光线折射定律的多元函数极值模型(备课讨论笔记)

问题 :光线从一种均匀介质穿过界面 (未必是平面 ) ,进入另一种均匀介质 ,折射规律是什么 ?(注 :在光学里这是已知的折射定律 ,但是对大学一年级学生 ,未必熟悉 ) .教学目的 :引导学生用多元函数极值方法探索光学折射定律 .数学应用 .分析过程 :图一1 .图示 :先画界面Σ (数学抽象为一无厚度之曲面 ) ,Σ以上为介质 1 ,以下为介质 2 (图一 ) .设光线从介质 1中的点 A处 ,直射到界面上的点 M,进入介质 2 ,再直射到点 B(注 :因为在均匀介质中 ,光线直线传播 ,且光速不变 ) .2 .可想到的物理原理——光线引进的最短时间原理 (费尔马原理 ) :…     

平行投影

窗户玻璃上贴着圆形的、正方形的和正三角形的各种图案,太阳光线照在窗户上,上述各种图案在房间地板上投下的影子,会是什么形状的呢? 通常,我们把太阳光线看成是一族平行线.平行光线将一个平面上的点(或图形)投射到另一个平面上,我们就称它为平面到平面的平行投影,而把所得的影子叫该点(或图形)在平行投影下的像.我们所讨论的平行投影,平行光线与两个平面都不平行.     

光线反射问题

光线反射问题是物理的光学和数学的解析几何知识网络的一个交汇点 ,题目具有一定的综合性 ,符合能力立意的命题特点 ,并且该类题型难度适中 ,又体现通性通法 ,故此它倍受命题者青睐 .解决此类问题 ,应作如下知识准备 :1)物理方面 .①在同一种物质里 ,光线是沿直线传播的 ;②光路具有可逆性 ;③光线反射时 ,反射角等于入射角 ;④平面镜成像原理 :反射光线可以看作是由光源关于镜面的对称点处发出的 .2 )数学方面 .①直线的倾斜角、斜率 ,直线的方程等概念 ;②直线与直线的位置关系 ;③直线与圆的位置关系 .下面举例说明此类问题的求解 .图 1…     

衍射的数学问题

§1.衍射问题的提法及意义衍射现象是波动过程的基本特性之一。不论是弹性波、声波、电磁波、光波,在它们的传播路程中碰到障碍物时,或者更一般地说,在波峯到达不同介质的接触面时,都会产生衍射现象。我们就以光波的传播为例。根据几何光学的假说,光线是直线。光从一个点     

用数学思想方法解读解析几何问题

数学思想方法是数学知识的精髓 ,是知识转化为能力的桥梁 ,只有灵活地运用数学思想方法 ,才能把数学知识与技能转化为分析问题和解决问题的能力 ,形成数学素养 .本文就数学思想方法在解析几何问题中的应用做一归类解析 .1　方程思想所谓方程思想 ,就是在解决某些数学问题时 ,先设定一些未知数 ,根据题设中各量间的制约关系 ,列出方程 (组 )解决问题 .这里的未知数沟通了量与量之间的联系 ,实现问题的转化 .例 1　自点A(- 3,3)发出的光线L射到x轴上 ,被x轴反射 ,其反射光线所在直线与圆x2 +y2 - 4x - 4 y+7=0 相切 ,求光线L所在直线的方程 …     

对Fermat原理的一个推广 *

从电磁场的Maxwell方程组和单色稳态光场的时间平均能流密度的矢量表达式出发,通过引入衍射光线(时间平均能流线)的概念,对几何光学中的光线概念进行了推广,使之可适用于稳态的矢量光场.在此基础上,借助于广义折射率n_G的概念,对几何光学中的Fermat原理进行了推广.这个推广的Fermat原理可表述为:对于在线性、各向同性的均匀折射率(或折射率缓变)介质中稳态传输的线偏振单色光场来说,其衍射光线所走过的广义光程∫n_Gdl 永远为最短.此外,还对该推广的Fermat原理的适用范围等一些相关的问题进行了讨论.     

篮球阴影问题——研究性学习课例示范

1问题1的引入经常打篮球的学生提出一个问题:篮球停止在地面上的时候,太阳光斜照下来,篮球的阴影部分是否是一个椭圆呢?对此可用立体几何、解析几何的原理进行探讨.解法1画图分析,如图1,假设球的半径为R,地面为平面γ,光线与地面所成的角为α,过球心且垂直于光线的平面为φ,它和地面γ的交线为l,平面φ截球面所得的大圆的直径为A′B′,并记二面角γ-l-φ的大小为θ,θ=2π-α.图1点P是阴影曲线上的任一点,它从圆O′上的点P′处射过来的.则PP′⊥φ.因为PP′、PH都是球的切线,所以PP′=PH.作PQ⊥l于Q,则有PPPQ′=sinθ=cosα,PHPQ…     

光线在圆内的反射——对一道“希望杯”赛题的推广

<正>1.赛题呈现如图11,有一束光线,从中心为O的圆环的A点射入,在圆环内经过两次反射后从A点射出;如图12,从A点射入的光线经过三次反射后从A点射出.(1)如图13,若从A点射入的光线经过五次反射后从A点射出,求从A点射入的光线和圆环半径OA的夹角α的度数;(2)如图14,若从A点射入的光线和圆环半径OA的夹角是50°,则经过几次反射后光线从A点射出?     

谈谈切线概念及一个常见"误区"

平面曲线的切线问题有许多实际来源,例如作圆周运动的物体在任意时刻的运动方向,就是圆在该点处的切线方向;又如在设计光学透镜时,必须知道光线射入透镜的角度以便应用反射定律,重要的角是光线与镜片截面曲线的法线之间的夹角,而法线与切线垂直,即问题也归结为求曲线的切线;另外由微积分知道,函数的变化率与曲线的切线是相通的.     

再谈双曲线的光学性质

二次曲线在高中学习中既是一个重点也同时是一个难点.学好二次曲线可以通过解析方法或代数的方法.二次曲线在生产实际中有重要的应用,广为人知的是抛物线的光学性质,同时双曲线和椭圆也具有一些好的光学性质.在2011年北京大学招收保送生试题中就出现了此类型题目,其光学现象是从双曲线的一个焦点发出的光线,经双曲线的反射后的光线的虚焦点为它的另一个焦点.     

再谈双曲线的光学性质

二次曲线在高中学习中既是一个重点也同时是一个难点.学好二次曲线可以通过解析方法或代数的方法.二次曲线在生产实际中有重要的应用,广为人知的是抛物线的光学性质,同时双曲线和椭圆也具有一些好的光学性质.在2011年北京大学招收保送生试题中就出现了此类型题目,其光学现象是从双曲线的一个焦点发出的光线,经双曲线的反射后的光线的虚焦点为它的另一个焦点.     

应用高中数学知识解决光的反射问题

光从一种介质中传播到另一种介质中时,在介质交界面反射回原介质的现象叫做光的反射,被反射回原介质的光线称为反射光线,入射到交界面的光线称为入射光线.如图1,由光的反射规律知:(1)入射光线CO与反射光线DO及法线     

应用高中数学知识解决光的反射问题

光从一种介质中传播到另一种介质中时,在介质交界面反射回原介质的现象叫做光的反射,被反射回原介质的光线称为反射光线,入射到交界面的光线称为入射光线.如图1,由光的反射规律知：     

光线寻优算法的寻优机理分析

光线寻优算法是一种通过模拟光的传播路径进行寻优的最优化方法.该算法用网格划分可行域,将具有不同折射率的介质填充到各网格中,并将光在此变折射率介质中的传播路径设想成算法的寻优路径.光线寻优算法仅用到目标问题的函数值,结构简单容易实现.根据费马原理,利用变分法进行推导,得出了光具有偏向折射率增大方向,偏离折射率减小方向的自动寻优性质.通过求解9个标准测试函数,并将算法与模拟退火算法,标准粒子群算法进行比较,验证了所得结论以及算法的可行性,有效性,潜在的优越性.     

对抛物线性质探究的一次成功体验

一只很小的灯泡所发的光会分散的射向各方,但将其置于圆柱形手电筒内,经过适当调节,就能射出一束比较强的平行光线,这是因为光线经抛物面反射后汇聚成了一束平行光线.从这一现象我们可以归纳出一个重要性质：从焦点发出的光线,经抛物线上一点反射后,反射光线平行于抛物线对称轴.     

睹影知竿

<正>清·刘熙载《艺概·诗概》:"正面不写写反面,本面不写写对面、旁面,须睹影知竿乃妙."睹影知竿的意思是看见竹竿的影子就知道竹竿的长短曲直.本文探究如何"睹影知竿".一、平行投影在平行光线(如太阳光)的照射下,物体所产生的影称为平行投影.在平行光线的照射下,不同物体的物高与其影长成比例.     

球面上的一类最优运输问题

本文考虑球面S~n上成本函数为c(x,y)=F(d(x,y))的最优运输问题,其中d(x,y)表示S~n上两点x与y之间的球面距离.重点是说明,即使F仅定义于原点的一个邻域内,在适当条件下仍然可以证明最优映射的存在性和唯一性.特别是当F(d)=log(κcos d-1)(κ1)和F(d)=log cos d时,相应的最优运输问题分别等价于几何光学中的光线折射问题和凸体几何中的Aleksandrov问题.     

三维Minkowski空间中的一类直线汇

研究了由三维Minkowski空间$E^3_1$中一个类空曲面$S_1$上一个单参数测地曲线族的切线所构成的直线汇$T$,它以$S_1$为一个焦曲面.证明了$T$的两个可展曲面族沿着第二个焦曲面$S_2$的正交曲线网相交的充要条件是$S_1$是可展曲面.对于$T$的两个焦曲面$S_1$和$S_2$之间沿着同一光线的对应,还证明了其保持渐近曲线网的充要条件.最后,研究了$T$的正交曲面$S$,并且证明了如果$S$是$E^3_1$中的一个极大曲面,那么,$T$的焦曲面$S_1$和$S_2$之间沿着同一光线的对     

高斯曲率、平均曲率和像散差

<正> 1.引言像散差是几何光学中的重要概念,在几何光学中把具有焦点的直线光线所形成的光束称为同心光束,相应的波阵面是以焦点为球心的球面。但是经过光学系统的折射或反射后,光束的同心性遭到破坏成为像散光束,相应的波阵面也变成一般的曲面,于是产生像散现象.像散的大小由像散光束的像散差来度量.所谓像散差就是在被研究的波阵面上取一曲面片 S,由微分几何可知,过 S 上的一点 P 总存在着两个相互垂直的主方向,设 C_1和 C_2是沿 P 点二主方向的法平面的截线 (主截线),且它们在 P 点的曲率中心分别是 F_1和 F_2(它们位于 P 点的法光线上),把 F_1和 F_2之间的距离称为 P 点的像散差.显然,同心光束的像散差为零.     

基于空间自适应分割技术的快速光线跟踪算法

提出了一个基于空间自适应分割技术的快速光线跟踪算法,与传统八叉树和3DDDA算法不同的是,该算法综合了景物包围盒技术和空间剖分技术的优点,采用各景物包围盒的边界面作为空间剖分面,通过动态决定分割方向和分割平面,避免了景物的分割,提高了光线跟踪的效率.同时,还提出了一个跟踪、查找下一网格的快速算法.