Sufficient uniqueness and stability conditions for elastic-plastic structures with associated flow laws

Summary The incremental problem for elastic-plastic structures with associated flow laws is stated in terms of an integral equation, whose characteristics and solution are discussed.It is then shown how a simpler problem whose condition of uniqueness of solution constitutes an easily applicable sufficient condition of uniqueness and stability of response for the incremental problem may be deduced.

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Sommario Si formula il problema incrementale per strutture elastoplastiche con leggi di scorrimento associate in termini d'una equazione integrale della quale si discutono le caratteristiche e il criterio di soluzione.Si mostra infine come dal problema incrementale possa essere dedotto un più semplice problema la cui condizione di unicità di soluzione costituisce per il problema incrementale una condizione sufficiente di unicità e stabilità della risposta, di semplice applicabilità.

     

Regularization and symmetry breaking for the thermistor problem with the Thomson effect

We examine a mathematical model of the thermistor taking into account the Thomson effect. We show that this system of equations is always uniquely solvable, in sharp contrast with the case where the Thomson effect is neglected. Another feature of the problem is breaking of the symmetry of the solutions in accordance with practical experiments.

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Sommario Si esamina un modello matematico per il dispositivo noto come termistore tenendo conto anche dell'effetto Thomson. Viene provato che il problema al contorno per il sistema di equazioni differenziali ordinario che regge il dispositivo ha sempre una e una sola soluzione a differenza di quanto accade quando l'effetto Thomson è transcurato. Si prova inoltre la perdita di simmetria della soluzione, fatto rilevato anche sperimentalmente.

     

A mathematical model for an alloy solidification problem in the presence of an electric field

A one-dimensional mathematical model for a process of solidification of a binary alloy in the presence of an electric field is studied. A situation in which the thermal properties of each phase are different and the latent heat is non-zero is considered. A quasi-static approximation for the thermal and electric fields is used. Local existence and uniqueness of a classical solution to the resulting free boundary problem are proved for two kinds of boundary conditions. Moreover, under particular hypotheses, the monotonicity of the free boundary and the global existence of the solution is proved.

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Sommario Si studia un modello matematico unidimensionale per un processo di solidificazione di una lega binaria in presenza di un campo elettrico. Si considera una situazione in cui le proprietà termiche di ogni fase sono differenti e il calore latente è non nullo. Si usa una approssimazione quasi-statica per i campi elettrico e termico. Si dimostra l'esistenza locale e l'unicità di una soluzione classica per il problema di frontiera libera risultante con due tipi di condizioni di bordo. Inoltre si dimostra, sotto particolari ipotesi, la monotonia della frontiera libera e l'esistenza di soluzione globale.

     

Asymptotic behaviour of solutions to the equation of constant mean curvature on a three-dimensional region

A first order differential inequality is derived for the cross-sectional energy flux of the solution to the equation of constant mean curvature defined on a three-dimensional prismatic cylinder of convex cross-section. Integration of the inequality yields estimates which are employed to prove for large values of the axial variable that the solution in measure either grows at least algebraically or decays at most exponentially to the lower dimensional cross-sectional solution. This result generalises that previously obtained by the authors for the corresponding two-dimensional problem.

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Sommario Si dimostra una disequazione differenziale del primo ordine per il flusso di energia attraverso la sezione trasversale della soluzione dell' equazione della curvatura media costante definita in un cilindro prismatico tridimensionale a sezione trasversale convessa. L'integrazione della disuguaglianza fornisce stime che sono impiegate a provare che, per grandi valori della variabile assiale la soluzione in misura o cresce almeno algebricamente o decade al più esponenzialmente alla soluzione per la sezione trasversale più piccola. Questo risultato generalizza quello ottenuto in precedenza dagli autori per il corrispondente problema bidimensionale.

     

A free boundary problem arising in oil production

For a stable two-phase free boundary problem arising in oil production, we prove the existence of a weak solution and the continuity of the free boundary.

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Sommario Si prova un teorema di esistenza di una soluzione debole per un problema stazionario a contorno libero a due fasi che interessa la produzione di petrolio. Si dimostra inoltre la continuità del contorno libero.

     

Second order effects in an elastic half-space acted upon by a non-uniform normal load

A closed form solution to the second order elasticity problem, when an isotropic compressible elastic half-space undergoes a deformation owing to a non-uniformly distributed normal load, is presented. The method of integral transform is employed and the case when loading is distributed, in accordance with Hertz's law, is discussed. The limiting solution for incompressible isotropic elastic material is also derived. Numerical calculations for the second order elastic material for the displacement and the normal stress in thez-direction are carried out. It is found that, in comparision to the linear elastic case, the displacement increases and the normal stress decreases in the second order elastic material

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Sommario Si presenta una soluzione del secondo ordine in forma chiusa del problema di un semi-spazio elastico isotropo compressibile soggetto a un carico normale distribuito non uniformemente, ottenuta mediante il metodo delle trasformate integrali. Si discute il caso del carico distribuito secondo la legge di Hertz; si deriva anche la soluzione limite per materiale elastico isotropo incompressibile. Si ottengono numericamente alcuni risultati relativi a spostamenti e tensioni normali nella direzione z: si trova che, a paragone del caso elastico lineare, gli spostamenti aumentano e le tensioni diminuiscono nel materiale elastico del secondo ordine.

     

An efficient method for solving free-boundary diffusion problems

Summary A new method is introduced for solving free-boundary problems for the heat equation. The method is shown to be uniformly convergent both for first type and nonlinear second type boundary conditions. Approximate solutions are obtained by discretization of the time variable and recursive solution at each time step of classical heat conduction linear problems in slabs of known thickness. An error estimate is given. Numerical tests are presented in a few cases in which exact solutions are known.

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Sommario Si introduce un nuovo metodo per la soluzione di problemi a contorno libero per l'equazione del calore. Si dimostra la convergenza uniforme del metodo sia per condizioni al contorno del primo tipo che per condizioni al contorno del secondo tipo non lineari. Le soluzioni approssimate sono ottenute discretizzando la variabile temporale e risolvendo ricorsivamente ad ogni passo un classico problema lineare di conduzione in uno strato di spessore noto. E' data una stima dell'errore. Per alcuni casi nei quali è nota la soluzione esatta sono presentate prove numeriche.

     

Solution to the boltzmann equation for monoenergetic neutrons in a slab

Summary This paper presents a physical solution to the linear integro-differential Boltzmann equation, which governs the stationary distribution of the flux of monoenergetic neutrons in the interior and at the boundary of an infinite slab of finite thickness. Results for both the angular and the total fluxes are obtained by properly accounting for the boundary conditions of the problem and by a Fourier transform of the original Boltzmann equation. An integral linear Fredholm equation for the Fourier transform of the total flux is thus derived. The solution of such an equation is given two different representations according to the two decompositions devised for the given Fredholm kernel. The solution obtained in each case is finally inverted termwise to yield the sought total flux in the original space. The result for the angular flux follows, then, directly from the result for the total flux.

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Sommario In questa nota viene costruita una soluzione fisica dell'equazione integro-differenziale lineare di Boltzmann, che, in regime stazionario, regola la distribuzione del flusso di neutroni monoenergetici all'interno di una lastra piana di spessore finito. Risultati per la distribuzione sia del flusso angolare che totale vengono ottenuti tramite una trasformazione di Fourier dell'equazione integro-differenziale di partenza, in cui le condizioni al contorno del problema vengono opportunamente incorporate. Si perviene in tal modo ad una equazione integrale lineare di Fredholm per la trasformata di Fourier del flusso totale. Della soluzione di questa equazione vengono date due diverse rappresentazioni, che corrispondono a due possibili decomposizioni del nucleo dell'equazione stessa. In ciascuno dei due casi la soluzione ottenuta viene quindi antitrasformata termine a termine per riprodurre il flusso totale nello spazio originale. Dal risultato per il flusso totale segue poi direttamente quello del flusso angolare.

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Work performed under contract C.N.R.     

Creep and relaxation in thick-walled shrink-fitted cylinders

Summary We deal with the problem of time dependent stresses and, particularly, of the contact pressure in two thick-walled coaxial shrink-fitted cylinders, when neither of the two elements is rigid.We apply Rabotnov's phenomenological theory of creep in such a way that the integral equation, which gives the time dependent ratio between the contact pressure at a given moment and the starting pressure, is linear. We assume no volume deformation and a plane state of strain.We give the explicit solution in three examples both for an elastic inner cylinder and for a viscoelastic one, solving the integral equations of the problem both by quadratures and by the Laplace transformation inverting the transforms by a numerical method[21].

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Sommario Si affronta il problema della ricerca dell'andamento nel tempo delle tensioni e, in particolar modo, della pressione di contatto in un accoppiamento forzato tra due cilindri cavi coassiali nel caso che nessuno dei due elementi sia rigido.Si applica la teoria fenomenologica per lo scorrimento viscoso del Rabotnov in un modo tale per cui l'equazione integrale, che dà l'andamento nel tempo del rapporto tra la pressione di contatto in un dato istante e la pressione iniziale, è lineare. Si considera nulla la variazione di volume e piano lo stato di deformazione.Si dà la soluzione esplicita in tre esempi per cilindro interno sia elastico sia viscoelastico, risolvendo le equazioni integrali del problema sia per quadrature sia con l'uso della trasformata di Laplace trovando l'antitrasformata con un particolare metodo numerico di inversione[21].

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On the global solutions to two-phase nonequilibrium problems

In this paper, we consider a Stefan-like problem with a kinetic condition on the free boundary, i.e. a two-phase nonequilibrium problem in one dimension, and prove that it has a unique classical and global solution under some conditions. We also investigate the travelling wave solutions.

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Sommario In questo lavoro si considera un problema tipo Stefan con una condizione cinetica sul bordo libero, cioc' un problema di non equilibrio a due fasi in una dimensione. Si dimostra che, sotto opportune condizioni, il problema ammette una unica soluzione globale di tipo classico. Sono altresi' analizate soluzioni ad onde viaggianti.

     

Absence of turbulence in a unidimensional model of fluid motion (Burgers model)

Summary We study a quasilinear partial differential equation which is a classical unidimensional model of fluid motion (Burgers equation). We consider the problem in a finite interval with stationary boundary conditions. The aim is to see whether the model shows transitions in the asymptotic behaviour as viscosity varies. We show that there is always a unique stationary solution, which is explicitely exhibited, and, by using the Hopf-Cole transformation, that it is globally attractive for any value of the viscosity, both in the homogeneous and inhomogeneous case.

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Sommario In questo lavoro si considera un classico modello unidimensionale della fluidodinamica, consistente in un'equazione alle derivate parziali parabolica quasilineare (equazione di Burgers). Si considera il problema in un intervallo con condizioni al contorno stazionarie. L'intento è quello di indagare se il modello presenta transizioni nel comportamento asintotico al variare della viscosità. Facendo uso della trasformazione di Hopf-Cole si trova che la soluzione stazionaria (che viene calcolata esplicitamente) è globalmente attrattiva per ogni valore della viscosità, sia nel caso omogeneo che in presenza di una forza.

     

A priori bounds for the plastic dissipation of elastic-plastic oscillators

Summary The possibility of enlarging the definition of collapse of elastic-plastic structures to include dynamic problems is first examined. It is concluded that the most satisfactory definition is the one given in terms of plastic dissipation. The simple case of a single-degree of freedom oscillator is then studied in detail. After giving some upper bounds for the dissipation with the aid of suitable a priori inequalities, a typical property of stability of the solution is employed to obtain a fairly severe bracketing of velocities throughout the motion. A numerical example, taken from a problem of seismic design, shows that the latter result leads to further improvements in majorizing the plastic dissipation.

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Sommario Si studia aapprima l'estensione della definizione di collasso di una struttura elastoplastica ai problemi di tipo dinamico, concludendo che la miglior caratterizzazione é quella in termini di dissipazione plastica. Si passa poi a considerare il caso di un oscillatore a un grado di libertà, per cui si calcolano limitazioni superiori della dissipazione ricorrendo a opportune diseguaglianze a priori. Utilizzando inoltre una proprietà di stabilità della soluzione, tipica dei problemi di Plasticità, si riescono a dare strette limitazioni per la velocità. Come mostrato da un esempio numerico tratto da un problema sismico, esse conducono anche ad una più accurata delimitazione della dissipazione plastica.

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This research was supported in part by the C.N.R., Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica e per le Applicazioni della Matematica alla Fisica e all'Ingegneria.     

On the theory of emersion and impulse waves. A rigorous solution,with finite energy,of the cauchy-poisson problem

Summary In this note a rigorous solution of Cauchy and Poisson problem is reached for the case of irrotational flow of a perfect fluid with initial elevation having a finite energy. The problem is solved both in the plane surface case, in which the solution can be given in the form of known trascendentes, and in the case of axial simmetry, in which the solution is obtained by means of rapidly converging series infolds.The Cauchy and Poisson solution in the case of wave motion, both in the plane form and with axial simmetry, is reported shortly and it is noted that such solution, which has been reached through different methods by other researchers[6] cannot be considered satisfactory from a physical point of view, as the developed scheme involves an initial disturbance of finite volume and infinite height and consequently containing an infinite potential energy.It is demonstrated how one can reach a rigorous solution of the problem regarding progressive surface waves at an infinite depth, when the original elevation, restricted to the spot near the × origin, has a finite volume, height and consequently also potential energy, so that any incongruity from a physical point of view is let out of the solution.The side problem of determining the wave resulting from application of an impulse evenly distributed on the whole undisturbed surface is not a very interesting one, as it is included in the class of problems involving an initial infinite energy.

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Sommario In questa nota si giunge ad una soluzione rigorosa del problema di Cauchy e Poisson, per il caso di moto irrotazionale di fluido perfetto, con intumescenza iniziale avente energia finita. Il problema viene risolto sia nel caso piano, in cui si può esprimere la soluzione a mezzo di trascendenti note, sia nel caso a simmetria centrale, in cui si ottiene la soluzione a mezzo di sviluppi in serie rapidamente convergenti.Si riporta brevemente la soluzione di Cauchy e Poisson nel caso di moto ondoso, sia piano che a simmetria centrale e si nota che tale soluzione, ritrovata per altra via anche da altri ricercatori[6] non è soddisfacente dal punto di vista fisico, in quanto lo schema fatto è quello di una perturbazione iniziale di volume finito e di altezza infinita e quindi dotata di energia potenziale infinita.Si dimostra come si possa giungere ad una soluzione rigorosa del problema delle onde progressive superficiali in profondità infinita, quando l'intumescenza originale, confinata in prossimità dell'origine delle × abbia volume, altezza e quindi anche energia potenziale finita, in modo che ogni incongruità dal punto di vista fisico della soluzione venga a cadere.Il problema complementare, di determinare cioè l'onda risultante dall'applicazione di un impulso distribuito uniformemente sulla superficie in quiete, non è di grande interesse, perchè rientra nella categoria dei problemi con energia iniziale infinita.

     

Diffusion of a velocity discontinuity according to kinetic theory

Summary The problem of describing the smoothing out and diffusion of an initial velocity discontinuity is solved analytically by means of the linearized Bhatnager, Gross and Krook model of the Boltzmann equation. The solution is compared with previous approximate solutions and with the solution arising from a continuum treatment based on Navier-Stokes equations.

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Sommario Si risolve analiticamente per mezzo del modello linearizzato di Gross, Bhatnagar e Krook dell'equazione di Boltzmann, il problema dell'evoluzione temporale di una discontinuità iniziale di velocità.La soluzione che così si ottiene viene confrontata con precedenti soluzioni approssimate e con la soluzione ottenuta dalle equazioni di Navier-Stokes che descrivono macroscopicamente il fluido.

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Research developed in the frame of the activity of the CNR group for Fluid Dynamics at the Istituto di Scienze Fisiche dell'Università di Milano, Grant N. 02/100/5/2001.     

Unilateral contact,dynamic analysis of beams by a time-stepping,quadratic programming procedure

Summary This paper discusses a method for the dynamic analysis of a slender beam, undergoing «small» deformations and contrasted without friction by a supporting profile. The relevant contact-impact (unilateral constrained) problem is studied, with reference to a discrete model in space and time, after its formulation as a quadratic programming problem (Q.P.P.), with sign constraints only. The contact-impact problem for a rigid supporting profile is first solved, and subsequently the contact problem for an elastic profile.Among available algorithms for the numerical solution, the implicit unconditionaly stable algorithm of Zienkiewicz Wood and Taylor was proved to be the most efficient for the time discretization, while a modification of Hildreth-d'Esopo's algorithm with the introduction of a variable overrelaxation factor, was used for the solution of the Q.P.P.

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Sommario Il lavoro presenta un metodo per l'analisi dinamica di una trave snella sottoposta a piccole deformazioni e sostenuta senza attrito. Si studia il relativo problema di contatto-impatto (sotto vincolamento unilaterale), con riferimento ad un modello discreto nello spazio e nel tempo, previa formulazione come problema di programmazione quadratica, con soli vincoli in segno. Prima si risolve il problema contatto-impatto per il caso di supporto rigido e successivamente quello per un supporto elastico.Tra gli algoritmi disponibili per la risoluzione numerica, quello implicito e incondizionatamente stabile di Zienkiewicz, Wood e Taylor risulta il più efficiente per la discretizzazione nel tempo, mentre per la risoluzione del problema di programmazione quadratica si è usata una modifica dell'algoritmo di Hildreth e d'Esopo con l'introduzione di un fattore di sovrarilassamento variabile.

     

The diffraction of a plane wave by an isolated breakwater

Summary The diffraction of a plane wave incident on an isolated breakwater is here studied: the exact solution of the problem is briefly reported and a general method involving energies is used to determine comparative importance of the terms of the series which appear in the solution, which becomes of much greater facility in use in practical problems. Numerical calculations have been carried out for twelve different cases, with the wavelength of the incident wave comparable to the length of the breakwater. Results are graphically shown in a set of tables.

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Sommario Si studia la diffrazione di un'onda piana che investe una diga foranea isolata: si riporta brevemente la soluzione esatta del problema e si utilizza un metodo energetico generale per la determinazione dei pesi relativi dei termini delle serie che compaiono nella soluzione, che viene resa di molto più semplice impiego per i problemi pratici. Si sono effettuati calcoli numerici relativi a dodici casi diversi, con lunghezze d'onda incidente paragonabili alla lunghezza della diga. I risultati sono stati tradotti graficamente in una serie di tavole.

     

An exact solution for one-dimensional unsteady nonlinear groundwater flow

After a brief review of the validity of Darcy's law, a nonlinear flow law is adopted for the analytical solution of a groundwater flow problem. A one-dimensional unsteady flow in plane geometry, with prescribed head at the boundaries, is studies. The solution of the analogous linear case is reviewed through the use of Boltzmann's transformation. A solution for nonlinear flow is obtained through a generalization of this transformation. Detailed expressions for specific discharge and drawdown are derived for two significant values of the exponent of the flow law. All results are presented in dimensionless form for a comparative analysis. Some significant cases are plotted. Finally, some implications of the adoption of a nonlinear flow law are discussed.

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Sommario Dopo un breve riepilogo sui limiti di validità della legge di Darcy, si adotta una formulazione non lineare della legge del moto per la risoluzione analitica di un problema di filtrazione. Si studia un moto non stazionario monodimensionale in geometria piana, con carico assegnato al contorno. Viene richiamata la soluzione dell'analogo caso lineare, tramite l'applicazione della trasformata di Boltzmann. Una soluzione per il moto non lineare è ottenuta mediante la generalizzazione di tale trasformazione. Si ricavano le espressioni della velocità apparente di filtrazione e del drawdown per due valori significativi dell'esponente della legge del moto. Tutti i risultati sono presentati in forma adimensionale per una analisi comparativa. Alcuni casi significativi sono diagrammati. In conclusione, sono discusse alcune implicazioni dell'adozione di una legge del moto non lineare.

     

Kinematics of single-loop mechanisms and serial robot arms: A systematic approach

This paper presents a systematic approach, based on displacement group properties, to the kinematic analysis of spatial linkages with one closed loop and to the solution of the inverse kinematic problem for robot manipulators. By using the proposed approach, a set of kinematic chains can be determined such that a first closure equation with one unknown can be derived directly and explicitly. Then the remaining closure equations are obtained: it is proved that they can be expressed in triangular form. The basic algorithms used to solve these equations in closed form are also presented. For each algorithm, the conditions of applicability, the initial information required, the results, the type and form of equations, and the maximum number of solutions are given. The proposed approach is well suited to the symbolic explicit solution of the inverse kinematic problem of a wide range of robut mechanisms. An example of its application is given.

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Sommario Il lavoro presenta un appreceio sistematico, basato sulle proprietà dei gruppi di spostamento, all'analisi cinematica di posizione di meccanismi spaziali ad una maglia e alla cinematica inversa di robot manipolatori seriali. L'approccio consente di determinare un insieme di catene cinematiche per le quali può essere scritta e risolta direttamente una prima equazione di chiusura in una sola incognita. Viene successivamente dimostrato esaustivamente che, per tali catene, le successive equazioni di chiusura possono essere espresse e risolte in forma triangolare. Inoltre sono presentati gli algoritmi di base utilizzabili per la soluzione del problema posto. Per ciascuno di essi sono dati: le condizioni di applicabilità, l'informazione iniziale richiesta, i risultati ottenuti, il tipo e la forma delle equazioni e il massimo numero di soluzioni possibili. L'approccio presentato è utilizzabile per la soluzione simbolica esplicita, manuale o automatica, di un esteso insieme di meccanismi per robot. Viene dato un esempio di uso del metodo.

     

The determination of mode shapes for dynamically loaded rigid-plastic structures

Summary Mode solutions in rigid-plastic structures subjected to fixed external loads are dynamic solutions which are products of separate functions of space and time. If the small displacement assumptions are adopted, there will exist at least one mode shape for any structure subjected to given fixed external load, and possibly a multiplicity of modes. The time function is a simple linear function, and is easily determined once the mode shape is known. The paper puts forward, a simple in physical terms, algorithm for the determination of mode shapes. An iterative procedure is established in which each iteration is equivalent to the solution of a static limit analysis problem. Convergence is proved.

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Sommario Soluzioni modali per strutture rigido-plastiche soggette a carichi esterni fissi sono soluzioni dinamiche rappresentabili come prodotti di funzioni separate delle variabili spaziali e del tempo. Nell'ipotesi di piccoli spostamenti, esiste almeno una configurazione modale o «modo» per una struttura soggetta a dati carichi esterni fissi e può esserci una moltiplicità di modi. La funzione del tempo è una funzione lineare che può essere facilmente determinata qualora sia noto il modo. Questo lavoro propone un metodo, semplice dal punto di vista meccanico, per il calcolo di configurazioni modali. Si sviluppa un procedimento iterativo in cui ciascuna iterazione equivale alla soluzione di un problema statico di analisi limite, e se ne dimostra la convergenza.

     

On three dimensional transient wave motions on a running stream

Summary This paper considers the three-dimensional transient wave motions in a fluid produced by a moving oscillatory disturbance of frequency acting on the free surface of the fluid. The problem is treated as an initial value problem and is solved by the joint Laplace-Fourier transform method combined with the asymptotic treatment for the double Fourier inversion integrals. The explicit representation of the steady state as well as the transient solution of the problem is presented. It is shown that the ultimate steady is set up in the limit. A brief discussion on the principal behaviour of the wave motions is made.

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Sommario Si considerano i moti ondosi transitori tridimensionali prodotti in un fluido da una eccitazione oscillatoria, in movimento, di frequenza che agisce sulla superficie libera. Il problema è trattato come problema di valori iniziali e viene risolto con il metodo della trasformata congiunta di Laplace-Fourier combinata con il trattamento asintotico per gli integrali doppi di inversione di Fourier. Si espone la rappresentazione in forma esplicita della soluzione di regime e di quella transitoria. Si dimostra che la condizione finale di regime viene stabilita nel passaggio al limite. Si esegue una breve discussione del principale comportamento del moto ondoso.