕生的心血 ,有的一无所获 ,有的却有新的发现 .其中值得一提的有四位数学家 ,…     

二十一世纪的数学

今天我很荣幸能有这个机会同大家讲话。我先讲两个故事。 我们都知道欧几里得(Eiclid)的《几何原本》,这是一本数学方面的论著,完成于2000多年以前。它对于人类是一个很伟大的贡献。书中包括了分析和代数,不限于几何,目的是     

利玛窦和徐光启翻译《几何原本》的过程

我国的《九章算术》和古希腊的《几何原本》是古代东西方两种数学体系的代表，它们截然不同。明朝末年《几何原本》被翻译到中国来，极大地影响了中国原有的数学学习和研究的习惯，是中国数学史上的一件大事，值得一书。现在不少的数学教师和学生不了解此段历史，对于利玛窦和     

关于中学平面几何教材改革

传统的中学几何教材,基本上是按照欧几里得《几何原本》的体系编写的,它不借助于数的概念及代数学知识,而是凭人们对图形的直接观察,以一些定义及原始命题(公理、公设)为依据,利用一定的逻辑推理程序导出一系列的定理。这些教材,对于向中学生传授几     

素数个数的估计

素数是数学中最重要、最基本的概念之一．关于素数个数的讨论,早在两千多年前,古希腊学者欧几里得（Ｅｕｃｌｉｄ）已在其名著《几何原本》中给出且证明：素数有无穷多个．人们又发现素数在自然数中所占比例很小,若记π（ｘ）为不超过ｘ的素数个数,数学大师欧拉（Ｌ．Ｅｕｌｅｒ）证明了下面的结论．ｌｉｍｘ→∞π（ｘ）ｘ＝０．然而对于π（ｘ）的估计都经历了极为漫长的过程．１８世纪以前,人们已经知道：在ｎ～２ｎ－２之间（ｎ为自然数）至少有一个素数,在ｎ～２ｎ之间至少有两个素数．利用爱拉托色尼（Ｅｒａｔｏｓｔｈｅｎｅｓ…