Cartesian积的局部边-路替换图的L(2,1)-标号

设d为正整数,图G的一个L（d,1）-标号就是从非负整数集到V（G）的一个函数,且使得2个相邻顶点的标号相差至少是d,2个距离为2的顶点的标号相差至少为1. 图G的L（d,1）-标号的跨度就是所有L（d,1）-标号的最大值和最小值之差. 图G的L（d,1）-标号数是G的所有L（d,1）-标号下跨度的最小值. 在已有研究图G的边-路替换图的L（d,1）-标号基础上,研究了Cartesian积的局部边-路替换图的L（2,1）-标号.     

M(o)bius梯子的L(d,1)-标号

对给定的正整数d,图G的L(d,1)-标号是从V(G)到非负整数的函数,且满足:任意两个相邻顶点的标号差至少为d,而且距离为2的任两个顶点的标号至少为1.L(d,1)-标号的跨度是标号差的最大值.G的L(d,1)-标号数是G的所有L(d,1)-标号的最小跨度.本文完全给出了M(o)bius梯子的L(d,1)-标号数.     

Mobius梯的(d,1)-全标号

图G 的(d,1)-全标号是从V(G)∪E(G)到非负整数的函数,且满足：(i) G中任意2个相邻顶点的标号不同;(ii) G中任意2个相邻边的标号不同;(iii) 顶点与其关联边的标号差至少为d.(d,1)-全标号的跨度是标号差的最大值. G 的(d,1)-全标号数是G的所有(d,1)-全标号的最小跨度,记为λ^T_d(G).本文完全给出了Mobius梯的(d,1)-全标号数.     

133—三次图的结构

在[1]中引入了abc—三次图的概念,但仅讨论了两类特殊abc—三次图的结构,本文的目的是解决133一三次图的结构问题。我们用G表示一个连通、无自环、非K_4的三次图,L表示G的最大二部分子图,若S是G的顶点集V(G)的一个子集,则K=[S,]表示G的一个棱截,截指标c(K,L)定义为: c(K,L)=|K∩L|-|K-L|=|L|-|KL|,其中“”表示对称差。本文引用的其它概念与记号见[1]、[2]、[3]。为了叙述方便,我们将133—三次图G的最大二部分子图L的顶点分划集X、Y以两种不同的染色,两个顶点不同色即指它们分属L的不同顶点分划集合。     

若干图的伴随分解及色等价性

设Pm和Cm分别表示具有m个顶点的路和圈,G是任意的r阶连通图,设m是正奇数,把路Pm的标号为奇数的2-1(m+1)个顶点分别与2-1(m+1)G每个分支的第i个顶点Vi重迭后所得到的图记为ρG(i)m+2-1(m+1)r。运用图的伴随多项式的性质,首先给出了一类图簇ρG(i)(2 m+2)+((m+1)r的伴随多项式。进而令m=2t-1 q-1,λn=(2nq-1)+2n-1 qr,在讨论上述图的伴随多项式的基础上,我们证明了图ρG(i)λt和ρG(i)λt∪(t-1)K1的伴随多项式的因式分解定理,进而证明了这些图类的补图的色等价性。     

路图P3(G)的色数

设G是一个图,G的路图P3(G)的顶点集是G中所有三个顶点的路P3, 当G中的两个P3路形成P4路或C3圈时,在P3(G)中它们所代表的两个顶点相邻. 在这篇文章中,我们得到对于一个无三角形的图G, χ(P3(G))≤β(G),其中β(G)表G的点覆盖数. 对于顶点数至少为3的连通图G,χ(P3(G))≤2当且仅当G是二部图, 并且χ(P3(G))=1当且仅当 G是星图. 对于K4的剖分图G,2≤χ(P3(G))≤3. 对于系列平行图和外可平面图G,χ(P3(G))≤3.     

Cartesian积与邻点可区别着色之间的关系

图G的一个正常k-边着色是指k种颜色1,2,…,k对图G各边的一个分配,使得任意2条相邻边染以不同的颜色.对于图G的一个正常边染色f和G中任何一个顶点x,S_f（x）或S（x）表示与顶点x关联的边在f下的颜色所构成的集合.若对于图G中任意2个相邻顶点u和v,有S（u）≠S（v）,则称f为图G的邻点可区别正常边染色.对图G进行邻点可区别正常边染色所需的最少颜色数,称为G的邻点可区别正常边色数,记为χ'_a（G）.图G的一个正常k-全染色是指k种颜色对图G的顶点和边的一个分配,使得任意2个相邻的或相关联元素染以不同的颜色.对于图G的一个正常全染色g和G中任何一个顶点 x,使用C_g（x）或C（x）来表示顶点x的颜色（在g下）以及与顶点x关联的边在g下的颜色所构成的集合.若对于G中任意2个相邻顶点u和v,有C（u）≠C（v）,则称g为图G的邻点可区别全染色.图G的邻点可区别全染色所需的最少颜色数称为图G的邻点可区别正常全色数,记为χ″_a（G）.主要讨论了Cartesian积和2种邻点可区别染色之间的关系.     

关于图的边着色的一个猜想

若G是简单图,v(G)是偶数,χ'(G)=?(G)+1,则存在点v∈V(G),使χ'(G-v)=χ'(G)=?(G)+1.本文对此进行了研究,当图G满足以下条件之一时:(1)设G是含有割边的连通图,χ'(G)=?(G)+1;(2)设G是连通图,κ'(G)=2,G中最多除两个2度顶点外,其它顶点的度数均为k(k2),v(G)=2n+2,χ'(G)=?(G)+1;(3)设图G是k正则图,v(G)=2n+2,χ'(G)=?(G)+1;(4)设图G是有2n+2个顶点的连通图,且除点v的度小于k外,其它顶点的度都等于k,χ'(G)=?(G)+1;(5)设图G是有2n+2个顶点的连通图,且除点u,v,d(v)d(u)k外,其它顶点的度都等于k,χ'(G)=?(G)+1;此猜想也是成立的.     

连通图顶点集的一种划分

1.引言设G=(X,E)为有限阶的简单图,X与E分别为G的顶点集与棱集。在下文中,我们总假定G是连通的。以d(x,y)表示G的两个顶点x,y之间的距离。对于每个x∈X,定义x的“联系数”(associated number)为     

一类2-(v,k,1)设计的可解区传递自同构群

设G是一个2-（v,k,l）设计的可解区传递自同构群,且k≥3．若v〉（k（k-1）/2-1）^2,则v=p^n,其中p为素数．进一步,当n为两个不同奇素数幂的乘积时,G是旗传递的或者G≤AГL（1,p^n）．     

Able群上Cayley图的哈密顿性

设G是群，S是G的不含单位元的子集，满足S＝S^1，G的相对于S的Cayley图，是一个以G为顶点集的无向图，对G的任意两上元x和y,x和y在C（G，S）中相邻，当且今当x^2y∈S，本文中我们得到了以下结论：（1）设G是阶至少为2的有限Abel群，S真包含于G\{0}且S＝S^1，则C（G，S）中每个二长路都包含在一个哈密顿圈中。（2）设G是可数无限Abel群，S真包含于G\{0}满足S＝S^1和|S|≥4。则C（G，S）中每个长为2的路含有一条双向哈密顿路上。（3）有限Able群上围长为3，阶数至少为3的连通Cayley图是泛圈的。（4）设G是可数无限Able群，S真包含于G\{0}满足S＝S^1和|S|≥，若girth[C(G,S)]=3,则C（G，S）是泛圈的。     

Harary图的外连通度(英文)

一个顶点集是一个Rg-点割,如果它将一个连通图分割成一些连通分支使得每个连通分支至少含有g个顶点.图G的g-外连通度(记作κg(G))是Rg-点割的最小基数.图G的通常的点连通度和上连通度分别相应的为κ0(G)和κ1(G).本文将分别证出第一类和第二类Harary图的κg和刻画它们的Rg-点原子部分.     

二面体群的双凯莱图的匹配可扩性（英文）

令G为有限群,S为G的非空有限子集,G关于S的双凯莱图BC(G,S)是一个二部图,其顶点集是G×{0,1},边集是{(g,0)(sg,1)|g∈G,s∈S}.若有完美匹配的连通图Γ至少有2n+2个顶点,且每一个大小为n的匹配都可以扩充为一个完美匹配,则称此完美匹配的连通图Γ是n-可扩的,并对二面体群的双凯莱的2-可扩性进行了刻画.     

关于图的直径的一个定理

学生习作本文主要讨论[1]中P197页定理10.9。这个定理是:“If G and ■ are Connected, then d(G) d(■)≤P 1”。定理中的G是p个顶点的图,■是G的补图。d(G),d(■)分别表示G和■的直径,即图的顶点的最大偏心度。该书对此定理未加证明,且在叙述了该定理后又说:“The bound is always attain.     

关于3-连通图最长圈的注

设C是3-连通图G的一个最长圈,H是G-V(C)的一个分支满足|H|≥3.文献[4]在给H附加一些条件后,证明|C|≥2d(u) 2d(v)-5,并且不等式严格成立除非G属于某些例外图类,这里u,v是G中两个不相邻的顶点.本文给出了上述例外图类的精确刻划.     

一类树的伴随多项式的分解及其补图的色等价性

设Pn和Cn是具有n个顶点的路和圈,nG表示n个图G的不相交并。令S*r（m+1）+1表示rPm+2的每个分支的一个1度点重迭后得到的图,E■表示把Pm的一个1度点与S*r（m+1）+1的r度点重迭后得到的图,可简记为E■,δ=（r+1）m+r;设n（≥4）是偶数,λ=（n+1）+2-1（n+2）δ,令图P■是表示把2-1（n+2）E■的每个分支的r+1度顶点分别与Pn+1的下标为奇数的2-1（n+2）个顶点重迭后得到的图,运用图的伴随多项式的性质,讨论了图簇E■∪rK1、P■∪E■和P■∪2E■∪rK1的伴随多项式的因式分解式,进而证明了这些图的补图的色等价性。     

几类优美图

设图G=(V(G),E(G))是一个简单图,V(G)是G的所有顶点的集合,E(G)是G的所有边的集合。若存在从V(G)到集合{0,1,…,ε}(ε=|E(G)|)的一个单射φ,对u,v∈V(G),(u,v)∈E(G),导出集合{|φ(u)-φ(v)|}到集合{1,2,…,ε}的一个一一映射,则称φ是图G的一个优美标号。若图G有一个优美标号φ,则称图G是优美图。我们依照文献[1]的定义称图G是G_1和G_2的联,如果图G是由G_1∪G_2和所有联接V(G_1)和V(G_2)的线组成的图。记为G=G_1+G_2。例如一个完全二部分图就是两个孤立点集S_1和S_2的联。我们知道这是优美图。     

Y2,2,λ*形树的伴随多项式的分解及其补图的色等价性

设Pn和Cn是具有n个顶点的路和圈,nG表示n个图G的不相交并。令S*r（m+1）+1表示rPm+2的每个分支的一个1度点重迭后得到的图,■表示把Pm的一个1度点与S*r（m+1）+1的r度点重迭后得到的图,可简记为■,δ=（r+1）m+r;设n（≥3）是奇数,λ=n+2-1（n+1）δ,图■表示把■的每个分支的r+1度顶点分别与Pn的下标为奇数的2-1（n+1）个顶点重迭后得到的图,Y*（2,2,2λ+1）表示把■的两个r+2度点分别与2P3的两个2度点重迭后得到的图,运用图的伴随多项式的性质,讨论了图簇■和■的伴随多项式的因式分解式,令n=2k-1q-1,λk=（2kq-1）+2k-1qδ,讨论了图簇Y*（2,2,λk）∪K1和Y*（2,2,λk）∪（k-1）K1的伴随多项式的因式分解式,进而证明了这些图的补图的色等价性。     

若干运算图的倍乘赋权Harary指标

ALIZADEH等近期提出了一个修正的Harary指标,即顶点对的贡献被赋予其度的乘积.其指标被称为倍乘赋权Harary指标,定义为H_M（G）=Σ_u≠v（δ_G（u）δ_G（v））（d_G（u,v））,其中,δ_G（u）表示顶点u在图G中的度,d_G（u,v）表示2个顶点u和v在图G中的距离.给出了张量积G×K_r,强积GK_r,圈积G₁oG₂的倍乘赋权Harary指标值的精确计算公式,这些公式与图的其他不变量（如倍加赋权Harary指标、Harary指标、第1类和第2类Zagreb指标、第1类和第2类反Zagreb指标）有关.此外,利用所得结果计算了开栅栏与闭栅栏的倍乘赋权Harary指标.     

关于Zaks的一个4-度4-连通图的注记

设G为哈密顿图,d(G)表示每对哈密顿圈至少具有d(G)条公共边。按文献[1]定义r(4)=lim sup{d(G)/V(G):G是4-度4-连通哈密顿图}。 对于平面图的情况,定义同此,记作r~*(4)。Zaks曾证明r(4)≥1/16和r~*(4)≥1/20,本文证明可改善到r(4)≥1/8和r~*(4)≥1/10。为此先阐明两个引理。未定义的术语和符