数学奥林匹克讲与练(Ⅸ)

例题讲解65．设O是凸多边形A1A2…An内部的一点，已知O与凸多边形的任意两个顶点构成等腰三角形，求证:O对到凸多边形每个顶点的距离均相等．证明只要证明O到任意两个相邻顶点的距离都相等，不妨考察顶点A1、A2，我们证明OA1＝OA2，注意在等腰三角形中若有一角为钝角或直角，则央这角的两边是等腰三角形的两腰．由已知，△OA1A2是等腰三角形，若A1OA2≥90°，则有OA1＝OA2；若△A1OA2＜90°，我们过O点作l1OA1，l2OA2，则l1、l2相交于O且将平面划分为四部分（图1）．若在③中有凸多边形的顶点Ak，则易知A1OAk、A2OAk均不小…     

两圆相切的一个有趣性质

性质 如图1，若圆O1与圆O2外切于点G．四边形ABCD内接于圆O1，AD、BC分别与圆O2切于点E、F．     

数学问题解答

1636 四边形ABCD内接于⊙O，设四边形的一组对边AB，CD相交于P，记△ABC，△BCD的内心分别为O1，O2，直线O1O2与肚，CD分别交于E，F．     

太阳直射点纬度的数学推导和分析

1利用黄经推导太阳直射点纬度δ 如图1，O为地球，S为太阳，δ为太阳直射点纬度，δ=＜SOC；λ是黄O黄经度（太阳在黄道上由春分点γ自西向东运行到S点所转过的角度，即么＜SOA）；Oγ是黄道平面和天赤道平面的交线（棱），[第一段]     

例谈复习课中分类讨论思想的有效渗透——以“圆”的复习课为例

<正>1 在“点与圆”的位置关系中渗透分类讨论思想例1 若圆O所在的平面内有一点P与圆O上的点的最大距离是m,最小距离是n(m>n),那么圆O的半径是___.师：在同一平面内，点P与一个圆可能存在哪些位置关系?问题中的点P与圆O可能存在哪些位置关系?为什么?生：点与圆的位置关系可能有三种——点在圆内，点在圆上，点在圆外.因为题中并没有指明点P在圆的哪个位置，只是点P与圆O同处一个平面，所以点P与圆O也可能存在点P在圆O内、     

一道中考题的解题思路分析

题目(2011黄石)已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,点O1在⊙O2上,C为⊙O2上一点(不与A,B,O1重合),直线CB与⊙O1交于另一点D.(1)如图1,若AC是⊙O2的直径,求证:AC=CD;(2)如图2,若C是⊙O1外一点,求证:O1C⊥AD;     

一道高中联赛题的几种新证法

1题目如图1，已知两个半径不等的圆O1与圆O2相交于M、N两点，且圆O1与圆O2内切于S、T两点，求证：OM上MN的充要条件是S、N、T三点共线（满分50分，命题组供题）这是1997年全国高中联赛第二试中第一大题，命题组为改卷提供的参考答案只有一种证法【’］．其实，平面几何问题，常无定法，从不同角度去思考，往往可以发现多种途径，有的还是很简捷的证法．本文除了给出几种不同于上述参考答案的新证法以外，还用根轴的知识给出了一个最简证法．2充分性证明的简化在证充分性时，需要先证OO．NOZ是平行四边形原证法是利用面OISN，凸OZ…     

例谈体积问题的求解策略

例题（高中数学奥林匹克竞赛教程）已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，O为底面ABCD的中心，点M、N分别为棱CC1、A1D1的中点，求四面体O—MNB1的体积．     

一个求解P_*(k)阵线性互补问题的渐近O((k 1)n~3L)宽域路径跟踪算法

本文通过使用高界校正技术，给出了一个求解P*(k)阵线性互补问题的宽域路径跟踪算法，其迭代复杂性为渐近O((k＋1)L)．通过使用秩-1校正技术，其每步的计算复杂性从常规的O(n3)约减到O(n2.5)；因此，算法总的计算复杂性为渐近O((k＋1)n3L)．     

结构式x_1y_2-x_2y_1的几何意义及其应用

1定理及推论定理设直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（O，0）、A（x1，y1）、B（x2，y2），且点O、H、B按适时针方向排列，记∠AOB=θ（下同），那么证明在直角坐标系中，以坐标原点O为顶点，射线Ox为始过，OA、OB为终边的角分别记为θ1、θ2，不失一般性，设，记由上述证明过程可见，若点O、A、B按顺时针方向排列，则有特别地，当点O、A、B在同一直线上时，即当θ=0或θ=π时，由三点共线易得x1y2-x2y1=0，故仍然成立．于是有推论如果直角坐标系中，任意三点O、2若干导出结果上述定理与推论不仅仅揭示了直角坐标系中三角形…     

三角形中线长度计算面积的公式

如果m，n，P分别是△月刀C三边上的中线，那么S△戒=推导过程如下:如图1，设月E，月F，(】〕是△ABC三边上的中线，O是重心，AE气m，BF二”，CD二P.延长OF至H使月阿二C晒，.则四边形AOCI了是平行四边形.由三角形中线性质可得:AO=毕，Bo二琴，田二琴.oH=ZoF J JJ BE一Zx要一琴，AH一印二馨J JJ图1三角形在△AOH中，由余弦定理可得:哪艺O片H AOZ AHZ一OHZ (警)2 (譬)2一(誓)2 2m 3业3 ZAO·八H_、Zm‘一Zb =mZ PZ一nZ ZmP si矛艺O叭H=1一cc巧2匕O八H=1一(m， P‘一，’)，4m2P2“些匹鲤气黯粤‘丝~‘:0<匕O叭H<…     

圆内接闭折线重心的一个性质及应用

1、定理及引理 圆内接闭折线的重心具有下面的性质：定理设闭折线A1A2…AnA1内接于圆O，其重心为G，AiG的延长线交圆O于点Bi，     

一道高考试题的源与流

我们先看2007年江西卷第15题：如图1，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB^→，AC^→=n，则m＋n的值为____．     

一道女子奥赛题的多种证法

<正>如图1,⊙O1与⊙O2交于A、B两点,延长O1A交⊙O2于点C,延长O2A交⊙O1于点D,过点B作BE∥O2A交⊙O1于点E,若DE∥O1A,求证:DC⊥CO2.这是2014年中国女子数学奥赛第一题,笔者从多角度来添设辅助线证明本题,供同学们参考.证法一如图1,分别连接DB、O1O2、AB,延长EB交⊙O2于H,连接AH.∵∠ABH=∠EDA=∠O1AO2=∠DAB,     

平面几何一难题的代数证法

题目1 如图所示，△ABC的内切圆为⊙O，并且ED上BC，ED为⊙O的直径，连接AE并延长交BC于F，求证：BD=FC．     

第四届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考答案

1.窗户造型 (满分 1 5分 )《中学生数学》杂志 2 0 0 0年第 1期的封面是一幅欧洲教堂的照片 ,它是一座哥特式的建筑 .建筑物上有一个窗户的造型如图 1所示 .图中弧 AB和弧 AC分别是以 C和 B为圆心 BC长为半径的圆弧 .○.O1 、○.O2 和○.O3两两相切 ,并且○.O1 、○.O2 与弧AB相切 ,○.O1 、○.O3与弧 AC相切 ,○.O2 、○.O3的半径相等 .如果使○.O2 、○.O3充分大 ,记 BC的长度为 a,请你计算出○.O1 的半径 ,并给出这个圆的作法 .图 1解　设○.O1 、○.O2 相切于点 E,○.O1 、○.O3相切于点 F ,○.O2 、○.O3相切于点 D,○.…     

一道高考题的赏析及拓展

2007年高考数学江西卷理科15题为： 如图1，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若→↑AB=m→↑AM,→↑AC=n→↑AN，则m＋n的值为____．     

差异分析：从失败走向成功

2008年苏、锡、常、镇四市高三一模试卷中的一道试题为： 考题1 如图1，已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为√3/2，点A、B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点，点O到直线AB的距离为6√5/5．     

与教材中的一个例题相关的中考题

例题如图1,⊙O1和⊙O2外切于点A,BC是⊙O1和⊙O2的外公切线,B、C为切点,求证:AB⊥AC.纵观近几年的中考试题,与此题相关的试题层出不穷.现举几例加以说明,以供参考.例1(2003年天津)已知,如图2,⊙O1与⊙O2外切于点A,BC是⊙O1和⊙O2的外公切线,B、C为切点.(1)求证:AB⊥AC;(2)若r1、r2分别为⊙O1和⊙O2的半径,且r=2r2,求AB/AC的值.     

并行二级多分裂迭代方法

1．二级多分裂迭代法本义考虑求解线性代数方程组的几种同步与异步二级多分裂迭代法，其中A为nXn非奇异矩阵．多分别选代法考虑A的多种分裂用IF负对角权矩阵EI（ZEI一川进行组合，可得l＝1．多分裂迭代法任给刘始向量。0对k—1，2，…，直到收敛如果（1．2）中对所有l，MI＝Dilg（Al；…；A。。），EI＝（O，…，O，I，O，…，O），则多分裂迭代法退化成块Jacobi迭代法，同样，多分裂迭代法具有自然的并行性，若EI的某个对角元为0，则从的对应分量无需计算．当然，（1．3）可用直接法精确求解，如Gauss消去法，LU分解法等，但有…