构造辅助函数证明不等式

构造辅助函数，然后通过求导的方法考察函数的单调性和最值，是证明不等式的常用方法．其中辅助函数的构造是证明的关键．下面撷取几例．谈谈构造函数的常用方法．     

构造辅助函数应用导数证明不等式

构造辅助函数,然后通过求导的方法考察函数的单调性和最值,是证明不等式的常用方法．其中辅助函数的构造是证明的关键．下面撷取几例,谈谈构造函数的常用方法．一、通过移项,集中自变量构造函数例1 证明: 分析不等号两边均是关于x的函数,通     

浅议构造法证明不等式

所谓构造法，就是依据题目自身的特点，通过构造辅助函数，基本不等式，数列，几何图形等辅助工具，铺路架桥，促进转化，从而达到证明不等式目的的一种方法，在证明不等式的过程中应用构造思想，能使我们开阔思路，并运用更多的知识为我们证明不等式服务，本文撷取几例，归纳说明．     

定积分不等式几种典型证法

通过几道常见的定积分不等式证明例题,从不同角度分析、研究定积分不等式的特点,归纳总结出构造辅助函数,利用重要积分公式、性质、定积分中值定理及重要不等式等证明定积分不等式的七种典型方法．     

利用变上限积分证明一些积分不等式

积分不等式的证明往往需要较多的技巧,笔者在辅导高等数学竞赛的教学实践中,发现不少积分不等式可利用变上限积分构造辅助函数,再利用导数确定该辅助函数的单调性的方     

巧用构造法证不等式

在证明不等式时，根据欲证不等式的具体结构特征，通过观察、联想，构造出函数、数列、复数、方程、命题、图形等某个数学模型，并将所证的不等式问题转化为研究该数学模型的特征，达到促进转化、简化证明的目的，这种方法叫构造法．     

通过“构造”求解不等式

我们的高中数学选修教材引进柯西不等式,并通过构造一元二次方程给出一个经典的证明,作为高中生,我们也要学会通过“构造”方程、不等式或函数等辅助手段来解决问题．当然此处所说“构造”是依据数学问题的条件和结论的特征,以问题中的数学关系为“框架”,数学元素为“元件”,构造出新的数学对象或数学模型,从而使问题转化并得到解决的方法．     

无中生有--谈函数问题中的构造法

不等式证明、不等式恒成立等问题是高考常考题型之一，且常以压轴题的形式出现。有些问题的求解，直接入手较为困难，若能根据待证不等式的结构特征，构造出恰当的辅助函数，从而利用该函数的性质，即可使问题顺利求解。下面就其中所涉及的构造法，举例说明。     

关于Gronwall不等式的一个注记

通过构造辅助函数的方法,给出Gronwall不等式的一个新证明,并由此得到一个新不等式,最后利用Gronwall不等式证明一阶微分方程解的唯一性.     

由柯西不等式的证明所想到的

如果ai，bi（i=1，2，…，n）是任意实数，则式中等号，当且仅当时成立．这就是柯西不等式，其证明过程是：构造二次函数：且等号在时成立．这个不等式证明的关键是构造二农函数，这个村道往往使学生觉得神秘莫测，不可思议．事实上，把柯西不等式两边同乘以4，移项后得容易联想到一元二次方程报的判别式，这样构造①式就合情合理了．遇到有相同结构的式子，构造二农函数就会左右逢源、得心应手．。1。。中二l，8证：b’＞4ac·证明构造二农函数：f（）一ax’＋6x十c，Jib－ZC——二1，aaJHb＋Zc＝0，Ji、八一一一一一）202二次方程ax’…     

构造辅助函数解题

不等式与函数（或数列）相结合的综合题在近几年各地的高考试题中大量出现,已经成为高考的热点题型,这类试题虽然以不等式的形式出现,但主角往往是函数,证明、解答这类问题,用传统的方法通常难以奏效,但若采取构造辅助函数后利用导数的相关知识及函数的单调性进行解决,可能会达到化繁为简、化难为易的效果,本文举例说明通过构造辅助函数解题的思考途径和策略,供读者参考.     

由特征巧设函数证明不等式的六种视角

有些不等式问题，若从正面去直接证明，往往会感到非常棘手，但若从不等式本身的具体结构特征出发，巧妙地构造出一个具有所需性质的函数模型，从而站在函数的角度研究该函数的性质，常常会达到促进转化、简化证明的目的．本文试谈构造函数证明不等式的几种视角，供参考．     

构造辅助“双函数”解函数综合题

<正>对于证明与函数有关的不等式,或已知不等式在某范围内恒成立求参数的取值范围,讨论一些方程解的个数等类型问题时,常常需要构造辅助函数,通过求导研究其单调性或寻求其几何意义来解题.题目本身特点不同,所构造的函数可有多种形式,解题的繁简程度也因此而不同.有直接构造(如人教A版选修2-2P32B组第1题),也有稍作变形后再直接构造,有的要适当放缩后再构造,对有的数列不     

利用Hilbert空间的性质证明积分不等式

通过定义内积运算,可利用Hilbert空间的有关性质证明部分积分不等式.此法有别于传统的构造辅助函数法和借助Taylor展开式法.     

利用Lagrange乘数法证明加权平均不等式

在高等数学中,证明不等式的常用方法是利用函数的单调性及函数的极值或最值．文献[1]用多元函数极值性质证明了算术-几何平均不等式,本文用Lagrange乘数法证明在应用上很重要的一个不等式—加权平均不等式．不等式称为加权平均不等式其中等号当且仅当时成立．行证明即可．构造Lagrange函数对诸X;求偏导并令其为零,则有解得,将其代中就得到山（下转第37页）为唯一驻点．因为是诸的连续函数,由文献[3]知,处取得最小值所以等号当且仅当时成立．利用Lagrange乘数法证明加权平均不等式@张俊祖$西安公路交通大学[1]薛红,条件极值在证明不…     

证明某些不等式的一种方法

对于有些含有定积分的不等式的证明，常常可以把一常数变为参数而构造辅助函数，再利用函数的增减性等有效方法，给出了这样一类不等式的证明方法。下面我们通过几个简单例子来阐明这种方法。树三设f（）在［a，b】上具有二阶连续导数，且产（x）＞O，试证：分析只证明右边不等式，把不等式中常数b变为参数X，作出辅助函数则显然F（a）一0。若能证明函数F（x）是单调增的（广义增即可），就可得要证明的不等式。证明作辅助函数F＜夸＜x，（因为a＜x＜b）；由题设产（x）＞0，所以广（x）非减，从而知产（x》O，因此F（b）＞F（a）一0，…     

积分不等式证明中的辅助函数方法

不等式在数学研究和实际中有广泛应用,本文分析了大学生数学竞赛赛题中出现的有关不等式证明问题,基于构造辅助函数方法和柯西中值定理建立了更一般的积分不等式,推广和改进了大学生数学竞赛赛题中的不等式和已有文献中的不等式.     

利用微积分学第一基本定理证明柯西─施瓦兹不等式

设f（x）连续则，这是一个十分重要的人式，今用它来证明柯西-施瓦兹不等式．设函数f（x）、g（x）都在[a，b]上连续，证明柯西一施瓦兹不等式证将b变为参数x，引进辅助函数显然F（a）=0，因此只要证明F（x）单调减少，从而只要证明F（X）≤0便可．这个证明，思路清晰颇富启发性，辅助函数的引进也十分自然，与此不等式的常见的其他证法比较，各有优点，故献给读者，以供参考．利用微积分学第一基本定理证明柯西─施瓦兹不等式@刘继合$淄博学院!山东淄博255013     

一个积分不等式

由连续单调函数的几何意义直观地得出一个不等式,即若设函数f（x）在[0,b]上连续且单调递减,则有b∫0^af（x）dx≥a∫0^bf（x）dx（0≤a≤b）.通过构造辅助函数给出其数学证明,并对其加以推广．     

关于辅助函数的几种构造方法——谈微分中值命题的证明

构造函数法是一种重要的数学方法,在教学中有意识地培养学生掌握这种方法,对于开阔学生思路、提高分析问题和解决问题的能力有着重要的意义．在高等数学中,微分中值定理的证明就是通过构造适当辅助函数,由这个函数满足罗尔定理而得到要证的结论．本文主要介绍证明微分中值命题时常用的构造辅助函数的几种方法．一、几何直观法构造辅助函数例1（拉格朗日定理）设连续,在内可导,则存在各分析该命题条件不满足罗尔定理中从图1可见满足罗尔定理的条件,其中直线AB的函数地从而可作辅助函数证明本题．同理,对于平行于AB且过原点的直线C…