勾股定理的考场遭遇(续)

1 余弦定理奇货可居 回到当年的考场:叙述并证明勾股定理. 前文已经说过,这道题目还真的把当年的考生们考住了.     

勾股定理的考场遭遇(再续)

循环论证--绕不出的怪圈一句权威的错话,造成了我国中学数学界的混乱.容许使用余弦定理证明勾股定理开了一个坏头.一时间,利用高中数学知识反过来证明初中数学定理形成热潮.与之相伴,各种循环论证层出不穷,由此创造的成果也就屡见不鲜.     

勾股定理的证明

关于勾股定理,有很多证法.证法1是欧几里得证法,证法2用的是面积割补的方法. 证法1 如图1所示,在Rt△ABC的外侧,以各边为边长分别作正方形ABDE、BCHK、ACFG,它们的面积分别是c2、a2、b2.下面证明,大正方形的面积等于两个小正方形面积之和.     

勾股定理源远流长

勾股定理源远流长百闻●古巴比伦、中国、古印度和古希腊人各自独立地发现了勾股定理。●数学上第一个名副其实的定理。●整个数学历史中也许找不到第二个定理有勾股定理那样多的千姿百态的证明。一个叫卢求斯的人收集了３７０个证明。初等几何中最引人注目、肯定也是最著...     

勾股定理的推广

讀华罗庚著“数論导引”第十一章§6商高定理的推广以后,使我連想起求不定方程x~2+y~2=z~n的整数解,进而想到求x~2-y~2=z~n的整数解,更进一步想到求x~2+αxy+βy~2=z~n的整数解,最后又找到了求某一类型ax~2+bxy+cy~2=dz~n的不定方程的整数解公式。另一方面,我們知道至今尚未解决費尔馬(Fermat)問題:当n>2时不走方程x~n+y~n=z~n已不再有xyz≠0整数解。因而,我又連想到更一般地判定关于ax~n+by~n=cz~n型不走方程是否有整数解的問題。現将我在这方面获得的点滴心得体会介紹出来,供大家参考。由于我身边沒有更多的数論方面的参考书,也很可能同志們还有比这更好的見解,因此还盼望多多指教。为了节省篇幅,我尽量把某些步驟省去。現将各部分分述于下:     

勾股定理之外的妙用

在众多证明勾股定理的构图中,有许多不但巧妙地证明了勾股定理,而且在其它数学问题中也有精妙的应用。下面试举几例,以飨读者。     

勾股定理的一个拓广

定理设00的直径DC一2左,O口,、00:、00:分别与00内切于刀、e、注,则00,、O认、003间两两外公切线长有如下关系: t}3(凡一,2) t;:(左一::)=tfZ(儿一几3)(1)其中‘,(‘护力表示O口‘与O仇的外公切线长,,‘是OQ的半径,且00.中的某一个(或全部)可能是“零圆”。(图1)即t}3(凡一,2) t;3(刀一,,)=tlZ(R一,3)· 显然,当。o,、002、00,均是“零圆、,时,(1)式所反映的就是勾股定理. 例O口的直径为BD,点p在BD上,O口.与002是分别以B尸、PD为直径的圆,它们的内公切线PA交O口于A,求‘2(图2) 解把点注看作“零圆”O。,设O。与O口,的外公切线长…     

勾股定理的再证明

<正>勾股定理是平面几何定理中的一颗璀璨明珠.古今往来,下至平民,上至总统都热衷于探求它的证明方法.据资料记载,勾股定理的证明方法现已有800余种.以下是勾股定理的又一种证明方法,证明中利用了三角形内心的性质与三角形面积的不同表示方法.三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心.内心到三角形三边的距离相等.     

勾股定理及其逆定理

勾股定理揭示的是直角三角形三边之间 的度量关系,其内容是 如图1,△ABC中, ∠C=90°,CB=a,AC =b,AB=c,则有 a2+b2=c2． 勾股定理最早的文 字记载见于欧几里得 (公元前三世纪)的《几何原本》第一卷命题 47,“直角三角形斜边上的正方形面积等于两 直角边上正方形面积之和．”     

勾股定理解题举例

<正>勾股定理是平面几何中的重要定理,应用十分广泛,现在举例说明怎样应用这个定理解题.1.直接用正定理:当命题的结论中有线段的平方时,常直接正用定理.2.巧用逆定理:逆定理时判定三角形的重要方法应注意应用.3.注意运用勾股的变式解题:在直角三角     

正方形与勾股定理

<正>我们知道,在平面几何中,古希腊大数学家"欧几里得对于"勾股定理"的最初的证明方法是:利用给定的"直角三角形"的各边的长,在直角三角形的外部作"正方形",同时并巧妙地利用了"面积法",证明了最著名的"勾股定理".欧几里得——欧氏的经典的证明方法和具体过程如下:如图1,已知直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AB=c,AC=b,BC=a.其中在直角三角形ABC的外部,作出的正方形ABDE的边长为c,正方形AFJC的边长为b,     

第一章 勾股定理

亲爱的同学们，新课程与你为伴已经有一年的时间．在其中，你了解了很多的数学知识，学会了一些数学技能，体味了数学学习的过程，掌握了一定的学习方法，在学习数学的各方面都有了长足的进步．     

勾股定理古算题

勾股定理在西方文献中被称为毕达哥拉斯(Pythagoras,古希腊)定理.在我国《周髀算经》中记载,西周开国时期周公与大夫商高讨论勾股测量的对话,商高答周公问时提到“故折矩以为勾广三,股修四,径隅五”,这是勾股定理的特例;另一处叙述周公后人荣方与陈子的对话中,则包含了勾股定理的一般     

“勾股定理”的历史

<正>勾股定理,西方数学史家一般称之为毕达哥拉斯定理(Pythagorean theorem),被数学史家誉为"初等几何学的拱心石",可以认为它是初等数学中最重要的基本定理之一.数学史作为数学教学以及数学教材编写的重要资源,其教育价值得到越来越多的学者及数学教师的     

勾股定理与最值

最值问题是初中数学的重点内容之一,也是近年来中考的热点问题,那么,对于最值问题我们应该怎样看待呢?思路一把实际问题转化成为勾股定理这一数学模型例1如图1,公路MN和公路PQ在点P交汇,且∠OPN=30°,点A处有一所学校,AP=160m,假设拖拉机在公路MN上沿PN方向     

勾股定理致错归类

<正>勾股定理是直角三角形的重要性质,它反映了直角三角形三边长的内在联系,其应用十分广泛.但一些同学在运用勾股定理解题时,常因忽视定理的存在或隐含条件,受思维定势等的影响而导致错误.现把常见错误归类如下,以期引起同学们的注意.     

利用圆证明勾股定理

勾股定理是八年级下册的内容,在课本中给出了几种几何面积证法的证明,现在利用圆的性质给出若干证明.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,求证AB2=AC2+BC2.证法一利用切割线定理证明     

新证勾股定理逆定理

若三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.这便是著名的勾股定理逆定理.北师大版初中义务教育数学教科书第九册第17页介绍对此定理的经典证明:已知:如图1,在△ABC中,AB2 AC2=BC2.求证:△ABC是直角三角形.图1证明:作△A′B′C′使∠A′=90°,A′B′=AB     

勾股定理的一个简洁证明

文[1]、[2]和[3]分别给出了勾股定理的三个简短证明,本文再给出一个更为简短而且整洁的证明.如图,Rt△ABC中,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C所对应的边,∠C=90°.