关于变上限函数求导的教学实例

从变上限函数的基本概念以及求导公式出发,通过几组教学实例,阐述对简单变上限函数、复合变：上（下）限函数、以及需要作变量替换才能求导的变上限函数求导的方法．     

扩大的积分微分方程组的解

提出几类扩大的积分微分方程组,利用函数迭代法及变上限函数的求导法则,证明其可积性,得出相应的求解公式.     

一个变限函数的隐含条件

针对涉及变上限函数求导的一道常见习题所引起的疑惑．指出其中具有容易被忽略的隐含条件．用分析的方法,通过定义一个定积分的变上限函数,可证明变上限函数F（x）=∫0^x（x—t）^nf（t）山必须满足的n＋1个隐含条件．     

积分微分方程组的若干求解公式

提出三类积分微分方程组,利用迭代法及变上限函数的求导法则,论证其可积性,给出这些积分微分方程组的求解公式,是对文献中内容的深化与拓广.     

变上限积分的特性及应用

变上限积分是一个很重要的函数,在我们的微积分教材中,用它来证明了微积分基本公式.许多其它问题用它处理也是既方便又简单.这些主要用到它的两条特性:①变上限积分在积分区间上是可导的,且其导函数就是被积函数;②变上限积分和被积函数比起来,其可导的阶数大1.下面举几例说明其特性及应用.     

变上限函数在解题中的应用

变上限函数在解题中的应用李效忠（合肥工业大学，合肥２３０００９）现行微积分教材为了证明定积分中著名的牛顿－莱布尼兹公式而引入了变上限函数（即积分上限的函数）．本文将通过实例说明如何利用变上限函数来解一类与定积分有关的问题，从这些例子也可看出，如果能恰...     

浅谈一元变上限积分的等价无穷小

本文探讨了当一元变上限积分上限和被积函数均为无穷小量时,分别的用另一等价无穷小替换.在一定条件下,替换前的变上限积分与替换后的变上限积分等价无穷小.     

关于二重变上限积分的等价无穷小

将二重变上限积分看作是一类特殊的一元诱导函数,本文给出了两种二重变上限积分的定义方式,分别对积分限和被积函数做相应的等价无穷小量替换.在一定的条件下,替换后的二重变上限积分与替换前的二重变上限积分是等价无穷小,从而得到一类求极限的方法,并给出了应用实例.     

有关变上限的积分所确定的函数的几个问题

在通用的高等数学教材中,引入变上限函数F(x)=integeal from n=(?) to (?)(f(t)dt),导出了连续函数原函数存在定理,本文利用这一结果进而讨论变上限函数的几个性质:     

关于一元含参量变上限积分的等价无穷小

本文应用等价无穷小量理论,对一类一元含参量变上限积分,在满足一定条件下,分别对积分限和被积函数做相应的等价无穷小量替换.,使替换后的一元含参量变上限积分与替换前的一元含参量变上限积分是等价无穷小.     

对曲线积分与路径无关的一个必要条件的改进证法

本文利用积分上限函数的求导法则，给出了对曲线积分与路径无关的必要条件的改进证法。它较通常证法简洁，且同时给出了确定函数ｕ（ｘ，ｙ）的具体方法。     

积分上限函数相关问题的探讨

探讨积分上限函数的七个相关问题,给出对应例题和解析过程,旨在使学生对积分上限函数有更深的理解和掌握.     

分段函数极值问题的研究

通过引进单侧极值的概念,给出了极值存在的充分必要条件,并进一步分析了分段函数单侧极值存在的充分条件.借助符号函数,证明了适用于振荡函数极值存在问题的充分必要条件.对于求导比较复杂或导函数在去心左(右)邻域内变号的极值问题,提出了极值存在的一种充分条件.最后,通过一些有代表性的例子说明了这些方法的有效性.     

关于几类积分的微分算子级数解法

利用微分算子级数法 ,将若干类广义积分及变上限函数的积分问题化为微分运算 ,介绍它们转换的条件、公式及实例 .     

例析设而不求解答奇数问题

<正>我们知道,超越方程中学阶段学生难以求出具体的实根,但在导数问题中,经常会遇到两类问题.第一类,解题过程中需用到函数的零点,当我们把函数的零点转化为方程的根的时候,面对超越方程,难以求出其实根.第二类,在可导函数极值问题中,首先求导,令导数为零,求出可疑极值点.但有些函数的导函数为超越函数,其零点(可疑极值点)难以求出.     

基于罗尔定理的两个积分中值问题

以变上限积分函数为纽带,建立了微分中值问题与积分中值问题的联系,构造相应辅助多项式,应用罗尔定理,证明两个带有二阶导数的积分中值问题.     

三种复合函数与导函数问题的讲解

针对学生在复合函数求导过程中容易混淆df[g(x)]/dx、f′[g(x)]和f′[g′(x)]三种类型求导的问题,通过两道典型例题,帮助学生理解df[g(x)]/dx、f′[g(x)]和f′[g′(x)]的确切含义.     

关于积分方程的求解

在高等数学中,积分方程求解的方法是通过将其求导一次或数次转化为微分方程来进行的.值得注意的是:这类方程的定解条件往往隐含在给定的积分方程中,因此需要把它挖掘出来,从而使积分方程转化为一个初始问题.下面通过举例予以说明.例1　求满足方程∫x0f(t)dt=x ∫x0tf(x-t)dt的函数f(x).解　本题中由于变量x同时出现在积分上限和被积函数内,应先通过变量替换使被积函数内不含x,再利用变上限定积分的求导消去积分符号.令x-t=u,则dt=-du.于是∫x0tf(x-t)dt=-∫0x(x-u)f(u)du=x∫x0f(u)du-∫x0uf(u)du原方程变形为∫x0f(t)dt=x x∫x0f(t)dt-∫x0…     

两个加权积分中值问题的推广

利用常数K值法来构造与变上限积分有关的辅助函数,应用微分中值定理给出两个带有二阶导数的积分中值问题的加权推广.     

导数公式推导的启发式教学方法

针对一般微积分教材中函数的积、商求导法则、反三角函数的求导公式和参数式函数的二阶求导公式,提供几种简明易懂的启发式教学方法,对导数的运算有很好的参考价值.