用平面向量巧解一题

题目 已知圆C:x2+y2=4和两个定点A(-1,0)、B(1,0),P为圆C上的动点,过点P的圆C的切线为l,点A关于l的对称点为A′,求|A′B|的最大值.     

一道解几题的推广

现行高二《解析几何》教材第二章有这样一道题:已知一曲线是与两个定点O(0,0),A(3,0)距离的比等于1/2的点的轨迹,求这个曲线的方程。通过简单的分析解答,得知曲线方程是(x+1)~2+y~2=4,而动点的轨迹是以C(-1,0)为圆心、r=2为半径的圆。由C(一1,0)易知,C在x轴上广(见图1)即C在直线OA上。     

一道定点问题的推广

<正>已知椭圆C的方程为x²/2+y2/2+y²=1,过椭圆C的右焦点F且与x轴不垂直的直线交椭圆于A、B两点,B关于x轴的对称点为点D.求证:直线AD过定点.证明设过点F(1,0)的直线AB的方程为y=k(x-1),A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),则D(x_2,-y_2).     

考点28 轨迹问题

1.(上海卷,3)直角坐标平面xOy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足OP·OA=4,则点P的轨迹方程是.2.(江西卷,16)以下四个关于圆锥曲线的命题中1设A、B为两个定点,k为非零常数,若PA-PB=k,则动点P的轨迹为双曲线;2过定圆C上一定点A作圆的动弦AB,O为坐标原点,若OP=12(OA+OB),则动点P的轨迹为椭圆;3方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;4双曲线2x52-y92=1与椭圆3x52+y2=1有相同的焦点.其中真命题的序号为(写出所有真命题的序号).3.(北京卷,18)如图,直线l1:y=kx(k>0)与直线l2:y=-kx之间的阴影区域(不含边界)记为W,其左半…     

对一道高考题的推广与改编

<正>2013年高考陕西理科数学第20题是:已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8.(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程;(Ⅱ)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线L与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,证明直线L过定点.推广已知抛物线C:y2=2px(p为正常数),点A(-p4,0),设不垂直于x轴的直线L与抛物线C交于不同的两点M,N,若x轴是∠MAN的角平分线,求证:直线L恒过定点(p4,0).证明由题意,设直线L的方程为y=kx     

以“kPA·kPB=常数”为背景的试题赏析

教材中有这样一道经典例(习)题:已知平面内的动点P与两定点A、B连线的斜率之积为定值,即kPA·kPB=非零常数m,求动点P的轨迹.若设两定点为A(-a,0)、B(a,0),则易知动点P的轨迹方程为mx2-y2=ma2(点A1、A2的坐标也满足).命题1当m<-1时,方程为x2a2+y2-ma2=1,轨迹是焦点在y轴上的椭圆;     

世界各地数学奥林匹克竞赛试题摘编

1　 (第 2 3届全俄中学奥林匹克竞赛试题 ,11年级 )求方程 (x2 - y2 ) 2 =1+ 16 y的整数解 .解　以下将证明方程(x2 - y2 ) 2 =1+ 16 y (1)的解是 (- 4,5 ) ,(4,5 ) ,(- 1,0 ) ,(1,0 ) ,(- 4,3) ,(4,3) .设x ,y是满足方程 (1)的两个整数 .注意到 ,若 y <0 ,则 1+ 16 y <0 ,则 1+ 16 y不是一个完全平方数 ;若 (x ,y)就是 (1)的解 .不失一般性 ,可设x≥ 0 .情形 1:若x≥y ,可令x =y +a且a∈N .方程 (1)可改写为 :4a2 y2 + 4 (a3- 4) y +a4 - 1=0 .故 y是二次方程 4a2 X2 + 4 (a3- 4)X +a4 - 1=0的一个解 .此时Δ =16 (- 8a3+a2 + 16 ) ,则一…     

射影几何背景下的2019年北京高考解析几何试题

<正>1试题呈现(2019年北京卷文科)已知椭圆C:x²/a2/a²+y2+y²/b2/b²=1的右焦点为(1,0),且经过点A(0,1).(1)求椭圆C的方程;(2)设O为原点,直线l:y=kx+t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P,Q.直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N,若|OM|·|ON|=2.求证:直线l经过定点.     

例题文化背景的挖掘

人教社教材高二(上)第86页例5是一道有着深厚文化背景的例题,题目如下:题目1已知一曲线是与两个定点A(1,0),O(0,0)距离之比为2的点的轨迹,求此曲线的方程,并画出图形.通过解答,我们知道:此曲线方程为(x+1)~2+y~2=4,它是以C(-1,0)为圆心,2为半径的圆(图略).     

圆锥曲线中直周角性质的研究

笔者对这一问题作了点深入研究 ,得出一些优美的性质 .1　问题的研究定理　椭圆 x2a2 y2b2 =1上有一定点P(x0 ,y0 )与异于点 P的两个动点 Q、R,若∠ QPR =90°,则动直线 QR恒经过定点 ,且该定点的坐标为(a2 - b2a2 b2 .x0 ,- a2 - b2a2 b2 .y0 ) .为了证明上述定理 ,先给出如下引理 :引理　若 x1 、x2 是方程 f(x) =0的两个实数根 ,其中 f(x) =ax2 bx c(a≠ 0 ) ,则　　 (x0 - x1 ) (x0 - x2 ) =f (x0 )a .引理证明略 ,下面证明原定理 .证明　设 Q(x1 ,y1 )、R(x2 ,y2 ) ,由PQ⊥ PR得　 (x0 - x1 ) (x0 - x2 ) (y0 - y1 )…     

一道高考题的拓广

2007年全国高考福建省理科卷第20题:如图1,已知点F(1,0),直线l:x=-1,P为平面上的动点,过P作直线l的垂线,垂足为点Q,且QP·QF=FP·FQ.(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;(Ⅱ)过点F的直线交轨迹C于A,B两点,交直线l于点M,已知MA=1λAF,MB=2λBF,求1λ 2λ的值.图1本题(Ⅰ)中,由条件可求得动点P的轨迹C的方程是y2=4x,显然F(1,0)是抛物线y2=4x的焦点,直线l:x=-1是抛物线y2=4x的准线.在(Ⅱ)中,由条件可求得1λ 2λ=0.(Ⅱ)中的这个结论对一般的圆锥曲线是否成立呢?延伸一下可得圆锥曲线的一个有趣性质:性质1过点F(m,0)(m>0)的直线交抛物线y2=2…     

新题征展(66)

A题组新编1.已知⊙C:(x+3)2+y2=R2(R>0)和⊙D:(x-3)2+y2=1,动圆M与⊙C,⊙D均相切,圆心M的轨迹为E.(1)当R=1时,E的方程是;(2)当R=3时,E的方程是;(3)当R=5时,E的方程是;(4)当R=7时,E的方程是;(5)当R=9时,E的方程是.2.已知:椭圆:x225+y216=1,F1、F2分别为左、右焦点,点A(1,m),点P为椭圆上动点.(1)当m=5时,|PA|+|PF2|的最小值是;(2)当m=1时,|PA|+53|PF2|的最小值是;(3)当m=1时,|PA|+|PF2|的最小值是.3.△ABC中,三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(-1,2),C(1,0),点P(x,y)在△ABC内部及边界运动,(1)z=ax-y取最小值的唯一最优解是(-1…     

直线参数方程的三种形式

在平面直角坐标系中,设a,b∈R且a2+b2≠0,一动点同时以水平速度a和竖直速度b运动(即按向量v=(a,b)运动),从定点P0(x0,y0)出发,经过时间t(t≥0)后到达点P(x,y)(当t<0时,指在到达定点P0(x0,y0)以前的时刻|t|,动点位于点P(x,y)),求该动点轨迹的参数方程.     

多元函数微分学

<正> 一、填空题 1.(1991.Ⅰ,Ⅱ)由方程xyz+(x~2+y~2+z~2)~(1/2)=2~(1/2)所确定的函数z=z(x,y)在点(1,0,—1)处的全微     

用直线系中的定点解题

经过两直线 l1:A1x B1y C1=0和 l2 :A2 x B2 y C2 =0的交点 P的直线系 (动直线 )方程 l:A1x B1y C1 λ(A2 x B2 y C2 ) =0(λ∈ R,不含 l2 ,简记为 l1 λl2 =0 )的应用范围很广 .本文拟从定点 P的利用这一角度 ,略述管见 ,供参考 .解析几何中涉及到动直线 l:l1 λl2 =0与直线或圆锥曲线相交的一些问题 ,解答的关键往往是确定直线 l所经过的定点 .如能找到这个定点 (通常是隐含的 ) ,并能巧妙应用 ,问题就会迎刃而解 .1　求参数的取值范围例 1　已知两点 A(- 4 ,- 5)、B(2 ,1 ) ,直线 l:(a - 2 ) x - (a 3 ) y 5(a 1 ) =0 …     

圆的切点弦方程及其应用

1.结论当点M(x0,y0)在⊙O:x2+y2=r2外时,过P(x0,y0)向⊙O:x2+y2=r2所做两条切线的切点弦的方程为l:x0x+y0y=r2.2.简析如图1,过M(x0,y0)作⊙O的两条切线,切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则过点A(x1,y1)的     

阿波罗尼斯圆与数学巨匠阿波罗尼斯

1 阿波罗尼斯圆 《平面解析几何》(必修)课本(P68)上,有这样的一个例题: 已知一曲线是与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离比为1/2的点的轨迹,求这个曲线的方程,并画出曲线.是:以C(-1,0)为圆心,以 r=2为半径的圆,即(x 1)2 y2=4,如图1. 再看一例: 设复数z=x     

利用坐标转移法求轨迹

我们先看下面一道习题: 例1 从一个定点M1(α,b)到圆x2 y2=r2上任意一点Q作线段,M点内分M1Q成2:1,求点M的轨迹方程.(《解析几何》P112复习参考题二,5) 分析这里有两个动点Q和M,并且点M随点Q的运动而运动.因为点Q的运动规律(即轨迹方程x2 y2=r2)已经知道,所以我们只要找出点M与点Q的某种关系,便可由点Q即知点M的运动轨迹. 解设点Q的坐标为(x0,y0),点M的坐标为(x,y),由已知条件得     

你知道弦长公式吗

<正>近年来,二次函数的综合题成了中考题目的亮点,许多题目都要用弦长公式来解,为此,本文就弦长公式及其应用介绍于下,供同学们参考.抛物线y=ax²+bx+c(b2+bx+c(b²-4ac>0)与x轴交A(x_1,0),B(x_2,0)两点,线段AB的长叫做弦长,因为x_1和x_2是方程ax2-4ac>0)与x轴交A(x_1,0),B(x_2,0)两点,线段AB的长叫做弦长,因为x_1和x_2是方程ax²+bx+c=0的两根,所以     

巧用方程根解题两例

例1 已知抛物线y2=3x上的两点A,B 的纵坐标恰好是关于y的方程y2 py q=0 (p,q为常数)的两个实根,求直线AB的方程．解设点A(x1,y1),B(x2,y2),因为点 A,B在抛物线上,所以y12=3x1,y22=3x2．又因A,B的纵坐标y1,y2是关于y的方程y2 py q=0(p,q为常数)的两个实根,所