One-dimensional unsteady flows of solid-liquid suspensions

Summary The partial differential equations governing the unsteady one-dimensional motion of a solid-liquid mixture in an elastic tube are derived and applied to the problem of pressure surge generation resulting from rapid flow shutdown. The momentum exchange between the phases is then assumed to be simply proportional to the relative velocity of the phases, as correct in the case of slow relative motion. This assumption permits a closed form solution of the problem by a Laplace transform technique. The physically meaningful boundary condition is assumed to be that of vanishing velocity for the fluid phase at the valve. This leads to an initial overshoot of the pressure if the density of the liquid is larger than that of the solid, at variance with previous results of Wood and Kao. Another result is that the presence of a transient in the time evolution of the pressure, discovered by the latter authors, does not play an important role in applications dealing with long tubes. This is proved by both asymptotic estimates and numerical results.

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Sommario Si ricavano le equazioni a derivate parziali che reggono il moto unidimensionale non stazionario di una miscela solido-liquido in un tubo elastico e le si applicano al problema dell'aumento di pressione prodotto da una brusca interruzione di corrente. Lo scambio di quantità di moto fra le fasi viene ritenuto semplicemente proporzionale alla loro velocità relativa, come è accurato nel caso di piccoli valori di quest'ultima. Questa ipotesi permette di ottenere una soluzione analitica del problema per mezzo della trasformata di Laplace. Si fa anche l'ipotesi che la condizione al contorno fisicamente significativa sulla valvola di chiusura sia quella di annullamento della velocità della fase fluida. Questo porta a un massimo iniziale di pressione nel caso in cui la densità del liquido sia maggiore di quella del solido, a differenza da quanto ottenuto da Wood e Kao. Un altro risultato è che la presenza di un transiente nell'evoluzione temporale della pressione, scoperto da questi autori, non gioca un ruolo importante nelle applicazioni relative a tubi sufficientemente lunghi. Questo risultato viene dimostrato sia per mezzo di stime asintotiche sia per mezzo di calcoli numerici.

     

On the elastic problem of the non-homogeneous anisotropic reticulated body resting on a lattice

Summary A reticulated body is examined, which is constituted by pin-jointed members; the joints coincide with the points of a lattice; the members can be arbitrarily distributed.The problem of the elastic equilibrium of such a body is studied, proposing a method of solution based on the interpretation of the reticulated body as a continuum.In particular, we assume as model a body constituted by molecules, placed in the joints and centrally attracting or repelling one another.The elastic properties of such a model are defined according to Cauchy-Poisson theory, as functions of the rigidities of the members of the reticulated body; in general, the resultant model is anisotropic and non-homogeneous.The method suggested is different from the similar ones[1], [2], [3], by being based on the rigorous definition of the model of the reticulated body.This method is a generalization of a more restricted method applied to the study of the cubic homogeneous reticulated bodies[4], [5]; it attributes to the joints of the reticulated body the displacements of the corresponding points of the continuum model and consequently determines the stresses in the members.The errors made with the explained method are deduced by comparing the equations of the continuum model with those of the reticulated body; by reiterating the method, we can reduce these errors to as small as we want.

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Sommario Si esamina un corpo a struttura reticolare, costituito da aste articolate a cerniera: i nodi coincidono con i punti di un sistema regolare nello spazio, le aste possono essere comunque distribuite.Si affronta il problema dell'equilibrio elastico di un tale corpo proponendo un metodo di soluzione fondato sulla interpretazione del reticolo come un continuo.In particolare si assume come modello un corpo costituito da molecole poste in corrispondenza dei nodi e soggette ad azioni mutue dirette secondo le congiungenti i loro centri.Le costanti elastiche del modello sono fissate, seguendo il modello di Cauchy-Poisson, in funzione delle rigidezze delle aste del reticolo; nel caso più generale il modello che ne consegue sarà anisotropo ed eterogeneo.Il procedimento che si propone si differenzia dai procedimenti similari[1], [2], [3], in quanto è fondato sulla definizione rigorosa del modello del reticolo.Esso è la generalizzazione di quello applicato allo studio dei reticoli omogenei cubici[4], [5] e consiste nell'assegnare ai nodi del reticolo gli spostamenti dei corrispondenti punti del modello continuo e nella conseguente determinazione degli sforzi nelle singole aste.Gli errori che si commettono con tale procedimento vengono dedotti dal confronto fra le equazioni del modello e quelle del reticolo; essi possono rendersi piccoli a piacere mediante opportune iterazioni.

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On some problems of stability of systems with an infinite number of degrees of freedom

The problem of stability of equilibria of a physical pendulum with a nonstretchable thread attached to it is considered from the standpoint of the Lagrange theorem on stability and its inversion. Specific difficulties which one faces when studying an infinite dimensional mechanical system are discussed. A new approach to the study of stability with respect to two metrics is suggested. The influence of resonant phenomena on the motion of the shortened (linearized) system is considered.

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Sommario Si considera il problema di stabilità di punti di equilibrio di un pendolo fisico con un filo inestensibile appeso ad esso dal punto di vista del teorema di Lagrange sulla stabilità e sulla sua inversione. Difficoltà specifiche relative allo studio di un sistema meccanico di dimensione infinita sono discusse. Si suggerisce un nuovo metodo per lo studio della stabilità rispetto a due metriche. L'influenza di fenomeni di risonanza sul moto del sistema ridotto (linearizzato) è considerata.

     

Beyond young measures

Young measures and their limitations are discussed. Some relations between Young measures and H-measures are described and used to analyze an example from micromagnetics. The need to improve H-measures and semi-classical measures is stressed.

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Sommario Si discutono le misure di Young e le loro limitazioni. Alcune relazioni che intercorrono tra le misure di Young e le H-misure sono descritte ed utilizzate nello studio di un esempio tratto dalla meccanica di mezzi micromagnetici. Si evidenzia in particolare la necessità di migliorare la teoria delle H-misure e di altre misure semi-classiche.

     

Scattering kernels for the boundary conditions of the boltzmann equation on the moving boundary of two-phase systems

Summary This paper deals with the problem of the boundary conditions for the Boltzmann equation on the moving boundary between a liquid and a vapour phase with condensation and vaporization in non-equilibrium conditions. A physical theory is proposed on the basis of the mathematical theory of the scattering kernels, of the kinetic theory and of the statistical theory of phase-transition. The mathematical result of this theory consists in a set of equations correlating, by means of integral operators, the distribution function of the molecules leaving the liquid surface to the one of the molecules arriving on the surface of the liquid phase.

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Sommario Il presente lavoro studia il problema della condizione al contorno per l'equazione di Boltzmann sulla frontiera mobile fra la fase liquida e quella di vapore di un sistema bifasico in condizioni di disequilibrio termodinamico. Si propone, sulla base dei metodi matematici della teoria cinetica e della teoria degli «scattering kernels» e sulla base dei risultati precedenti di una teoria statistica di transizione di fase, una teoria fisico-matematica per lo studio del problema. In termini matematici si ottiene un operatore che correla la funzione di distribuzione delle molecole che lasciano la superficie liquida alla funzione di distribuzione delle molecole che arrivano sulla superficie. Tale operatore rappresenta la formulazione della condizione al contorno.

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This work has been realized within the activities of the Italian Council for the Research, Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica, and presented at the Euromech Colloquium 86 on the «Boltzmann Equation».     

Vorticity shedding from a lentil-shaped body at large incidence in uniform flow

The 2D flow about a lentil-shaped body at high incidence in uniform stream is numerically simulated for high Reynolds numbers. The separation points are fixed on the body edges and the vorticity released through a Kutta-like condition is spatially discretized by point vortices. Their Lagrangianinviscid dynamics is described by using both aconformal mapping and aboundary elements method. The present results are in good agreement with previous calculations but still not satisfactory when compared with the experiments.The aim of the present work is to investigate the effect of different Kutta conditions and the effect of different amalgamation procedures in the far wake on global quantities such as theStrouhal number or the total shed circulation. Other remarkable effects induced either by the action of viscosity or by the rising of secondary 3D motion, may not be analyzed by the present simplified model.

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Sommario Si studia il flusso attorno ad una lente ad elevata incidenza nelle ipotesi di elevato numero di Reynolds e flusso bidimensionale. I punti di separazione sono fissati sulle estremità della lente e la produzione di vorticità da questi è realizzata con opportune condizioni di Kutta. La dinamica dei vortici è descritta con un modello Lagrangiano non viscoso. I risultati, ottenuti sia con l'uso di una trasformazione conforme che con un metodo agli elementi di contorno, sono in ottimo accordo con i risultati di precedenti simulazioni numeriche, ma non sono ancora soddisfacenti se confrontati con gli esperimenti.Si analizza in termini di grandezze globali del flusso, quali il numero di Strouhal e la circolazione totale rilasciata, l'effetto di due diverse condizioni di Kutta e dell'uso di procedure di compattazione della scia lontana. Si conclude che l'uso di diverse condizioni di Kutta produce risultati pressoché identici mentre l'utilizzo di procedure di compattazione della scia può alterare in modo significativo il numero di Strouhal del flusso. Rimangono da analizzare altre possibili cause del disaccordo con le sperimentazioni quali la diffusione viscosa e la probabile presenza di moti tridimensionali.

     

Reflection of bounded acoustic beams on a fluid-solid interface

The reflection of an acoustic beam onto a fluid-solid interface is studied under the assumption that the solid medium is viscoelastic. The incident beam is represented as a superposition of plane monochromatic homogeneous waves and its profile is assumed to be Gaussian shaped. The outcoming wave field at the interface, and away from it in the fluid, is numerically calculated for different values of the frequency and of the beam width.

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Sommario Si studia la riflessione di un fascio di onde acustiche sulla superficie di separazione fra un liquido ed un solido nell'ipotesi che il mezzo solido sia viscoelastico. Il fascio incidente ha un profilo gaussiano e viene rappresentato mediante la sovrapposizione di onde piane monocromatiche omogenee. Si calcola numericamente il profilo del fascio riflesso sia sull'interfaccia, sia lontano da essa nel fluido, per diversi valori della frequenza e della larghezza del fascio.

     

Photoelastic stress analysis of a nuclear reactor pressure vessel

Summary The state of stress from internal pressure in a nuclear reactor pressure vessel was examined using photoelastic models.The results were compared with those obtained from Eringen theoretical analysis.The Poisson ratio effect was investigated with reference to a cylinder-sphere junction.The results were also compared with photoelastic results for similar dimensions and with the values of a numerical analysis with finite element method of other authors.

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Sommario La ricerca ha come oggetto l'analisi fotoelastica dello stato di tensione in campo elastico, dovuto a pressione interna e a serraggio iniziale, nel contenitore e nella testata di un reattore nucleare.I risultati ottenuti sono stati valutati sulla base degli errori di misura e sulla base di un confronto con quelli ottenuti sperimentalmente da altri autori per geometrie non troppo diverse da quella relativa al caso studiato e con metodi numerici per la stessa geometria.Si è cercato di estendere i risultati, confrontandoli con quelli ottenuti con l'applicazione della teoria di Eringen in modo da dare loro una validità più generale.

     

Elastic behaviour of shrink-fitted forming die assemblies. Part II: Numerical application and results

Summary A study is presented on the elastic behaviour of a set of assemblies consisting of a cylinder prestressed by a shrink-fitted ring of different length as is customary in extrusion toolsets. An accurate analysis is carried out of the individual and interactive effects pertaining both to the bulk support provided by the relatively unstressed parts of the die, and the external compressive stresses induced by radial support of the shrinking ring.Stresses and displacements in the two cylindrical components are evaluated by a numerical application of the three-dimensional elastic theory and the point-matching method.Again a discussion is presented of the limitations involved by the numerical approach.

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Sommario L'articolo riferisce sul comportamento elastico di accoppiamenti realizzati per forzamento di un anello di grosso spessore su un cilindro cavo di lunghezza finita e diversa da quello dell'elemento forzante, del tipo di quelli impiegati nelle attrezzature di estrusione.Si analizzano individualmente e nella loro interazione le influenze che su tale comportamento hanno l'irrigidimento fornito da quelle porzioni dell'anello interno che sono relativamente scariche di tensioni e la pressurizzazione esterna indotta dall'elemento forzante.Il calcolo delle tensioni e degli spostamenti nei due componenti è operato mediante un'applicazione numerica della teoria dell'elasticità tridimensionale e del metodo delle collocazioni.Si discutono inoltre le limitazioni connaturate con l'approccio di tipo numerico.

     

Nonlinear dynamics and stability of microstructures in a lattice model for ferroelastic materials

With the view of understanding how precise macroscopic properties of a material emerge from the underlying physics of homogeneous microstructures, a lattice model which can describe complex non-linear patterns made of elastic domains and interfaces is proposed. On the basis of a two-dimensional lattice model involving non-linear and competing interactions the dynamics of microstructure formation is examined. The emphasis is placed especially on an instability mechanism of a strain band producing localized domains. The influence of applied forces and dissipative effects on the dynamics of two perpendicular strain bands is studied. The results are interpreted as a microtwinning in crystalline alloys. The physical conjectures are checked by means of numerical simulations performed directly on the microscopic system.

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Sommario Si propone un modello reticolare che può descrivere complessi arrangiamenti fatti di domini elastici ed interfacce. Sulla base di un modello bidimensionale in cui sono presenti interazioni contrastanti e nonlineari si esamina la dinamica della formazione di microstrutture. L'accento è posto sui meccani'smi di instabilità che determinano bande di deformazione localizzata. Si studia l'influenza delle forze applicate e degli effetti dissipativi sulla dinamica di due bande perpendicolari e si interpretano i risultati come un microtwinning in leghe cristalline. Si verificano le congetture fisiche per mezzo di simulazioni numeriche del modello microscopico.

     

Reflection and refraction of rays in pre-stressed solids

Rays in viscoelastic, pre-stressed solids are considered. The eikonal equation and the transport equation are derived for both transverse and longitudinal polarizations. The analogue of the standard Snell's law is established. Then the amplitudes of reflected and transmitted rays are determined. The pre-stress is shown to affect the geometry of reflection-refraction processes and the amplitudes of the rays emanating from the interface. Pre-stress effects are also found on traction-free surfaces.

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Sommario Si considerano raggi in solidi viscoelastici soggetti ad uno stress iniziale. L'equazione dell'iconale e l'equazione del trasporto sono dedotte sia per polarizzazione trasversale, sia per polarizzazione longitudinale. Stabilita la forma appropriata della legge di Snell, si determinano le ampiezze dei raggi riflessi e trasmessi. Si mostra che lo stress iniziale interviene sia negli angoli sia nelle ampiezze dei raggi reflessi e trasmessi. Effetti dello stress iniziale si presentano persino nel caso di riflessione sulla superficie libera di un semispazio.

     

Study of the propagation of a torsional wave in a curved wire

Summary The problem of the propagation of a torsional wave in a curved wire is examined. The displacements with a natural and with a forced curvature are calculated and the corresponding dispersion relations are obtained on the basis of a purely elastic model.The results are discussed in connexion with the problem of the propagation of a signal in a wire-type acoustic delay line and compared with the results previously obtained by other workers.

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Sommario Si esamina il problema della propagazione di un'onda torsionale in un filo curvato. Viene svolto il calcolo degli spostamenti con curvatura sia naturale, sia imposta e si ottengono le corrispondenti relazioni di dispersione sulla base di un modello puramente elastico. Si discutono inoltre i risultati ottenuti, in relazione al problema della propagazione di un segnale in una linea di ritardo meccanica, confrontandoli con quelli precedentemente acquisiti da altri Autori.

     

On the dynamic behaviour of axially excited helical springs

Summary In this paper we have used Wittrick's theory on the propagation of deformation waves in a coiled wire — taking only into account the coupling between the displacements of the wire cross-section along the tangent and along the binormal of the average helix — in oder to show how the natural frequencies of the axial and rotational modes of a cylindrical helical spring vary according to a non-linear function of the wave number. Moreover it is here demonstrated that the natural frequencies resulting from the proposed theory for the natural modes to which correspond wave lengths greater than two coils do not differ much from those which can be calculated by considering the spring as a periodic discrete system. Theoretical results are finally tested by an appropriate experimental investigation.

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Sommario Viene utilizzata la teoria proposta dal Wittrick sulla propagazione delle onde di deformazione in un filo avvolto ad elica, tenendo conto del solo accoppiamento tra gli spostamenti delle sezioni del filo lungo la tangente e lungo la binormale all'elica media, per mettere in evidenza come le pulsazioni naturali dei modi assiali e rotazionali di una molla ad elica cilindrica varino secondo una funzione non lineare del numero d'onda. Si dimostra che le pulsazioni naturali che si ottengono dalla teoria proposta, per modi di vibrare cui corrispondono lunghezze d'onda maggiori di due spire, sono poco discoste da quelle prevedibili considerando la molla come sistema discreto periodico. I risultati della teoria surriportata vengono infine controllati a mezzo di una opportuna indagine sperimentale.

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Research supported by the Ministero della Pubblica Istruzione, Italy.     

On fluids of grade n

Summary Elastic fluids are generally defined through their symmetry group; it is then possible to show the dependance of the response function of the density alone. In this note we give an analogous definition of elastic fluid of grade n. We then show that the properties of this fluid are determined by the first n–1 spatial gradients of its density.

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Sommario I fluidi elastici sono generalmente definiti attraverso il loro gruppo di simmetria; è quindi possibile mostrare la dipendenza della funzione di risposta dalla sola densità. In questa nota diamo una analoga definizione di fluido elastico di grado n. Mostriamo poi che le proprietà di un tale fluido sono determinate dai primi n–1 gradienti spaziali della sua densità.

     

An earthquake engineering wave propagation model

Summary A finite element model for the seismic behaviour of soils requires the definition of suitable boundary conditions to simulate the surrounding soil. These conditions are here analyzed theoretically under the only assumption that the boundary soil behaves elastically. Their application requires the definition of the wave direction. The one of impinging waves is known, being an input datum; the one of the outcoming waves is in general not known a priori. The amount of errors involved is discussed. Analogous problem was previously dealt with for sources of disturbances interiors to the represented portion of the space.

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Sommario L'analisi numerica del comportamento sismico di terreni mediante elementi finiti richiede la definizione di opportune condizioni al contorno per simulare le onde che entrano nella porzione di spazio rappresentato e per assorbire quelle che da questo si propagano verso l'infinito.Tali condizioni sono ricavate teoricamente, nella sola ipotesi che il terreno sul contorno si comporti linearmente. La loro applicazione in programmi di calcolo richiede di precisare al contorno la direzione di propagazione delle onde entranti e di quelle uscenti. La direzione delle prime è un dato del problema, ma la direzione delle onde uscenti non è nota a priori. L'entità degli errori che possono risultarne è discussa sulla base della stessa formulazione teorica. Analogo problema era stato affrontato in precedenza per sorgenti di disturbo interne allo spazio rappresentato.

     

Finite element incremental analysis of elastoplastic plate bending

Summary The paper discusses the numerical solution of the elastoplastic bending of plates with any polygonal boundary subject to a generic load and to distributed dislocations.For the discretization of the plate Herrmann's and Hellan's constant moment triangular equilibrium model has been chosen. Compatibility is imposed through a minimum principle, proposed by Capurso and Maier, which can be considered a generalization of the minimum complementary energy principle for elastoplastic workhardening continua allowing for distributed dislocations.By means of a completely automatic computation program, the cases of simply supported and clamped square plate under uniformly distributed load and under central concentrated load are solved. Present results are partly compared with existing solutions.

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Sommario Viene studiato il problema della flessione di una piastra a contorno poligonale qualsiasi costituita da materiale elastico-incrudente e sottoposta ad un carico generico e a distorsioni diffuse. Per la discretizzazione della piastra viene scelto il modello triangolare equilibrato a momento costante di Herrmann e Hellan. La congruenza viene imposta attraverso un principio di minimo proposto da Capurso e Maier che può essere riguardato come la generalizzazione del principio della minima energia complementare per materiali elastico-incrudenti in presenza di distorsioni diffuse.Viene sviluppato un programma di calcolo automatico, che stende sulla piastra un reticolo di densità prefissata, numera e collega fra di loro nodi, lati e triangoli. In tal modo il programma genera le condizioni di equilibrio nodale e costruisce la funzione dell'energia da minimizzare. Vengono risolti, per il confronto con le soluzioni esistenti i casi di piastra quadrata semplicemente appoggiata e incastrata al contorno sottoposte a carico uniforme e ad una forza concentrata nel centro.

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This study forms part of a research program supported by the National (Italian) Research Council (C.N.R. Gruppo Problemi avanzati di ingegneria strutturale).     

On the elastic problem of the orthotropic thick plate

Summary Equilibrium equations for orthotropic media are written taking the displacement components as unknowns; these equations are integrated with operational methods by separation of the variables.The unknown quantities are six « initial funcitons » that is, displacements and their partial derivatives with respect toz, calculated on the planez=0.Following a method of structural mechanics, the cases of symmetrical and nonsymmetrical loading of plate, namely compression and flexion, are considered separately.The separation of the variables allows us to resolve in two successive stages the problem of the boundary conditions: the Cauchy conditions on the surfacesz=± h become differential equations to which we associate the condition on the cylindrical surface.The process leads to a symbolic solution of the problem from which we construct the resolvent equations in the form of power series of operators. If terms of a higher order are retained in these equations, a more accurate theory is obtained; it is shown that if only the first term is assumed, the equation for the ortho tropic plate in the Kirchhoff-Love sense is obtained.The method is applied in order to resolve a problem numerically; the results are compared with those deduced by the usual theory.

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Sommario Si scrivono le equazioni indefinite dell'equilibrio dei mezzi ortotropi assumendo come incognite le componenti di spostamento; se ne effettua l'integrazione con metodi operazionali per separazione delle variabili. Le incognite risultano esplicitate attraverso sei « funzioni iniziali », cioè spostamenti e loro derivate rispetto a z calcolate sul piano medio.In relazione ad una decomposizione dei carichi si individuano due problemi distinti, di compressione e di flessione, che vengono trattati parallelamente.La separazione delle variabili permette di risolvere in due fasi successive il problema dei valori al contorno: le condizioni di Cauchy sulle facce parallele al piano medio si traducono di fatto in equazioni differenziali cui vanno associate le condizioni sulla superficie cilindrica.Il procedimento conduce ad una soluzione simbolica del problema, a partire dalla quale si costruiscono le equazioni risolventi sotto forma di sviluppi in serie di potenze di operatori. L'ordine delle equazioni risolventi, e quindi il numero di condizioni che si possono soddisfare sulla superficie laterale, è fissato dal numero di termini che si considerano in questi sviluppi; si dimostra che il solo primo termine conduce all'equazione della piastra ortotropa ricavata sotto le ipotesi di Kirchhoff-Love.Il metodo è applicato alla soluzione di un problema concreto; i risultati sono messi a confronto con quelli dedotti dalla teoria ordinaria.

     

Influence of roughness on wear of thermoplastic on metal pairs: A preliminary analysis

Summary This work is a preliminary analysis of the influence of roughness on wear and on friction coefficient of thermoplastic on metal pairs.The results confirm the influence of steel specimen roughness on wear and suggest the profitability of obtaining further information on this matter through planned experimentation.The limits beyond which is not profitable to increase the quality of the mechanical machining could thus be ascertained.

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Sommario Oggetto della presente nota è l'analisi preliminare della influenza della rugosità Ra sull'usura e sul coefficiente di attrito di coppie termoplastico-metallo.I risultati ottenuti, evidenziando l'influenza della rugosità del provino di acciaio sull'usura, riconfermano che l'equazione di Archard per l'usura adesiva, che mette relazione il volume del materiale asportato da uno dei due provini con la durezza, il carico normale, il percorso di strisciamento ed il coefficiente di probabilità, è alquanto semplicistica. Infatti, come in precedenza era stato osservato che il coefficiente di probabilità varia col carico normale, ora se ne può concludere che dipende anche dalla rugosità superficiale del materiale più duro.Dal poco soddisfacente adattamento dell'equazione di regressione ai punti sperimentali se ne può inoltre dedurre che, pur rimanendo indiscussa la sensibile influenza della rugosità superficiale del materiale più duro sull'usura, i parametri considerati non sono sufficienti a rappresentare il fenomeno nella sua complessità.Al fine quindi di valutare in modo rigoroso l'influenza sulla usura dei diversi parametri connessi col fenomeno è stato deciso di proseguire lo studio procedendo all'impostazione di un piano sperimentale.Una chiara ed esauriente valutazione degli effetti della rugosità superficiale sull'usura avrebbe indubbi riflessi pratici in quanto potrebbe indicare i limiti oltre i quali risulta antieconomico spingere la qualità delle lavorazioni meccaniche.

     

Spatial interaction in magneto-micropolar continua

Summary We consider a micropolar continuum, whose material points are endowed with magnetic moment, in the presence of a magnetic field within the approximation of the quasimagnetostatics. We deduce the balance equations by a suitable averaging technique and then we examine the compatibility of spatial interaction effects with thermodynamics. As a result, we show that such effects are confined to the constitutive equations for the dissipative stress_DT, the dissipative couple stress_Dm and the heat flux q. Moreover, as a consequence of the reduced dissipation inequality, a linear theory would account only for a dependence of_DT,_Dm, and q on the velocity gradient, the angular velocity, the gradient of the angular velocity, and on the temperature gradient.

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Sommario Si considera un continuo micropolarc, i cui punti materiali sono dotati di momento magnetico, in presenza di un campo magnetico nell'approssimazione della quasimagnetostatica. Dopo aver dedotto le equazioni di bilancio mediante un opportuno procedimento di media, si esamina la compatibilità tra effetti di interazione spaziale e seconda legge della termodinamica e si mostra che tali effetti possono essere presenti solo nelle equazioni costitutive per lo stress dissipativo (di Cauchy)_DT.lo stress dissipativo delle coppie_Dm e il flusso di calore q. Inoltre, in conseguenza della disuguaglianza di dissipazione ridotta, si osserva che una teoria lineare permetterebbe solo una dipendenza di_DT,_Dm, q dal gradiente di velocità, dalla velocità angolare, dal gradiente della velocità angolare e dal gradiente di temperatura.

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This work was supported by the «Gruppo Nazionale per la Fisica Matematica» of CNR.     

Truncations to 12, 14 and 18 modes of the Navier-Stokes equations on a two-dimensional torus

Summary Three truncations of the Navier-Stokes equations on a two-dimensional torus are numerically investigated by making use of techniques based on bifurcation theory. The three truncations, to 12, 14 and 18 modes respectively, are obtained by taking into account all the modes contained in balls of increasing radius. While a comparison of the details of the phenomenologies is meaningless, the three models show common global qualitative features. In fact the behaviour of each model is described by three different stories which start from three distinct fixed points and develop parallely. Two stories are characterized by the presence of fixed points and periodic orbits, the third one involves also two-dimensional tori. The three truncations exhibit a surprisingly rich collection of bifurcations. Breaking of tori and disappearance of strange attractors by crisis seem to be the phenomena of greatest interest, particularly in the framework of dynamical systems.

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Sommario Tre troncamenti delle equazioni bidimensionali di Navier-Stokes con condizioni periodiche al contorno sono studiati numericamente facendo uso di tecniche basate sulla teoria della biforcazione. I tre troncamenti, rispettivamente a 12, 14 e 18 modi, sono ottenuti considerando tutti i modi contenuti in bocce di raggio crescente. Per quanto un dettagliato confronto delle fenomenologie sia privo di significato, i tre modelli mostrano alcune caratteristiche globali comuni. Il comportamento di ciascun modello è infatti descritto attraverso tre differenti storie che partono da tre punti fissi distinti e si sviluppano parallelamente. Due storie sono caratterizzate dalla presenza di punti fissi ed orbite periodiche, mentre la terza coinvolge anche tori bidimensionali. I fenomeni di maggior interesse, soprattutto nel contesto dei sistemi dinamici, sembrano essere la rottura dei tori e la scomparsa, per crisi, di attrattori strani.