Minorations pour l'équation de Catalan

We consider Catalan's equation x^p − y^q = 1 (with p, q prime and |x|, |y| > 1). We show that, besides the obvious solution 3² − 2³ = 1, min {p; q} > 10⁵ and max {p; q} > 10⁶.     

Sur l'équation diophantienne

We announce several new theorems on the Diophantine equation (xⁿ−1)/(x−1)=y^q, which include the fact that any integer greater than 2 and with all digits equal to 1 in base ten cannot be a pure power. We then apply these results to solve this equation for any integer x of the form x=z¹ with 2 ≤ z ≤ 10000 and t ≥ 1.     

Décomposition de domaine pour un calcul hybride de l'équation de helmholtz

We prove an estimate for the Dirichlet-Neumann operator, and for the H¹ local norm for solutions of Helmholtz equation outside an obstacle without trapping rays. We give an algorithm solving Helmholtz equation outside a union of such obstacles. Convergence follows from this estimate. At each step of the resolution, only one obstacle is considered for itself; this defines a decomposition domain technique fitting this equation. One can use different numerical schemes, one at each step, adapted to the considered component of the obstacle; therefore, this algorithm is a hybrid computation. The results are given for two obstacles, and the generalization is straightforward     

Remarque sur la régularité locale de l'équation de Kadomtsev-Petviashvili-II

We give a short proof of a part of the Bourgain's result from [3]. More precisely, we prove that the Cauchy problem for the Kadomtsev-Petviashvili equation is locally well posed in Sobolev spaces with positive index.     

Espaces de Sobolev avec poids pour l'équation de Laplace dans le demi-espace

We deal in this Note with the Laplace equation in the half-space. The use of a special family of weighted Sobolev spaces as a framework is at the heart of our approach. A complete class of existence, uniqueness and regularity results is obtained for inhomogeneous Dirichlet and Neumann problems.     

Quelques propriétés des solutions de l'équation de Ginzburg-Landau sur un ouvert de ∝2

For a solution u of –u=u(1–|u|²) on the whole plane, |u|<1 holds everywhere unless u=eⁱ for some ; the derivatives of order k have moduli a constant M _kdepending only on k. For a solution u on an open set ², the moduli of u and its derivatives have upper bounds depending only on the distance to ²\ therefore the set of solutions on a given is compact in C() for the topology of uniform convergence on compact subsets of . For a solution u such that |u|<1, 1–|u| satisfies an estimation similar to the classical Harnack inequality for positive harmonic functions.Finally, if is bounded and |u| has a lim supm at each boundary point, the |u|m in if m1, but if m<1 then |u| admits only a majorant S _m with values in ]m, 1[ and sufficient conditions are given for lim S _m =0 or S _m =O(m) as m0.

     

Nouveaux algorithmes pour l'équation de transport neutronique en géométrie bidimensionnelle plane

The aim of this work is to introduce and analyse the new algorithms for solving the transport equation in two-dimensional plane geometry. These schemes are based on a splitting method for the collision operator, introduced in [1]–[3]. Theoretical and numerical results are given and prove the superiority of these schemes over classical algorithms.     

Un modéle pseudo-tridimensionnel d'écoulement de fluides parfaits et généralisation de l'équation pour la fonction de courant

Résumé Dans une région des l'espace on considère l'écoulement d'un fluide et on fait l'hypothèse qu'il est pseudotridimensionnel, c'est-à-dire que son mouvement est stationnaire et qu'il existe un système de coordonnées curvilignes (y ¹,y ²,y ³) tel que les surfaces coordonnéesy ³=constante sont des surfaces de courant. Cette hypothèse entraîne l'existence d'une fonction de courant (y ¹,y ²,y ³). Si le fluide est parfait et barotrope on obtient que ³/ le long des lignes de courant oú ³ est la troisième composante contravariante du rotationnel de la vitesse et la densité de masse. Cette propriété permet de formuler une équation pour la fonction de courant, généralisant l'équation habituelle de la mécanique des fluides plans.

---

Let us consider a flow motion in a given special domain. We make the assumption that the movement of the fluid is pseudo-tridimensional, i.e., the flow motion is steady and there exists a system of curvilinear coordinates (y ¹,y ²,y ³) such that stream surfaces are defined byy ³=constant. Under this assumption there exists a stream function .Whenever the fluid is perfect and barotropic, we show that ³/= constant on stream lines (where ³ is the 3rd contravariant component of the speed's curl and is the density).Using this property we are able to write an equation for the stream function, which embeds the usual equation for two-dimensional fluid movements.

     

Éléments finis mixtes incompressibles pour l'équation de Stokes dans ℝ3

Summary We introduce some new families of finite element approximation for the stationary Stokes and Navier Stokes equations in a bounded domain in ³. These elements can used tetahedrons or cubes. The approximation satisfie exactly the incompressibility condition.

     

Sur la solution fondamentale de l'équation aux dérivées partielles du type parabolique

Résumé L'auteur construit la solution fondamentale pour l'équation aux dérivées partielles du type parabolique à deux variables indépendantes en partant de celle de l'équation construite parJ. Hadamard. à Mauro Picone pour son 70^me anniversaire.     

Une définition des solutions renormalisées pour l'équation de Boltzmann sans troncature angulaire

We propose a notion of renormalized solutions for 3D Boltzmann equation, and without assuming Grad's angular cutoff. Actually, we show that P.-L. Lions's recent hypothesis about velocity averages compacity of solutions is satisfied in this framework.     

Effilement minimal en une singularité isolée de l'équation de Schrödinger et application au principe de Picard

In this paper, the generalized Schrödinger equation (–)u=0 on the punctured unit disk of ² is investigated. If is rotation free and satisfies the Picard principle at the origin, it is shown that if a setE is minimal thin relatively to an extremal harmonic functionh with zero boundary values at {|x|=1}, there exists a sequence (r _n ) converging to zero such that B(O,r _n ) C E. Lete be the -unit. It is proved that if a measure satisfies _\E e h d<, for a minimal thin, relatively toh , setE then the Picard principle is valid for the measure + .

     

Schéma de relaxation pour l'équation de Schrödinger non linéaire et les systèmes de Davey et Stewartson

In this paper, we introduce a new numerical scheme for the nonlinear Schrödinger equation and the Davey-Stewartson systems. This is a relaxation type scheme that avoids the resolution of nonlinear systems. We give convergence results for the semi-discret version, locally in time for all data and globally in time for small data.     

Une généralisation d'un résultat de J. Aczél et M. Hosszú sur l'équation de translation

Résumé En généralisant un résultat de J. Aczél et M. Hosszú on donne des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une solution de l'équation de translationF(F(, x), y) = F(, xy), oùF: × G , est un ensemble arbitraire,G forme un groupe, soit de la formeF(, x) = f ^–1(f()·1(x)), oùf est une bijection de au groupeG ₁ isomorphe avecG et 1 est un homomorphisme deG àG ₁. On considère aussi le cas oùG forme un espace vectoriel sur le corps des nombres rationels.Si est un intervalle ayant plus qu'un point etG = R ^m avec l'addition comme l'opération on trouve des conditions pour que la fonction continueF soit de la formeF(, x ₁,, x _m ) =f ^–1(f() + c ₁ x ₁ + +c _m x _m ), oùf est une homéomorphie de àR et (c ₁,,c _m ) R ^m .

---

     

Sur la non-unicité des solutions faibles de l'équation de la chaleur non linéaire avec non-linéarité u

We prove for some singular initial data the existence of a solution u(t)=u(t)+v(t) ε C([0,T]:L³(ø³)) of the nonlinear heat equation with nonlinearity u³, which is not equal to Weissler's solution. The proof lies on the study of the perturbed equation on v(t) in weak-L⁶.