tg(A/2)+tg(B/2)+tg(C/2)≥3~(1/2)新证

众所周知,在△ABC中,有不等式 tgA/2+tgB/2+tgc/2≥3~(1/2) (1) 当且仅当△ABC为正三角形时取等号。本文介绍不等式(1)的一种新证法。证明∵tgC/2=(1-tgA/2tgB/2)/tgA/2+tgB/2)     

一道数学竞赛题的研究

题目1(2012年上海市高中数学竞赛题)正实数x,y,z满足9xyz+xy+yz+zx=4,求证:(1)xy+yz+zx≥43;(2)x+y+z≥2.分析上面不等式等号成立当且仅当x=y=z=23,这时xy+yz+zx=43,x+y+z=2.对于第(1)小题只要将条件9xyz+xy+yz+zx     

不等式tgA/2 tgB/2 tgC/2≥3~(1/2)及其应用

设△ABC的三边为a、b、c,f=1/2(a b c),面积为s,外接圆、内切圆的半径分别为R、r。上述这些元素间存在着许多基本不等式,各不等式间有什么内在联系?能否用一个基本等式推导出其它不等式?这就是本文讨论的问题。一、不等式tgA/2 tgB/2 tgC/2≥3~(1/2)的证明及推论在△ABC中,求证tgA/2 tgB/2 tgC/2≥3~1/2(当且仅当A=B=C时等号成立)。证明 ∵     

构造方程解三角题

数学中有些问题,虽不是方程问题,但用题设条件及所给的数量关系,可构想出一个方程,使所给问题在这一方程下实现转化,通过方程知识使问题获得解决.这种解决问题的方法我们称为“构造方程法”,下面仅谈一谈这一方法在解决某些三角问题中的应用。例1 在△ABC中,求证: tgA/2tgB/2+tgB/2tgC/2+tgC/2tgA/2=1。证明:作方程     

一道国际竞赛题的简证

题目:(2006年土耳其国家队选拨考试)已知正数x,y,z满足xy yz zx=1,证明:247(x y)(y z)(z x)≥(x y y z z x)2≥63.文[1]采用三角换元法,并利用导数和Jensen不等式给出了证明.274(x y)(y z)(z x)≥(x y y z z x)2.但证明过程中错证了cosA cosB cosC≤323.从而证明247(x y)(y z)(z x)≥(x y y z z x)2的证法是错误的.下面给出一个简证.证明:先证(x y)(y z)(z x)≥98(x y z)(xy yz zx)①上面不等式等价于(x y z)(xy yz zx)-xyz≥98(x y z)(xy yz zx)(x y z)(xy yz zx)≥9xyz.由A—G不等式有x y z≥33xyz,xy yz zx≥33x2y2z2,故(x y z)(xy yz…     

运用a~2 ab b~2的变式证明一类不等式

众所周知,在不等式的证明过程中,常常要将待证的式子进行适当的变形,以利于问题的解决.本文将式子a2 ab b2进行适当的变形后,对一类不等式的证明起到了较好的效果.变式1a2 ab b2=(a 2b)2 3b24.例1已知x,y,z∈R,求证:x2 xy y2 y2 yz z2 z2 zx x2≥23(x y z);证明x2 xy y2=(x 2y)2 43y2≥23|y|≥23y,同理y2 yz z2≥23z,z2 zx x2≥23x,三式相加即可,x=y=z=0时取等号.变式2a2 ab b2=a2 b2 (a b)22例2已知x,y,z∈R,求证:x2 xy y2 y2 yz z2 z2 zx x2≥2(x y z).证明x2 xy y2=x2 y2 (x y)22≥|x 2y|≥22(x y),同理y2 yz z2≥22(y z),z2 zx x2≥22(…     

tgA tgB tgC=tgAtgBtgC在代数解题中的应用

本刊82年第一期中刊登了《tgA tgB tgC=tgAtgBtgC在平几解题中的应用及其推广》(以下简称推广),为了使这个公式的应用完善一点,邦助同学沟通中数中不同部分的知识,提高分析问题和解决问题的能力,本文谈谈运用公式tgA tgB tgC=tgAtgBtgC解代数题的一点体会,供同学们参考。《推广》一文中的“二、推广”在解题时,     

三角形不等式的共同解法—关于三角形旁切圆半径的两个不等式证明的改进

众所周知(x y)(y z)(z x)=xy(x y) yz(y z) zx(z x) 2xyz=x2y xy2 y2z yz2 z2x zx2 2xyz　(*)这是一个十分重要的代数恒等式,由(*)立即得到(x y)(y z)(z x)=(x y z)(xy yz zx)-xyz(1)(x y)(y z)(z x)=x(y z)2 y(z x)2 z(x y)2-4xyz(2)(x y)(y z)(z x)(x y z)=xy(x y)2 yz(y z)2 zx(z x)2 4xyz(x y z)(3)(x y)(y z)(z x)(xy yz zx)=x2y2(x y) y2z2(y z) z2x2(z x) 2xyz(x y z)2(4)……(*)及(1),(2),(3),(4)……在证明关于三角形不等式方面有极其广泛的应用.这是因为:图1任一三角形总有内切圆(图1),总可以作变换a=y z,b=z x,c=x y(x,y,z∈R )…     

关于“三角形内角的正切与余切关系式的一个特点”的证明

潘子奇同学的文章的最后提出了一个问题,写成数学命题即为: 1.已知:f(tgA,tgB,tgC)=0,这里A B C=π,且A、B、C的正切有意义。     

一道三角不等式的简证

1996年，湖北周永良在全国第三届初等数学研究学术交流会论文集中提出了一对十分有趣的不等式：在锐角上△ABC中，有等号成立当且仅当△ABC为正三角形．1997年，江西辛秋生对（1）式又给出了一种漂亮的证法[1]．受其启发，笔者发现了（2）式的一个简单的证明．兹介绍于下．证明因在关于正数x、y、z的常见不等式（等号成立当且仅当x＝y＝z）中取x＝tgB＋tgC，y＝tgC＋tgA，z＝tgA＋tgB，即知（3）式成立．从而，（2）式成立．一道三角不等式的简证@宋庆$江西省永修一中!3303041辛秋生．一道三角不等式的新证法．中学数学（湖北），1997…     

再谈tgA tgB tgC=tgAtgBtgC

这是高中代数上册一道习题:在△ABC中,求证:tgA tgB tgC=tgAtgBtgC成立。不少文章介绍了它应用。本文再列举几例。例1 求证海伦公式 S△ABC=(p(p-a)(p-b)(p-c))~(1/2) 其中,a,b,c是△ABC的三条边长,p=(a b c)/2。     

一个涉及Fermat点的不等式

命题　设△ ABC的三边和面积为 a,b,c及△ .F是△ ABC内的 Fermat点 ,延长 AF、BF、CF分别交对边于 A′,B′,C′.记 AA′=fa,BB′=fb,CC′=fc.则　　 f2a f2b f 2c ≥ 33△ . ( 1 )等号当且仅当△ ABC为正三角形时成立 .证明　设 AF =x,BF =y,CF =z,则AA′=AF A′F =x 2 yzy zcos 6 0°=xy yz zxy z ,BB′=xy yz zxz x ,CC′=xy yz zxx y .又由面积公式易知xy yz zx =43△ .所以由上述式子易知 ( 1 )式 (以下用 ∑ 表示三元循环和 ,如∑x =x y z)等价于∑xy .∑ 1( y z) 2 ≥ 94 　…     

题海拾贝

全日制十年制学校高中课本《数学》第一册复习题三第19题(1)是:“在△ABC中,求证:tgA+tgB+tgC=tgAtgBtgC”。利用这个结论来解一些有关题目很简便。举四例加以说明例1     

关于《tgA+tgB+tgC=tgAtgBtgC在代数解题中的应用》一文的一点意见

本刊82年第2期登了《tgA+tgB+tgC=tgAtgBtgC在代数解题中的应用》(以下简称应用)读后很受启发,本文就《应用》所述的定理谈一点意见,并就其在三角方面的应用谈一点体会。     

由一道不等式题引发的探究

文[1]给出如下一道不等式题：问题1已知正数z、y、z满足xy＋yz＋zx=1,求证：     

一道竞赛题的思路分析

2008年中国西部数学奥林匹克试题： 已知x,y,z∈（0,1）且√1-x/yz＋√1-y/zx＋√1-z/xy=2,求xyz的最大值。本题的得分率很低,有一定的难度,以下是笔者在解该题时的思路,整理出来供参考．     

一道课本上习题的推广与应用

求证:A 刀 C一“”(”七z)是:tg月十‘91, tge二ts滋·tgB·*‘己的充要条件。 证明充分性\由A十刀一‘一C(lJ任Z)得到一tgC二ts(A十召)=tgA十tgCl一tgAtg召 tg4 tg刀十tgC一tgA·tg6·tg〔’必要性假设、一tg爪‘U一0,则t‘,一六- t匕L, ,汀气8又下~一廿) 乙 高中代数第一册PZ17第22(!)题:△注肥,求证:tg月 tg刀 tsC=tgA,g召‘gC· 本文将此题推广成如下: “十”一“, 晋‘。任z,将ts月·t8B=I代入tgA十tg召十tgC=tg乃·tg召·tgC“tg(’ tgA十ts刀~0解得:A十刀二川二(ll,ez)①与②矛盾,故1一论A·饱召护0①②3马将tgA tg刀二t…     

tgA tgB tgC=tgAtgBtgC在平几解题中的应用及其推广

全国统编数学高中第一册P.167第19题:在△ABC中,求证:tgA tgB tgC=tgAtgBtgC。一般学生都会证明这个三角恒等式,可是对于它在平几解题中的应用及其推广却不太清楚,现分别介绍如下,供中学生参考。     

一类二次齐次不等式的获得方法

近年来的奥林匹克数学辅导书上流行这样一道题:设x,y,z∈R,求证: √33+1/4(x2+y2+z2)≥xy+2yz+2zx.     

一道全国联赛最值问题的两种解法

<正>例题(2016年全国初中数学联赛(初三年级)试题)设实数x,y,z满足x+y+z=1,则M=xy+2yz+3xz的最大值为().(A)1/2(B)2/3(C)3/4(D)1思路1判别式法依据已知条件x+y+z=1,M=xy+2yz+3xz,通过消去x或y或z构造一元二次方程,利用一元二次方程有实数根的条件"判別式大于或等于零"建立不等式求M的最大值.