锐角三角形中一个不等式的加强

在锐角三角形中，有一个大家十分熟悉的结论，那就是：锐角△ABC中， sinA＋sinB＋sinC〉cosA＋cosB＋cosC． 下面给出它的一个加强式．     

关于三角形中线的一个不等式链

关于三角形三中线和与三边长关系，笔者最近又得到一个有趣的不等式，即以下定理设△ABC三边长为BC＝a，CA＝b，AB＝c，其对应边上的中线分别为m_a、m_b、m_c，则当且仅当△ABC为正三角形时，（1）、（2）两式取多号（以上Σ表示循环和，下同）．证明先证（1）式．根据三角形中线公式，很容易得到以下恒等式：（这里△表示△ABC的面积）．由此得到类似还有两式．于是有由此可知，要证（1）式，只需证因此④式成立，（）式获证，由证明中易知，当且仅当凸＊＊C为正三角形时（）式取等号．这时顺便指出，上述①式在证明三角形中线不等…     

三角形中线的向量性质

1．三角形中线的向量性质如图1，在△ABC中，BC边上的中线AM有如下熟知的向量性质：     

一个三角形不等式

定理设a、b、c为△ABC三边之长，则证明记s、R、r为△ABC的半周长、外接国半径与内切圆半径，由等及熟知径与内切圆半径，由等及熟知又由恒等式：所以①式等价于4Rs2（2R 2r）因为后一式为欧拉不等式．故由Gerretsen不等式所以①式成立．易知取等号的充要条件为△ABC是正三角形．一个三角形不等式@万锦文$湖北省咸宁鄂南高中!437100     

解三角形问题的探究

在学习解三角形一章中,一次习题课遇到如下问题：在△ABC中,设a3＋b3-c/a＋b-c=c2,且sinAsinB=3/4,试判断三角形的形状．     

高二年级期末复习自测题

选择题： 1．已知集合S={a,b,c）中的三个元素可构成△ABC的三条边长,那么△ABC一定不是（ ） （A）锐角三角形． （B）直角三角形． （C）钝角三角形． （D）等腰三角形．     

一道三角函数题的巧解

题目在△ABC中,若sin^2A＋sin^2B＋sin^2C〈2,则△ABC必定是 （ ） （A）直角三角形． （B）等腰三角形． （C）锐角三角形． （D）钝角三角形．     

三角形中线长度计算面积公式的简证

文[1]利用余弦定理及三角形面积公式推导出三角形中线长度计算面积公式：如果m，n，P分别是△ABC三边上的中线，那么     

透视一道高观点的高考题

2006年高考福建卷（理）第16题为： 如图1，连接△ABC的各边中点得到一个新的△A1B1C1，又连接△A1B1C1各边的中点得到△A2B2C2，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，…，这一系列三角形趋向于一个点M，已知A（0，0），B（3，0），C（2，2），则点M的坐标是__．     

对一道江苏高考题的探究

2008年高考江苏卷的第13题的题目是： 满足AB=2，AC=√2BC的三角形ABC的面积的最大值是——．     

源于一个三角恒等式的几个三角问题

在锐角三角形中，有同学们熟悉的一个不等式：在锐角△ABC中，有     

会改变形状的三角形

问题已知ABC中，acosA=bcosB，试判断ABC的形状？解法1由正弦定理：因此，ABC为等腰三角形．解法2由余弦定理：两边同乘以2abc得因此，ABC为直角三角形．纵观上述解法似乎均无懈可击，难道三角形会变形吗？它到底是什么形状呢？错误分析：解法1由sin2A=sin2B得到的应该是2A=2B或2A＋2B=π，即A=B或A＋B=解法2％式两边约去（a’一hi）ffi错6的，清到的阶该是a’一b’一0或c。一／＋b。因此正确结论是：AABC是着腰三角形或喜角三角形．会改变形状的三角形@张天宇$山东广饶县第一中学!257300…     

三角形的一个性质的证明及拓广

文[1]给出了三角形的一个简捷的性质： 已知ΔABC及其内部一点P，若λ1PA＋λ2PB＋λ3 PC=0，λ1，λ2，λ3都是大于0的实数，则△PBC，△PAC，△PAB的面积之比为λ1：λ2：λ3．     

一道竞赛题的再证

题目：求证：在任意三角形ABC中，都有cosA/1-cosB·cosC＋cosB/1-cosA·cosC＋cosC/1-cosA·cosB≤2. 文[1]用一个不等式和恒等式巧妙证明了这个不等式，但此方法不易想到，笔者经过探索，找到了一种直截了当的证法．     

一道竞赛试题的多种解法

2011年浙江省高中数学竞赛试题第21题为:在锐角三角形ABC中,∠A=π3,设在其内部同时满足PA≤PB和PA≤PC的点P的全体形成的区域G的面积为三角形ABC面积的1/3.证明:三角形为等边三角形     

三角形中线长度计算面积的公式的简证

文[1]给出了利用三角形中线长计算其面积的公式：如果m，n，p分别是△ABC三边上的中线。则S△ABC=√（m＋n＋p）（m＋n-p）（m＋p-n）（n＋p-m）/3（1）文[1]给出的证明较为复杂，本文给出一种简便的证法．     

用坐标法求解三角形一例

题目 已知ΔABC中,AB=2,AC=√2BC,求三角形面积SABC的最大值．     

存在面积为360的本原海伦三角形

文［１］曾证明有关本原海伦三角形若干定理，其中一个定理为本原海伦三角形的面积Ｓ是６的倍数．后又引文［２］指出：比如，不存在面积为３６０的本原海伦三角形．实际上，这个论断是错的，本文给出反例，找出了存在面积为３６０的本原海伦三角形．下面通过构造出两类海...     

三角形射影定理在解题中的应用

在△ABC中,由余弦定理有cosB=a^2＋c^2-b^2/2ac,cosC=a^2＋b^2-c^2/2ab,得bcosC＋ccosB=a,同理可得ccosA＋acosC—b,acosB＋bcosA=c,我们称以上三式为三角形射影定理,本文举例说明三角形射影定理在解题中的应用．     

值得重视的一个定理

在△ABC中,三条边口、b、C所对的角分别是A、B、C,我们有：a=bcosC＋ccosB。b=cosA＋acosC,C=acosB＋bcosA．这就是解三角形中的射影定理,它与正弦定理、余弦定理并称为三角形中的三大定理．这三条定理之间是等价的（即可互相推出）,而射影定理在解决问题中也有其独到的优势．