S-拟正规与超可解

若有限群G的每个极小子群在G中正规,我们就称G为PN-群。Gaschutz和Ito([1],定理Ⅳ5.7)证明了PN-群的导群一定是p-幕零的,其中p是奇素数。Buckley在[2]中更进一步证明了奇数阶的PN-群是超可解的。Waall[3]中的例子表明偶数阶PN-群不必是超     

一类可解T-群

有限群 G 叫作 T-群,如果在 G 中正规关系是传递的.有限群 G 叫作 Et-群,如果 G 的各个子群在 G 中是正规的或自我正规化的.Et-群是可解 T-群.本文分为四节.第一节,考察 Et-群的结构和性质,并给出 Et-群的两个判定定理.第二节,确定一切极小非 Et-群.第三节,确定二极大子群都是 Et-群的有限非可解群.最后一节,给出 PN-群的一个类似.PN-群是指每个极小子群都正规的有限群.     

关于某些子群的共轭置换性的研究

设G是一个有限群,p是|G|的一个素因子,P是G的一个Sylow p-子群,A和B是G的两个子群.当p阶子群在G中共轭置换且可补时,获得了P的正规性并描述了P的结构.这表明当G的极小子群均在G中共轭置换且可补时,G是幂零的.特别地,当p是G的阶的最小素因子时,证明了G是p-可分解的.在此基础上,把上述结论推广到G=AB并且A∪B中的极小子群具有相应性质时的情形.除此之外,还证明了当G有一个循环极大子群是F(G)-共轭置换时G的超可解性.     

“具有幂零局部子群的有限群”一文的注记

称有限群$G$为一个PN-群若 $G$非幂零群,且对$G$的每一个$p$-子群$P$, 或者$P$是$G$的正规子群, 或者$P \subseteq Z_\infty(G)$, 或者$N_G(P)$是幂零群, $\forall p \in \pi(G)$. 本文证明了PN-群是亚幂零群. 特别地, PN-群是可解的 且给出了PN-群结构定理的一个初等的、直观的、简洁的证明.     

F-S-可补的子群对有限群结构的影响

设F是一个群系.群G的一个子群H在G中F-S-可补,如果存在G的子群K,使得G=HK且K/K∩HG∈F,其中HG表示G包含在H中的最大的正规子群.本文利用群系理论研究子群的F-S-可补性对有限群结构的影响,得到如下结论:设F是子群闭的局部群系,G是有限群且GF是可解的.则G∈F的充要条件是下列条件之一:(1)G存在正规子群N使得G/N∈F且N的极小子群及4阶循环子群(p=2)均在G中F-S-可补.(2)G存在正规子群N使得G/N∈F,N的4阶循环子群在G中有F-S-补且N的极小子群皆包含在Z∞F(G)中.应用这些结论,可以得到一些推论,其中包括已知的相关结果.     

关于p-超可解群

本文讨论p-超可解群的几个特征性质.主要是两个.一是利用p-局部子群刻画p-超可解性,它与关于超可解群的Baer的定理有联系,而后者在超可解群理论中占有重要地位,这在[2]中可看到.二是用两个特征子群的p-幂零性来刻画p-起可解性.本文的群都指有限群. 以下由R.Baer表述的引理具有基本的重要性. 引理1 设L是群G的极小正规子群,p||L.如果(G/C_G(L))’与(G/C_G(L))~(p-1)都是p-群,则|L|=p.     

有限群的素数幂阶S-拟正规嵌入子群

设G为有限p-可解群,其中p为|G|的奇素因子.若P为G的Sylow p-子群且最小生成系含d个元素.考虑集合M_d(P)={P_1,…,P_d},其中P_1,…,P_d是P的极大子群且满足(?)P_i=φ(P).证明了若M_d(P)中每个元在G中是S-拟正规嵌入的,则G为p-超可解群.作为应用,还得到了一些进一步的结论.     

Sylow子群的极大子群次正规的群

<正> S.Srinivasan证明若G的每个Sylow子群的极大子群皆在G中正规,则G超可解.本文从三个方面继续研究了Sylow子群的性质对群结构的影响.§1证明若存在G的正规子群N使G/N超可解且N的Sylow子群的极大子群在G中S拟正规(sqn),则G超可解.§2研究了Sylow子群的极大子群皆次正规的群G,给出了G为非超可解群(超可     

有限群的素数幂阶S-拟正规嵌人子群

设G为有限p-可解群,其中p为|G|的奇素因子.若P为G的Sylow p-子群且最小生成系含d个元素.考虑集合Md(P)={P1,…,Pd}其中P1,…,Pd是P的极大子群且满足d∩i=1Pi=Φ(P).证明了若Md(P)中每个元在G中是S-拟正规嵌入的,则G为p-超可解群.作为应用,还得到了一些进一步的结论.     

群分解为子群的Wielandt与Baer结果

一)H.wielandt 在文献[1]中证明了:有三个指数两两互素的可解子群的有限群必为可解群。本文将《可解》分别改为《幂零》,《交换》,《循环》,《有西洛塔》诸情况后,亦得到类似的结果。但含有三个指数两两互素的超可解子群的有限群除可能为超可解群外,还可能为每西洛子群之换位子群为正规子群的可解群。还证明了含有四个指数两两互素的超可解子群的有限群必为超可解群。     

有限群为超可解的充要条件

本文证明了有限群为超可解的两个充要条件,即:设 P_r 为有限群 G 之阶的最大素因数,S_r 为G 之正规 Sylew p_r—子群,则当 G/S_r 为超可解,以及 G 中存在一个指数为 P_r 的超可解子群K 时,那么 G 是超可解的;另外,又证明了把 K 为超可解这一条改为它有一切阶 p_r~i(i=1,2,…,α_r-1)的正规子群时,仍可得到 G 是超可解的。     

有限群为超可解群的充要条件

用置换条件刻画有限可解群的超可解性已有大量结果,本文的目的是给出另外一些有限可解群为超可解的充要条件。其主要结果是: 1.设G是满足置换条件的有限可解群,则G是超可解群当且仅当如下条件之一成立。 1)G的2-Sylow子群G_2的换位子群G_2′G. 2)G有正规2-补。 2.设G是有限可解群,则G超可解当且仅当G和G′均满足置换条件.     

极大子群同阶类类数不大于2的有限群

本文证明了如下结果 1.设G是恰含两个极大子群同阶类的有限单群,则G(?)PSL(2,7)。 2.设G是有限群,若G中极大子群同阶类类数ι≤2,则|π(G)|≤3。且 (1) ι=1当且仅当G为p-群。 (2) ι=2时,有 (a) 若G可解,则|π(G)|=2; (b) 若G不可解,则π(G)={2,3,7},且其中M[N]为正规子群N与子群M的半直积,     

具有幂零局部子群的有限群

一个有限非幂零群G称为PN-群,如果NC(P)是幂零的,对于每个素数p和每个满足PZ∞(G)的非正规子群p-子群P.本文将给出可解PN-群的结构和一些特征定理.     

具有幂零局部子群的有限群

一个有限非幂零群G称为PN-群,如果NG(P)是幂零的,对于每个素数p和每个满足P(∈)Z∞(G)的非正规子群p-子群P.本文将给出可解PN-群的结构和一些特征定理.     

有限超可解群的几个特征性质(英文)

这篇短文的第一部分给出Hupperl定理:“每极大子群有质数指数的有限群为超可解”的一个不用表示论及Gasohiilz定理的证明。该证明得自 定理1 若有限群G有p~α阶极小正规子群N使G/N为超可解,则或者1)G有极大子群M使G=MN,M∩N=E, 或者2)G有质数阶正规子群。. 在可解时Huppert定理推广为: 定理2 设G为有限可解群。于是G为超可解当且仅当每极大子群在G内的指数不含平方因子。 单群A_5说明本定理的假设“G可解”是必要的。 本文第二部分是Molain定理的推广: 定理3 设h=|H|的最小质因子为p_h,最大质因子为q_h,若有限群G的每子群H对其阶h恒存在指数为p_h及q_h的子群,则G为超可解。 更广泛的结论为: 定理4 有限群G为超可解当且仅当存在G的两个子群链 G=G_0>G_1>G_2>…>G_8>E, G=H_0>H_1>H_2>…>H_8>E,使指数列[G_0:G_1],[G_1:G_2],…,[G_8:E]为从小到大的质数,而[H_0:H_1],[H_1:H_2],…,[H_8:E]为从大到小的质数。     

非正规极大子群同阶类类数=2的有限群

本文利用有限单群分类定理证明了下述定理:如果有限非可解群G恰有2个非正规极大子群同阶类,那么G/S(G)?PSL(2,7),这里S(G)表示G的最大可解正规子群。     

两个正规p-超可解子群的积

本文研究了两个正规的p-超可解子群的积构成的极小非P-超可解群的结构的问题.利用有限群论和群类论的一些基本方法,获得了两个正规的p-超可解子群的积仍为P-超可解群的一些充分条件,并推广了文[1]中关于超可解群的情况.     

六点图中的根式不可解图

本文对六点图进行了研究,文献[2]中已经证明了具有根式不可解的特征多项式的最小图是六点图.本文将确定六点图中所有根式不可解图.为了证明这一结果,我们只需要[2]中简单而为大家熟知的工具.定理1 设G是有限群,且|G|=p~3q~t,其中p,q为素数(p,q)=1,则G是可解群.证明见[1]第Ⅱ章§7定理2(p.236).引理1 群PGL_2(5)及PSL_2(5)不可解.     

S-拟正规嵌入子群

群G的一个子群H称为在G中S-拟正规嵌入的,如果对H阶中的每一个素因子p,H的Sylowp-子群也是G的某个S-拟正规子群的Sylowp-子群.利用子群的S-拟正规嵌入性给出了群为p-幂零群及超可解群的一些特征.