平面上一类自相似集的Hausdorff测度与上凸密度

考虑平面单位正方形内生成的一类自相似集的Hausdorff测度的计算问题.在满足强分离条件及维数小于1的条件下,当相似比满足某些条件时,证明了自然覆盖为其实现上凸密度1计算的最好形状,因而自然覆盖即是最好覆盖.而作为它的直接推论得到该类自相似集的Hausdorff测度的精确值为(2s)~/(1/2),其中s为其Hausdorff维数.     

一个关于上凸密度猜测的否定回答

Let E be a self-similar set satisfying the open set condition. Professor Xu conjectures in his doctoral degree thesis that if H^8（E） 〈｜E｜^8, then for any x ∈ E, the inequality ^-D^3C（E,x）〉H^8（E）/｜E｜^8holds, where 3 = dimH（E）. The above conjecture is negatively answered in this＇paper.     

一类Sierpinski地毯顶点处上凸密度的估计

本文得到一类Sierpinski地毯顶点处具有最小的上凸密度,推广了最近的一些结果.     

关于广义齐次自相似集上Hausdorff测度的一个特征

设E是Hausdorff测度正有限的广义齐次自相似集,本文证明了s维Hausdorff测度是E上唯一的非扩张概率测度.     

关于广义齐次自相似集上Hausdorff测度的一个特征

设E是Hausdorff测度正有限的广义齐次自相似集,本文证明了s维Hausdorff测度是E上唯一的非扩张概率测度.     

具有强分离条件的自相似集的最大密度（英文）

本文证明对于满足强分离条件的自相似集E,存在一个闭凸集达到它的最大密度.即存在一个闭凸集V■E0(|V|0),使得sup{μ(U)/|U|s:U■E0}=μ(V)/|V|s,其中U为闭集,E0表示自相似集E的闭凸壳,μ表示E上的唯一自相似概率测度.作为应用,我们给出命题"满足强分离开集条件的自相似集具有最优几乎处处覆盖"的一个新证明.     

A Note on Upper Convex Density

For a self-similar set E satisfying the open set condition,upper convex density is an important concept for the computation of its Hausdorff measure,and it is well known that the set of relative interior points with upper convex density 1 has a full Hausdorff measure.But whether the upper convex densities of E at all the relative interior points are equal to 1？ In other words,whether there exists a relative interior point of E such that the upper convex density of E at this point is less than 1？ In this paper,the authors construct a self-similar set satisfying the open set condition,which has a relative interior point with upper convex density less than 1.Thereby,the above problem is sufficiently answered.     

关于齐次Cantor集的一个注记

设c是[0,1]上Hausdorff测度为正有限的齐次Cantor集类,本文证明了     

关于齐次Cantor集的一个注记

设Ｃ是［０,１］上Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ测度为正有限的齐次Ｃａｎｔｏｒ集类,本文证明了,这里ｓ是Ｅ的Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ维数,Ｈｓ（Ｅ）是Ｅ的ｓ维Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ测度,Ｈｓ（Ｅ）的定义见引言,     

关于自相似集的Hausdorff测度的一个判据及其应用

讨论了满足开集条件的自相似集。对于此类分形，用自然覆盖类估计它的Hausdorff测度只能得到一个上限，因而如何判断某一个上限就是它的Hausdorff测度的准确值是一个重要的问题。本文给出了一个判据。作为应用，统一处理了一类自相似集，得到了平面上的一个Cantor集－Cantor尘的Hausdorff测度的准确值，并重新计算了直线上的Cantor集以及一个Sierpinski地毯的Hausdorff测度。     

自相似集的质量分布原理与Hausdorff测度及其应用

本文提出了满足开集条件的自相似集的质量分布原理.作为应用,得到了计算一类满足开集条件的自相似集的Hausdorff测度的准确值的方法,并举例说明了此方法对于计算一类满足开集条件的自相似集的Hausdorff测度的准确值是行之有效的.     

m分非均匀Cantor集的Hausdorff测度

证明了m分非均匀Cantor集的E的H ausdorff测度HS(E)=1.     

自相似集的Hausdorff测度与连续性

对集合F Rn,以dim F和Hdim F(F)分别表示F的Hausdorff维数和dim F维Hausdorff测度.设T=T(f1,...,fm)为Rn中的自相似集,即由相似压缩组成的迭代函数系统{f1...,fm)的吸引子.假如fi(T)∩fj(T)= (i≠j),那么,对任意ε>0,存在δ>0,若D=D(g1,...,gm)为Rn中的自相似集并且sup{||fk(x)-gk(x)||:||x||≤1,1≤k≤m}<δ,则1HdimT(T)-Hdim D(D)|<ε.     

Koch曲线的Hausdorff测度的估计

文［１］研究了Ｋｏｃｈ 曲线的Ｈａｕｓｄｏｒｆｆ测度,得到了一个改进了的上限,本文将进一步改进此上限． 有关的予备知识和结论可在［１］中见到．     

关于自相似测度绝对连续的测度的点密度测度

本文研究了一类关于自相似测度绝对连续的概率测度的点密度测度的问题.利用迭代函数系,量子系数和H(o|¨)lder不等式,在自相似集满足强分离条件下,获得了此点密度测度,推广了自相似测度为Lebesgue测度的结果.     

自相似集的球密度性质

本文讨论利用上、下球密度计算自相似集的Hausdorff中心测度与填充测度的问题.设E是满足强分离条件的自相似集,s为其Hausdorff维数,μ为定义于E上的自相似测度,则有如下结论:(1)如果存在x₀∈E,使得x₀关于μ的上球密度■(μ,x₀)=■,则对μ-几乎所有x∈E,有■(μ,x)≥■;(2)如果存在y₀∈E,使得y₀关于μ的下球密度■(μ,y₀)=■,则对μ-几乎所有y∈E,有■(μ,g)≤■.运用这一结论,对自相似集的测度计算问题进行了讨论.     

一类Sierpinski垫的Hausdorff测度

设S_λ为压缩比为λ(λ≤1/3)的一类Sierpinski垫,s=-log_λ3为S_λ的Hausdorff维数,N为产生S_λ的所有基本三角形的集合.本文使用网测度方法,获得了S_λ的s-维Hausdorff测度的精确值H~s(S_λ)=1,同时证明了H~s(S_λ)可由S_λ关于网N的s-维Hausdorff测度H_N~s(S_λ)确定,获得了S_λ的非平凡的最佳覆盖.     

一类Sierpinski地毯的Hausdorff测度的估计

设Sr是压缩比为r(0.250≤r≤0.292)的Sierpinski地毯,该文证明了Sr的Hausdorff测度满足公式:21-s/2≤Hs(Sr)≤2s/2,其中s=-logr4.     

三分Cantor集自乘积的Hausdorff测度的估计

本文证明了三分Cantor集C自乘积集C×C的Hausdorff测度,满足1≤H~((log_3)~4)(C×C)≤1.502879.     

关于满足强分离开集条件的自相似集的Hausdorff测度

设E是Rn中由相似压缩S1,S2,…,Sm所确定的满足开集条件的自相似集,其Hausdorff维数为s,其s-维Hausdorff测度记为Hs(E).利用部分估计原理得到了本文的主要结果:若E满足强分离开集条件,则在E中存在一个压缩拷贝串序列{Ui}和紧集U(|U|>0),使得Hs(U)等于|U|s,并且{Ui}按Hausdorff度量收敛到U,进而证明了由U可以构造一个数列,使得该数列正好收敛到Hs(E);另外,引入了自相似集的相似压缩不动点,得到了等式Hs(E∩U)=|U|s 成立的一个必要条件.