多元多项式函数的极值

多元函数求极值的方法已经众所周知,然而对于一些结构较为复杂的函数,无法求得它的极值,甚至一些驻点都无法得到.本文系统地讨论了多元多项式函数的极值求法,包括自由极值和条件极值.可以看到关键在于解多元多项式方程组,由于比较关心它们的符号解,因此使用了Maple软件,它对于计算帮助很大.     

多元函数极值的求法及其应用

在实际问题中,往往会遇到多元函数的最大值、最小值问题.多元函数的最大值、最小值问题与极大值、极小值有密切联系.求多元函数极值,一般可以利用偏导数来解决.与一元函数相类似,可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.但是由于自变量个数的增加,应特别注意概念中的一些变化和计算复杂性.这里主要讨论二元函数,对于二元以上的函数极值可以类似加以解决.     

关于多元函数极值存在的充分条件

<正> 多元函数极值问题是“高等数学”中一个最基本的,也是最重要的内容。随着电子计算机的日益普及与发展,这一问题在工程技术的各个部门已应用得越来越广泛。而现行的“高等数学”教材中极值的定义及充分条件都比较苟刻。本文绘出了比现行教材条件更弱的极值定义及在更弱的条件下得出了存在极值的充分条件。     

有关多元函数极值的一个反例

众所周知 ,对一元函数 ,下列命题成立 :若 f ( x)在开区间上可导 ,并在唯一的驻点处取得极值 ,则必在该驻点处取得最值 .但类似的命题对多元函数不成立 .下面试举一反例说明之 .例　函数 f( x,y) =π 1 + x2 - x( y+ siny) + y2 在全平面上有唯一的驻点 ( 0 ,0 ) ,且 f ( 0 ,0 )是极小值 ,但 f ( 0 ,0 )不是 f ( x,y)的最小值 .证　 1 .设 φ( y) =y+ siny,易见 φ( y)是严格递增奇函数 .先证明当 | y| <π时 ,φ( y)满足不等式 φ2 + φ′2 <π2 .事实上 ,当 0 0 ,所以偶函…     

谈谈关于多元函数极值的一个错误认识

分析了数学分析教材中关于最小二乘法处理过程中的一个常见错误,说明了多元函数的惟一极值点不一定是最小值点     

多元函数极值充分条件证明的一元方法

从多元函数极值的定义出发,用一元函数的方法给出了二元和三元函数极值判定的充分条件的证明,其中只涉及了偏导数的求法.相对于多元函数极值充分条件证明的多元泰勒公式方法,本文所用的方法更为直接而且简明.     

用降幂不等式求多元函数的极值

在数学最优化问题中,拉格朗日乘数法是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数极值的方法.这种方法将一个有n个变量与k个约束条件的最优化问题转换为一个有n+k个变量的方程组的极值问题,其变量不受任何约束.这种方法引入了一种新的标量未知数,即拉格朗日乘数.但是不同于拉格朗日乘数法可应用于所有情况,此初等方法仅在某些特殊条件下使用.     

多元函数取局部极值的一个充分条件

约定 :设 f ( x1,x2 ,… ,xn)是凸区域 D( D Rn)上具有连续偏导数的 n元函数 ,若方程组 f′xi= 0 ( i=1 ,2 ,… ,n)有实数解 P0 ( x10 ,x2 0 ,… ,xn0 ) ,则称 P0 是 f的一个稳定点。定理　设 f ( x1,x2 ,… ,xn)是凸区域 D上具有二阶连续偏导数的 n元函数 ,P0 ( x10 ,x2 0 ,… ,x0n)是它的一个稳定点。对任意点 P( x1,x2 ,… ,xn) ,记 aij =f″xixj( P) ,矩阵 A =( aij) =a11a12 … a1na2 1a2 2 … a2 n…………a2 1a2 2 … a2 n。若矩阵 A在稳定点 P0 的某邻域上恒是正定或半正定的 (负定或半负定的 ) ,那么 f在点 P0 处取局部极小 …     

具有极值亏量和的亚纯函数

设w=f(z)是一个下级为μ的亚纯函数,z=g(w)是f(z)的反函数。记g(w)的判别直接超越奇点个数为l,f(z)的亏值个数为p,其中l′个亏值同时是g(w)的直接超越奇点。文中证明了如下结果: 假设f(z)的亏量总和 △(f)=δ(a,f),δ(a,f)>0等于2,则有p-l′+l≤2μ。     

多元函数极值判别法的一个简单证明

直接利用一阶偏导数讨论多元函数的极值问题．通过将多元函数方向导数的定义与连续函数的性质相结合,得到多元函数极值存在的一个充分条件．实例说明此判别法的运用及值得注意的相关必要条件．     

多元函数极值的一阶微分判别法

在W.FUllks所著的《高等微积分》一书中,给出了下述的二阶微分判别法,它是为了研究二元或更多元函数的极值问题而提出来的。 定理1 设函数f是R~n中的一个实函数,它在以点a为中心的某邻域D内有连续的二阶偏导数,而点a是函数f的一个驻点。则函数f在点a处有     

一类具有极值亏量和的亚纯函数

本文结合亚纯函数的导函数，得到一个更一般的亏量和不等式，并对其极值情形进行了讨论，在更广泛的条件下，证明了相应的Ｆ．Ｎｅｖａｎｌｉｎｎａ猜测．     

一类多元函数极值的快速判别方法及应用

本文给出一类多元函数—三元函数是否存在极值的快速判别方法 ,并讨论它在实际问题中的应用 .     

关于求多元对称函数极值的一个磨光法

文［１］给出了求三元对称函数最值的一个磨光法，本文将之推广到ｎ元对称连续函数的情形．一个对称集合［２］Ｄ同时又是凸的，则称之为对称凸域．当Ｒｎ中的超平面ｎｉ＝１ｘｉ＝ｍ上的点集Ｄ是对称凸的，则称Ｄ为超平面ｎｉ＝１ｘｉ＝ｍ上的对称凸域（其中ｍ为常数...     

多元复合函数求导的补充中间变量方法

多元复合函数求偏导数的有关内容是一个难点.尤其对一些复合的形式不符合标准形式的复合函数,有些学生在求导时容易出错.下边仅就几种常见的情况,介绍一种“补充中间变量法”,来帮助同学们解决这个困难,     

具有缺项和负系数的多元函数

Let P_k(p, A, B) be the class of functions (?) k ≥2 analytic in the unit disc E={z:|z|<1} and satisfying the condition |(zf′(z)/f(z)-p)/(Ap-Bzf(z)/f(z))|<1. for z∈E and -1≤Bk(p, A, B) under the assumption - 1 ≤B< 0 .     

多元函数的极值、条件极值和最值的关系

多元函数的极值、条件极值和最值的关系叶克芳（江苏吴县电视大学）我们通常所能看到的有关微积分和高等数学的教科书和参考书中，在讲到多元函数的微分法的应用方面，都列举了多元函数的极值、条件极值和最值的有关理论和例题，至于三者的关系很少谈起，本文就此问题浅谈...     

多元函数极值原理在某力学问题中的应用

利用力学中的最小势能原理建立了任意有限个移动荷载在简支梁上平行移动时,简支梁的挠度方程解析表达式;利用多元函数的极值原理给出了确定简支梁绝对最大挠度最不利位置的解析判别公式.