课程思政理念在《常微分方程》教学改革中的应用

本文研究《常微分方程》课程教学改革过程中课程思政理念的应用.基于课程原有的知识体系,从哲学层面思考课程内容和研究方法,通过分析课程中蕴含的马克思主义观点和方法进行教学、微分方程建模教学、课程发展史和重要科学家生平事迹教学,培养学生的数学素养和科学精神,增强学生的民族自信和家国情怀,激励学生刻苦钻研、勇攀科学高峰.     

关于求常系数非齐次线性微分方程特解的一点注记

在常微分方程教材中，求常系数非齐次线性微分方程y^(a) a1y^(n-1) …any=F(x) (*)的特解，一般都考虑非齐次项F(x)的两大类型：     

常微分方程课程分层教学的探索与实践

随着高校扩招,高等教育由精英教育转化为大众教育,由于学生的基础和水平参差不齐,传统的"一刀切"教学模式很难适应现在的高等教育.尝试将分层教学的理论应用到常微分方程课程的教学实践中,提高了学生学习的兴趣和自主学习的能力,使不同层次的学生在学习的有效性、数学应用能力等方面都有不同程度的提高.     

一道常微分方程解的商榷

黄文纲在《中国科学》文[1]中，讨论常微分方程：之X=X’=0的稳定性，给出方程的解：现将其解简化为：此时持解形式：代入方程（1），应有等式：但等式（5）不成立。即文［1］所给方程（1）的解（2）有误。现利用文［2］，给出方程（1）的解。在方程（1）中，此时，户一Zt一万，q—t’则＿、H＿。，＿，、A。…．＿＿．现设函数B（t）一千（A为常数），则现取B（t）＝Al，则（豆）通解为：一道常微分方程解的商榷@赵临龙$陕西安康师专@雷春来$陕西安康师专[1]黄文纲.方程x(t)=p(t)x(t) q(t)x(t)=0的稳定性。中国科学(A).1986(4):359～36…     

中立型泛函微分方程与常微分方程解的渐近关系

本文讨论中立型泛函微分方程d/(dt)D(t,x_t)=A(t)x(t)+f(t,x_i)与常微分方程 (?)(t)=A(t)y(t)解的渐近等价性,以及中立型泛函微分方程d/(dt)D(t,x_t)=Ax(t)+f(t,x_i)与常系数常微分方程 (?)(t)=Ay(t)解的渐近增长关系。     

"1"在常微分方程解题中的应用

有些可积类型的常微分方程求解问题 ,在具体求解过程中需要一些技巧。下面是我做题的一点体会——“1”的妙用。( 1 )“1”的加减法例 1　求解 dydx=x+y解　该题不能用分离变量来做 ,我们在等式两边都加上“1”,得d( x +y)dx =x +y +1下面就很自然了 :　　　　　　　　　　ln|x+y+1 |=x+c1　　　　　　　　　　x+y+1 =cex　　　　　　　　　　y=cex-x-1( 2 )“1”的除法利用函数与其反函数的导数之间的关系dydx=1dxdy　　例 2　试求解dydx=1xcosy +sin2 y　　解　化为一阶线性方程dxdy=xcosy +sin2 yx =e∫cosydy( ∫sin2 ye∫- cosydydy +c…     

Banach空间常微分方程的解

在[4]中,S.V.Du和V.Lakshmikantham利用紧型条件证明了必存在单调序列{v_n}和{w_n},一致收敛于Banach空间常微分方程初值问题u′=f(t,u),u(0)=u_0的最大解和最小解。在本文中我们证明了,如果Banach空间是弱序列完备的,则[4]中的紧型条件(这是[4]中的一个主要条件)是可以删掉的。我们还对Banach空间周期边值问题证明了类似的结果。     

常微分方程数值方法稳定性

本文针对常微分方程数值方法稳定性问题，证明了一般方法的绝对稳定性定理，同时也指出了绝对稳定性条件的局限性。为了克服这种局限性，本文给出了Ｊｏｒｄａｎ稳定性的概念并建立了一个相应的判别定理。     

常系数非齐次线性微分方程特解的教学探讨

利用待定系数法和比较系数法求解一类高阶常系数非齐次线性常微分方程的特解,得到求解该类问题的一般公式,并给出算例说明其应用.     

Hecke Operators on Linear Ordinary Differential Equations

We construct Hecke operators acting on the space of certain linear ordinary differential equations, and describe a Hermitian inner product on the space of such differential equations. We also determine the adjoint of the Hecke operator with respect to this inner product, and prove that the space of ordinary differential equations associated to an automorphic form for a certain discrete subgroup of SL(2, R) has a basis consisting of common eigenvectors of a class of Hecke operators.     

一类非线性常微分方程的非平凡解

本文论讨了三个问题：①二阶非线性微分方程的初值问题；②运用非线性算子证明了非平凡解的存在性和唯一性；③给出了一个非负非平凡解的估计式．     

求解刚性常微分方程的并行广义Rosenbrock方法

本文构造了求解刚性常微分方程的并行广义Rosenbrock方法（PEROWs），分析了方法的收敛性和数值稳定性。通过用Powell方法优化方法的稳定域，构造了二级四阶并行格式PEROW4，并证明该方法是A－稳定的。新方法比同级的并行Rosenbrock方法MPROW3及PRM3均高一阶，因而在计算精度上处于优势。此外，PEROW4能使得各处理机上的负载基本均衡，从而达到非常理想的加速比和并行效率。     

抽象空间常微分方程弱解的存在和唯一性

本文研究了抽象空间中初值问题ｘ′＝ ｆ（ｔ,ｘ）,ｘ（ｔ０）＝ ｘ０ 的弱解存在和唯一性,并推广了文［１］、［２］中的有关结果     

线性常微分方程(组)的算子方法介绍及其研究展望

综述了线性微分方程(组)的算子方法,侧重地介绍了作者所发展的一系列方法和重要的结果与解公式.提出了算子方法研究的几点展望.     

Laguerre Tau Methods for Solving Higher-Order Ordinary Differential Equations

In this paper, we present two numerical methods for solving higher-order differential equations using the Laguerre Tau method. These methods generate linear systems, which can be solved by Gauss elimination with maximal partial pivoting strategy. Results of some numerical experiments and theoretical analysis are presented.     

A Priori Estimates for Solutions of Ordinary Differential Equations of Emden--Fowler Type

Mathematical Notes -     

一阶微分方程数值解的一种误差估计方法

针对于微分方程数值解,介绍了一种新的误差估计方法.方法证实了伪谱方法具有精度高速度快的优点,进而引出了修正的伪谱方法.     

几类三阶非线性常微分方程组边值问题正解的存在性

研究几类二阶非线性常微分方程组的边值问题,在合适的条件下,利用锥拉伸不动点定理获得了其正解的存在性.     

On Differential Equations with Retarded Argument

We study the limit properties of solutions to one class of systems of differential equations as the number of equations and some parameters tend to infinity. We establish a close connection between solutions to these systems and differential equations with retarded argument. Our convergence theorems provide a new method for approximation of solutions to nonlinear differential equations with retarded argument.Original Russian Text Copyright © 2005 Demidenko G. V. and Likhoshvai V. A.The authors were supported by the Russian Foundation for Basic Research (Grants 03-01-00328, 03-04-48506, 03-04-48829, 03-07-96833, 04-01-00458, 05-04-49068, and 05-07-90274), the Integration Grant of the Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences (No. 119 and 148), the Program Development of the Scientific Potential of Higher School of the Ministry for Education of the Russian Federation (Grant 8273), and NSF:FIBR (Grant EF-0330786).__________Translated from Sibirskii Matematicheskii Zhurnal, Vol. 46, No. 3, pp. 538–552, May–June, 2005.