找回了漏的解

原题:已知直线l_1:x+3y-6=0,l_2:y=kx+b,若l_1、l_2与x轴、y轴正半轴围成的四边形有外接圆,则k=____.这是解析几何教学中,教师经常使用到的例(习)题.此题难度不大,主要考查直线的斜率、四点共圆等知识点和数形结合的思想.在执教过程中,笔者发现:在参考资料上提供的和网上搜索的答案均为3,解     

对一道竞赛题的别解与拓展

题目（2014年全国初中数学联赛试题）如图1,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,BE⊥AC于E,交AD于P,已知BP=3,PE=1,则AE=（）.（A）6^1/2/2（B）2^1/2（C）3^1/2（D）6^1/2对于这道题,组委会给出的解法是,四点共圆再结合相似从而完成求解.本文从不同的角度给出以下四种解法.     

圆锥曲线中关于四点共圆的几个结论

四点共圆在平面几何里是研究的重点之一，但在平面解析几何里，较少涉及与圆锥曲线有关的四点共圆问题．笔者经过研究后发现，在圆锥曲线中也有一些关于四点共圆的定理．下面列出其中几个，并给出证明．     

陈省身杯一赛题的另解

<正>题目如图1,已知锐角△ABC满足AB>AC,O、H分别为△ABC的外心、垂心,直线BH与AC交于点B1,直线CH与AB交于点C1.若OH∥B1C1,证明:cos2B+cos2C+1=0.此题是第五届(2014年)陈省身杯全国高中数学奥林匹克第1题,这是一道不落俗套,内涵丰富,解法多样的好题.文[1]中给出了组委会所提供的参考答案,经笔者探究,再给出下面有别于参考答案的新证法.     

两圆相切的一个有趣性质

<正>性质如图1,若圆O1与圆O2外切于点G.四边形ABCD内接于圆O1,AD、BC分别与圆O2切于点E、F.∠DCF的平分线CK交EF于点K,∠CDE的平分线DL交EF于点L,则(1)点L、K分别是△ADC、△BDC的旁心;(2)AL、BK的交点T在圆O1上,并且L、K、G、T四点共圆;(3)L、K、D、C四点共圆,并且AL、BK的交点T是四边形LKDC的外接圆的圆心.     

三谈相交两圆的性质及应用

本文再给出相交两圆的几条性质及应用的例子.性质1两圆⊙O_1与⊙O_2相交于P,Q两点,△PO_1O_2的外接圆分别交⊙O_1于R,交⊙O_2于S,则点Q为△PRS的内心或旁心.证明如图1(1),由∠PRQ=1/2∠PO_1Q=∠PO_1O_2及∠PO_1O_2=∠PRO_2,有∠PRQ=∠PRO_2,即知R,Q,O_2三点共线.     

错误不是无情物,化作探究有收获

在平常的教学实践中,学生经常会犯一些错误,如果不加以纠正,学生的错误就会一而再再而三地发生.在参考资料上偶尔也会看到一些错误,如果不加以纠正,则会以讹传讹,后患无穷.其实,学生的错误和参考资料上的错误并非是无情物,而是一个个宝藏,等待我们去开发,如果错过,就会"入宝山而空返",这是我们教学的损失和遗憾.如何合理利用好这些宝贵的资源,最终达到满载而归,是我们应该思考的课题.面对这些错误,我     

高考中的一题多解

笔者今年6月份参加了全国卷(Ⅰ)的阅卷工作,改的是选做题的22题,即选修4-1几何证明选讲,题本身并不难,但笔者不得不佩服考生的智慧,以下是整理的2题解法,先看题:     

高考试题中的初中题——解题说“目”之一

凡题皆有“目”,所以谓之“题目”.“题”的意义谁都清楚,可是“目”者何意?其一,“目”就是“眼”,凡题都有“题眼”.也就是题的要害或关键之处;其二,“目”是解题人的“视力”,也就是“看”透题之要害或关键之处的本领.     

一道圆锥曲线上四点共圆高考题的探析

圆锥曲线上四点共圆问题是高考常见考点，从2021年的一道高考题入手，对这一问题进行再研究，得出圆锥曲线上四点共圆的一个充要条件，并用直线的参数方程法对圆锥曲线上四点共圆进行证明.     

数学史视角下的四点共圆问题探究

四点共圆问题同时出现在初、高中几何中,有着悠久的历史渊源和丰富的解题技巧.考查该问题的历史脉络和证明技法,不仅有益于提高学生的学习兴趣和积极性,更能锻炼学生的理性思维.本文运用文献研究法、文本分析法,比较国内外几何教材的异同,致力于数学教育取向的数学史研究.     

三角形垂心的演变和问题的推广

对三角形的垂心进行演变,构造出新问题,并把新问题推广到圆锥曲线,得到相关结论.     

2008年全国高中数学联赛加试题及参考答案

一、（本题满分50分） 如图1，给定凸四边形ABCD，∠B＋∠D〈180°，P是平面上的动点，令f（P）=PA·BC＋PD·CA＋PC·AB． （Ⅰ）求证：当f（P）达到最小值时，P，A，B，C四点共圆；     

课外练习及参考答案

初一年级1.已知三个互不相等的有理数,既可以表示为1,a+b,a的形式,又可以表示为0,ab,b的形式,且x的绝对值等于2,求(a+b)2012+(ab)2011-(a+b-ab)x+x2的值.(北京含笑)     

找回遗漏的解

题目1已知函数f（x）=｜x＋1｜＋｜x＋2｜＋…＋｜x＋2011｜＋｜x-1｜＋｜x-2｜＋…＋｜x-2011｜（x∈R）,且f（a^2-3a＋2）=f（a-1）,则满足条件的所有整数a的和是_____．     

弦图的几例应用

<正>人教版初中数学八年级下册中,应用我国古代数学家赵爽构造的"弦图"(如图1)证明了勾股定理,数形结合,招法俊巧,过程简捷,深受师生的欢迎.正如课本所说:"赵爽弦图表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智."今天,我们应用"赵爽弦图"证明几道中考数学题和初中数学竞赛中的正方形问题,发扬我国古代数学的光辉,过程依然是简单明了.一、赵爽弦图的结构特征     

习题"磨"炼结构"谋"法

借用一句"成事在天、谋事在人"的谚语.数学解题乃是习题磨炼、结构谋法.数学结构,是指数学中的概念、公式、图形、程序以及一切数学法则、定律、定理的内在本质的形式化,在数学教学中,引导学生关注式的结构、图形的结构和程序结构的层次性、相似性、独立性、关联性,可以深刻体会数学思想,感悟数学本质,明确思维方向,从而优化解题策略,缩短思考时间,提高解题能力.     

陈省身杯一赛题的别证

题目[1]在△ABC中,D、E分别为边AB、AC的中点,BE与CD交于点G,△ABE的外接圆与△ACD的外接圆交于点P(P≠A),AG的延长线与△ACD的外接圆交于点L(L≠A).