排列、组合类常见问题及求解策略

排列组合是高考数学中比较特殊的一个知识板块,历经多年已经积累了一些经典的类型题,这些问题都有相对固定的解决方法.本文就剖析解决这些问题的解题方法.     

排列、组合和二项式定理

分类计数原理和分步计数原理是排列组合的核心内容，它既是推导排列数、组合数公式的基础．也是解决排列组合问题的重要方法．分类是把复杂的问题分解成互相排斥的几类，然后逐类解决，分步是把解决问题的方法分解成几个相互联系且相互独立的步骤，较复杂的排列组合问题的解决常先分类再分步．解决带有附加条件的排列组合问题的方法主要有：（1）特殊元素分析法：优先安排特殊元素，再安排其它元素；（2）特殊位置分析法：优先安排特殊位置，再安排其它位置；（3）去杂法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数；（4）插空法：对于要求某些元素不相邻的问题，可以先排好没有限制条件的元素，然后将要求不相邻的元素插入到排好的元素所产生的空档之中；（5）捆绑法：对于要求某些元素必须排在一起的问题，可以将要求相邻的元素合并为一个大元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也要作排列；（6）先分组后分配即先选后排；（7）隔板法；（8）去序法；（9）列举法，特别要注意利用“树形图”不漏不重地列举；（10）集合法．     

插空法：“不相邻”排列问题的专项工具

插空法是解决“不相邻”排列问题的专项工具，正如一句口诀：相邻问题用捆绑，非邻问题用插空。一般地说，使用插空法时，应先将无限制条件的元素排列好，再将不相邻的元素插入到已经排好的元素之间或者两端。应用插空法时，要注意所插空元素的特点、细节、要求，采取配套的方法和策略，才能一举攻克“不相邻”排列问题。     

有关重复排列的一类计数问题

利用生成函数解决了从n个元素的集合中任意重复选取r个元素且这r个元素中含有不同元素的个数一定时，所构成的不同r-序列的方法数．     

例谈三角形外角的作用

三角形的外角具有下列性质:①三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;②三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.利用这些性质可以解决许多数学问题,下面举几例,供参考.     

谈谈数与形

在初等数学解题方法中有一个重要的方法 :数形结合法 .但仅把数形结合理解为一个解题方法似乎是不够的 .首先我们认真地想一下 :什么是“数” ?“数”用文字写出来是一个符号 ,读出来是一个声音 ,它究竟是什么东西呢 ?我们从小学学习数“数”的时候认识了 1,2 ,3等数字 ,这些符号用于记录数 ,表示数 .但“数”是个什么东西 ?仔细分析我们认识“数”的过程 :我们用 3个苹果 ,3本书 ,3支粉笔等一系列对象认识了“3” ,由此可以看出 ,数字“3”所表示的“数”确实是一大批集合———表面极不相同的集合 ,抽去其具体元素的性质之后所剩下的最本…     

解排列组合题

基本原理要弄清 ,分类分步好区分 .特殊元位打头阵 ,插空捆绑间相邻 .正反两面方法并 ,相互验证结论真 .常见问题多留心 ,有的问题构模型 .解释 :加法原理和乘法原理是解排列组合问题的基础 ,只有深刻理解才能正确区分是分类还是分步 .对题目中出现的特殊元素和特殊位置一般要优先考虑 ;解决相间和相邻问题通常是用插空和捆绑的办法 .解排列组合问题常会出现重复或遗漏的错误 ,同一个问题若正反两方面考虑 ,采用多种方法求解相互检验能减少出错的机会 .模式在解排列组合题中相当重要 ,对常见问题要留心区别是否与顺序有关 ,同时要注意归纳概…     

寓理于图 求解于形

<正>三角形、单位圆、三角函数线等几何元素,是三角函数建立定义的基础.许多三角函数问题,如能借助上述元素构造出恰当的图形,都能得到非常巧妙的解决.这些方法,虽然未必是最省时、最简捷的途径,但对于开阔解题视野,加强知识之间的前后联系,拓展数学思维能力,增强数学学科素养,是行之有效和极富裨益的.本文试结合具体案例加以阐述.     

转化在初中数学教学中的运用

在初中数学的学习过程中,学生常会遇到一些难以理解或者相对复杂的问题,此时他们往往会感到手足无措．因此,教师要帮助学生领会这些问题的实质,把握问题的特征,从而找到具有“普适”意义的“通法”来解决问题．“转化”恰恰是解决数学问题的基本思维策略,也是分析问题的一个重要的思想方法．什么是“转化”方法？布卢姆曾经说过：转化方法是“把问题元素从一种形式向另一种形式转化的能力”．就具体的数学问题解决来说,就是要把问题通过转化,归结为一类已经解决或比较容易解决的问题,从而达到解决原问题的目的．     

区间数判断矩阵排序的χ2方法

提出了计算正数字矩阵排序向量的拟χ2方法及计算区间数判断矩阵排序向量的区间数χ2方法,讨论了区间数χ2方法的优良性质以及区间数χ2方法增加元素的保序性条件.     

“插空法”的巧用与误用

互不相同的m＋n个元素排成一列,其中指定的n（n≤m＋1）个元素互不相邻,可以先把另外的m个元素排成一列,形成包括两端在内的m＋1个空档,然后用指定的互不相邻的n个元素去插空,每一种插法唯一对应着一种排法．我们把这种排法称为插空法．用它能方便快捷地解决排列组合中的一些应用题．一种好的解法方法,若使用不当,则反而会变为笨方法．下面举例对比说明插空法的合理使用．     

排列组合中的插入法

在排列组合中 ,插入法是解决不相邻问题的特定方法 .但当约束条件不同时 ,问题又会呈现出不同的特点 ,往往容易引起混淆 .　　一、插入元素与非插入元素均顺序不定例 1　 1 0个人站成一排 ,其中甲、乙、丙三人两两不相邻且不站两端 ,问有多少种不同的站法 ?分析　除甲、乙、丙外的七个人有Ｐ77种站法 ,七个人之间有 6个空档 ,插入甲、乙、丙有Ｐ36 种方法 ,所以所求的站法数有 :Ｐ77·Ｐ36 =1 0 0 80 0种 .　　二、插入元素顺序不定 ,非插入元素顺序例 2　一排有 1 0个具有编号的座位 ,3个人来坐 ,都不坐两头且两人之间至少有一个空位 ,问有…     

空间问题平面化方法

解决立体几何问题,往往需要把空间元素间的关系转化为平面上有关元素间的关系．本文我们介绍化空间问题为平面问题的一些常用方法．     

3×n方格染色问题的两个新结果

染色问题是中学数学中的重要研究内容,也是近年来的一个热点问题.许多数学教育和研究工作者提出了一些染色问题.对于用m种不同的颜色染1×n个方格或者2×n个方格,使每个格子染一种颜色且相邻的格子染不同的颜色的方法数,已经得到了结果.但是对于3×n个方格的染色问题,虽然在有的资料中有人想尝试解决这个问题,但终因难度增加较大,目前还没有人得到相应的结果.本文采用图论的思想方法,利用树形结构分层分类分析,得到了用m种不同的颜色染3×n个方格,使每个格子染一种颜色且相邻的格子染不同的颜色的方法数的两个新结论.     

怎样利用集合元素的性质解题

在学习集合概念时,同学们对元素的性质,即元素的确定性、互异性、无序性这些性质记得住、背得过,就是不会用.为了帮助同学们解决这个问题,本文对其进行研究.这个问题往往与两个集合相等相联系,两个集合相等指的是两个集合中元素对应相等.要判断集合中元素相等自然要用到元素的性质.一、直接求解检验法     

例谈构造法解题

构造法是数学解题中的数学转化方法之一,其实质就是依据某些数学问题的条件或结论所具有的典型特征,用已知条件中的元素为"元件",用已知的数学关系为"支架",在思维中构造出一种相关的数学对象、一种新的数学形式;或者利用具体问题的特殊性,为待解决的问题设计一个合理的框架,从而使问题转化并得到解决的方法.正由于构造法的这些特点,使构造法成为解题的主要方法之一,并且在中学数学中有着广泛的应用.本文通过几个例子来谈谈构造法解题.……     

高度正则图的全着色

一个图$G$的全色数$\chi_T(G)$ 是对$G$的边和顶点着色的最小数, 使得相关联或相邻元素着不同色. 证明了如果$G$是正则图并且$d(G)\ge\cfrac{2}{3}|V(G)|+\cfrac{23}{6},$ 这里$d(G)$ 表示在$G$中顶点的度, 则$\chi_T(G)\leq d(G)+2$.     

正交半泛对角线拉丁方及其应用

J.Denes 和 A.D.Keedwell 在文献[1]中提出:“n 取什么值时,元素是 n~2个相邻自然数的 n 阶泛对角线幻方存在?”文[3—5]解决了 n≠6m+3(m≥1)时的存在性问题.本文引进半泛对角线拉丁方及等和性半泛对角线拉丁方的概念,并运用后者的正交偶于偏差分对称方阵,构造出泛对角线幻方.因 n~2个相邻自然数仅是构成 n 阶偏差分对称方阵数集的特例,因而本文连同[3—5]完全解决了上述问题.在泛对角线幻方存在的情形,拓广了构成它的数集.     

关于模糊数贴近度问题的研究

利用模糊集和区间数的贴近度理论,讨论了模糊数的贴近度问题.通过区间数与模糊数之间的关系,根据区间数贴近度的一般表示形式,给出了构造一些模糊数贴近度的具体计算公式的方法;并通过实例说明了所得到的贴近度公式的有效性和实用性,解决了常用贴近度公式所不能解决的问题.     

系列平行图的边面染色

一个平面图G的边面色数xef(G)是指对G的边和面进行染色所用最少的颜色数目,并同时使得相邻或相关联的两个元素间染不同颜色.若G是一个系列平行图,也就是不含K_4的剖分作为子图的平面图,则有Xef(G)≤max{7,△(G) 1};同时如果G还是2-连通的且△(G)>6,则有Xef(G)=△.