利用等差数列的性质解题几例

等差数列有不少性质,现列举如下: 一、设{a,},{b。}是等差数列,则{a。+b。}也是等差数列. 二、设{a,}是等差数列,。为常数,则{ca,}也是等差数列. 三、设{a。}是等差数列,c为常数,则{a。+好也是等差数列. 四、设{a。}是等差数列,如果项数号码P,q,:,:,…成等差数列,则。,,a。,。r,a,,…也成等差数列. 以上性质皆不难证明,仅就性质四为例来证明。 设等差数列通a,}的公差为d,取新数列a,,a。,a,一中的任意相邻两项“‘,a,, az一a、=〔a;+(j一1)d)一〔a:+(‘一l)d〕 =(j一f)d. ,.’p,q,:…i,j,…成等差数列,+abc也成等差数差列,各项都减去abc,则 …     

等差数列的两个判定方法

本文给出等差数列的两个判定方法,并举例说明其应用。 1.通项公式判定法:数列{a_n}为等差数列的充要条件是a_n=k_n+b.(k,b为常数) 证:若{a_n}是公差为d的等差数列,则a_n=a_1+(n-1)d=dn+(a_1-d),记d=k,a_1-d=b,∴a_n=kn+。若a_n=kn+b,(k,b为常数),则a_(n+1)-a_n=k(n+1)+b-(kn+l)=k, (n=1,2,…) 故{a_n}是等差数列。 2.前几项和判定法:数列{a_n}为等差数列的充要条件是S_n=an~2+bn,(a,b为常数) 证:若{a_n}是等差数列,则S_n=na_1+n(n-1)/2 d=(d/2)n~2+(2n_1-d)n/2     

integral frm n=0 to 1(1/x-[1/x])dx=1-C(尤拉常数)

数列。。二1一、一二十… 乙+生一In,.单调减且证明用l(x)的不连续点介1k(k二a。>0,因而{a,}是收敛数列①,即存在实数c使,im{‘l一己一十…十一1一、一,。:)二二。.,,,〔\或几/)实数。称为Euler常数.e=0·5772156649·…任何一个收敛数列都可定义一个实数.如数列{(‘+橇)”}单调增有上界,可定义实数“,即炊(l十一鑫)”一实数·应用极其广泛,但对尤拉常数。的应用知之甚少.下面就黎曼意义下的定积分.给出一个尤拉常数的应用.2,3,…)将仁0,l〕分为若一卜子区间,由题设了(x)的属性及定积分的几何意义,可将J;了(·)‘一示为无穷多个曲边三角形…     

狄里克莱级数的增长性与系数及指数的关系

本文用〔11中方法研究了狄里克莱级数在收嫩半平面或全平面内的增长性。定义le石=In。r=r,e二设已给狄里克莱级数=ee”一’,l。,r=In(In。一:r)、2‘、刀尸了.且百.一了、了.、功(s)=习b,e一几”a ”=0其中{饥}为复常数序列,{瓜}满足 O一几。<几,<只2<设(1)的收做坐标及绝对收赦横坐标是零,(s二x+i刀),<久。个+oo·亦自}l不,,In lb,l]111—,~几。Inn1 im兰竺型。、,入:令M(x)=sup!甲(x+i刀)}(x>0)一.<犷<+.刀,=16小m(x)=max{刀ne一‘,‘In>o}(x>o), 定义2称级数(I)为(p,叮,p)级,如果令In,+,M(x)1一X np(P,q)=1 im x叶+0有。相似文献   

一类递归数列的通项的求法——辅助等比数列法

力二一口占+一十 本刊1984年第五期介绍了形如“a:+:二扣·+:十尹的递归数列的通项的求法,在它乙。十:口。+,二丫工上二_口.+仪a。+口的启发下,‘我对形如“a。,:=丫·an+aa。+户其a。+1+q了’瓦不下中了寺。、a:+口“奔O”的求法进行了一番探讨,现将结果叙述如下 已知数列{a。}满足条件口:二a,a.,:=了·丫+P了十q .丫a+P夕“n-I-一 丫十,口n+a,+a云丁万,其中下寺0,a“+卢忍今0,求a:。丫a+叮口了+g 解设辅助数列{b.}的通项占。其中P,q为待定数,且夕寺q,则口,+乡a。+q.’.鱼」旦= 口n丫+夕了十qan+口.+=Z土兰. 了+q(·:十琴十罗)‘一‘”(…     

介绍解几中的一个三角形面积公式

点c(:3刁3)到直线l:夕~肠十b(七一夕 b~奋1公式 设爪二,.夕,).川:2.,2)为直线l:夕一七 b上的两个不同点,以,3.夕:)为直线l外一点.则△A肥的面积是O)的距离:汀=}打:一夕3十川 丫l 护①、一合②“一合xZ一x:}·{衍3一y3 bl;所以s△一告}“。卜“一合,不2一。’们平PXZ一XI}川(当(二3.y3)为原点){无J:一夕3 b{ 丫l 无2┌─┐│斤│└─┘证明如图1日川一丫(二2一二,)2 (,2一,J)2 ,/1,,2一,l、2苏,一不“习‘宁场砰i万’一音‘一,·‘七厂“3 “’把,3一0.,3一0代入书式得J一l:2一:,}们不砰 S。一2应用李l:,一:1卜}。}艺’甲尹中学数学(湖…     

1993年高考试题解法集锦 理科第(29)题别证

题 :已知关于:的实系一数方程:,十‘I:十b二0的两实数根a、刀,证明: ①若}司<2,}川<2,则2}a}<4+b且!b,<4, ②若2 la}0,即(」+吞)2>4a2, 4+b)O,.’.2!a}(4+吞,即2!。}’<4+‘且}川<4成立. ②’.’2}u】<刁+6且1乙}(4,则(4+6)2一礴‘:,=(a,一4)(声2一d))0且1 al·}刀{(4, aZ(d,刀Z<刁…     

e的各种连分数表达式

引理1如果}a。{乒z(n=1,2,…),则有一1-+工十…+卫一十a 22a Zff一x…二二一一a 12_…(1) .口l证设一利用一l 口l千口么 1 Gf+l 1 口. 1a,+b, :、1Q二(i=注,2扒”al+aZ)安则外二叮一二,:认而请a么+aa as+a,+1了a。一x+a:1一内王a么ax一’价.么一a未a盆+a之夕乃al+处怨J2 ,︸如以aQ土a。*一,一=一1+一共一卜 a‘宁O,!尹’ 0.毛一一二幸勺.-a,扩节花,十q:曰声卫‘_ 口备 a 12a:+42暇+05含.尸声一般地,+一里一十.,.+01a,a.=二__一华生一 。,d:扩取二:.二吐红 卜,一磷十a.。丫{“·‘)l,上边产碑 在(z)中取a=知!,、当叭军吐吟举则有居卜 1 仁…     

新题征展(35)

A　题组新编1 .已知曲线 C:xy - 2 kx k2 =0与直线 l:x - y 8=0有唯一的公共点 ,而数列{an}的首项 a1=2 k,点 ( an- 1,an)恒在曲线上( n≥ 2 ) ,数列 {bn}满足关系 bn =1an - 2 .( 1 )问数列 {bn}是等差数列吗 ?( 2 )求数列 {an}的通项公式 .2 .已知二次函数 f ( x) =ax2 bx c有f ( 0 ) =3,且直线 y =5x 1与 f( x)的图像相切于点 ( 2 ,1 1 ) .( 1 )求函数 f ( x)的解析式 ;( 2 )若 f( n)为数列 {an}的前 n项和 ,求数列 {an}的通项公式 ;( 3)求limn→∞ ( 1a2 a3 1a3a4 1a4 a5 … 1an- 1an) .B　藏题新掘3.在边长为 1的正△ …     

法国Ecole Polytechmque笔试入学试题

1.设x为实数,整数Q李1.令S、‘,)二之业罗兰试证·““(‘) f‘5 in(Zq+1)兀,:,=1—a封一工 J 0 Sln材U2.令·(叫匕_: 、Sln介材月U“二0o<}u{<2.试证《。)在(·1,+l)申连续可微.试证存在一个常数A:,当x〔〔O,15、(小二一耳 几兀J口名叮+!,韶名Sin”。 一〔止V合〕以及对一切整数“》‘时,}、念便有 。)计算s。(冬)之值,并由使上述不等式推出积分f一圣些兰、,的收敛性,并求其值. ”“’、2‘’~一’‘’一一一一”‘一”一一一’‘一J0,”--一’一一’一’一- 3.验证存在一个实数AZ,使得对于V实数二和整数q>1,不等式}又(劝l成A:成立…     

一道数学开放题

题目已知:两函数f(x)=kx b(k≠1)和g(x)=x,数列{xn}当n≥2时满足xn=f(xn-1),且x1=α.由此可得出哪些结论? 本题参考答案 (1)函数f(x)=kx b(k≠1)和g(x)=x的图象有交点(b/1-k,b/1-k); (2)数列{xn}满足递推式xn-kxn-1=b; (3)数列{xn}的通项公式是: (4)数列{xn}前n项和: (5)当-1相似文献   

一道容易解错的题

题:求k值,使方程九二,一(九+1)‘+2”o有实根,且二根的绝对值均小于1. 以下两种解法都有不易觉察的错误: 解一:设所给方程之二根为,:、‘2,依题意有:‘(寿+‘)‘一sk》0,且k‘“曾{l“,}<‘’学火}劣:}0. .’.(为+l)“一4几0,.’.吞<一l一了2或为>一l+了百.(A). 又…     

六、数列、极限、数学归纳法

A组一、选择题(有卜t仅有个答案正确)1.已知数列{凡}中,N=1,人,! 人,二I+止,则数列讯}一定是((A)丫又为等差数列,(B)f又为等比数列; ((、既j卜等差、又非等比数列;(D)既是等差、又是等比数列。2.卜列四个定义在自然数集上的函数: (l)f(。)=2,厂l, (2)g(,:)=一r,‘+6,,了一9,,+5 (3)h(r,)=,,‘一6,z兰+11,,一7, (4)k(,I)=,:‘已们可以是数列l, 6一q尹I十1仁J一公 r已 (B)在区l’ed(l一￡,l+〔)内,存在{a。}的无穷多项; ‘〔今在区I’ti](l一,l+￡)内,存在{a.}的有穷多项; (D)在(l一,1+￡)内和外,均存在{。}的无限多项. 8.在△ABC中,若…     

利用Fibonacci数列解题

Fibonacci数列本身就有很大的魅力 ,吸引着许多数学爱好者去学习和研究 .这里我们将视角定位在如何利用该数列去解决一些数学竞赛中的问题 .Fibonacci数列是指由下面的递推式定义的数列 {Fn}:F0 =F1 =1,Fn + 2 =Fn+ 1 +Fn ,n =0 ,1,2 ,…可以利用特征方程的方法求出其通项公式 ,也可以用数学归纳法证出其许许多多的性质 .但在这里我们更多的是用到其本身 ,而不是它的性质 .例 1(第 5 2届波兰数学竞赛试题 )　考虑数列 {xn}:x1 =a ,x2 =b ,xn + 2 =xn + 1 +xn,n =1,2 ,… ,这里a ,b∈R .对任意c∈R ,如果存在k ,l∈N ,k≠l ,使得xk =xl=…     

三角形不等式浅析

三角形不等式是指 !}。一1乙】!成!a+b{镇】al一卜!儿!,a,b任C 在中学数学教学中,人们对不等式中等号成立的条件颇为注意,而对不等号(即}!。}一}川!相似文献   

数学问题解答

:札1990年9月号问题解答 丈解答由问题提供人给出)671解之得:二+梦=1990诱二或x一1990诱二或夕=1 990·无二(无任名)由(3)与(4)知,无二0.所以 x+夕二O或x=O或y=O将它们分别与(1)联立,解得.{劣=995,一995,0,0,1990,一1990夕=一995;995;1990;一1990;0;、,产、、.产,10‘了.、了‘、解方程组(劣、夕任R):{:i+}夕l=199051·蠢+S‘n蠢一‘·盎 解由}:+川成}川+}川及(l)得: Ix+y,毛1990 及!x!(1990,ly}簇1990将(2)和差化积并整理,得:672解方程(一卿,:专十渗0 11 990‘81nx十y1990.Sln X1990.Sln y1990 且口易知a 令劣=1990+a,夕=1990+b(a,b任N…     

曲线的对称性

本文将讨论曲线的轴对称和中心对称。 一、曲线F(x,妇的对称性 定理1(关于已知点的对称点)已知点尸(x,鲜于,则它(1)关于直线x=n.的对称点为p;(Zm一丫,妇; (2)关于直线ax+占刀+‘=。(乙寺。)的对称点 为P:(a,刀),其中a,口满足方程组摆:_”}一又二义 l瓜‘改卜j{之习一口)/(x一a)·(一a/b)=1;a[(x+a),2〕+西[(夕+夕),2」+‘=0. 图3称点为尸‘(一x,夕); :.a二2口一,, 刀=2/)一刃. 于是点刃3的坐标为P抓二a一芳,2凡一对). 推论已知点尸(x,妇,则它 (1)关于之轴的对 (3)关于点(a,b)的对称点为尸:(Za一x’2乡一夕). 证(1)如图1,过点P作直线x=m的…     

数列、极限、数学归纳法

一、选姆.(有且镬(r}‘·个答案正确) 1.数李l]{u.}的11介,。环1 fll为S二JIS.二,.。:(,:二l,2,3…).‘{‘}‘a.圣J亡(). (A)只足冷绘狄列.(B)只足等比数叫. (C)常数列,(D)既炸等袱数列.也一{卜’勺卜认列. 2一若口,b.,’成’引上数列.则山数.l(x)=。x气bx c的图象‘jx轴的之点数为(). (A)o个.(B)’含r,x个. (C)了丁两个不i,J交点.(D)不能内‘二. 3.一个冲数是鸿数的等兰数列.:饮厂和,二禹I-2ru 朽U数项和分别为:峪{i!30.宁则浪数刊的,犷之数勺( (人)卫0.(B)22 ‘.一个三角形的行。·谈比万).(C)卫0.毛内有l!戊等_之(上少)8.j少戈等…     

数学问题1848的错解分析及修正

《数学通报》2010年4月第1848号数学问题为: 已知函数:f(x)=x3+bx,数列{an},其中a1＞0. (1)若an=f(n),当数列{an}为递增数列时,求b的取值范围; (2)若an+1=f(an),当数列{an}为递增数列 时,求首项a1的取值范围.(用b表示,且b≥0) 原解答对于(1),将数列{an=f(n)}递增数列转化为函数f(x) =x3 +bx在[1,+∞)单调递增,进而转化为f′(x) =3x2+b≥0在[1,+∞)上恒成立,从而求出b的范围是:b≥-3.     

课外练习

设m,n任N ,且 lo今””一撰”,1os杯纽”一跳·求m十n的值. (湖南平江七中(414503)张大授)等差数列{a、}中,记S。一a,十a: … a。,若532=165,且a:; al。一卡… a48一235.求548的值. (广东澄海市外砂华侨中学 (515823)王植灿)若无穷数列{a。}满足叽 ,一3a,一4,n任N .(1)已知数列王a二}是严格递增数列,求首项al的取值范围.(2)若无穷数列{a,}有界(即对n eN一爪均有{a。}蕊对,M为一正常数).求证:数列{a。}是常数数列. (浙江如东县掘港征北街274号 (226400)章枚)2.求证:ZSin4x 3SinZ二·eos艺二 seos性二毛5, (x任R). (江苏张家港职业教育中…