The finite element solutions of laminar flow and combined convection of air in a staggered or an in-line tube-bank

A finite element method is used to solve the full Navier-Stokes and energy equations for the problems of laminar combined convection from three isothermal heat horizontal cylinders in staggered tube-bank and four isothermal heat horizontal cylinders in in-line tube-bank. The variations of surface shear stress, pressure and Nusselt number are obtained over the entire cylinder surface including the zone beyond the separation point. The predicted values of total, pressure and friction drag coefficients, average Nusselt number and the plots of velocity flow fields and isotherms are also presented.

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Die Finite-Elemente-Lösung von laminarer Strömung und kombinierter Konvektion von Luft in einer versetzten oder fluchtenden Rohranordnung

Zusammenfassung Eine Methode der finiten Elemente wird zur Lösung der vollständigen Navier-Stokes- und der Energiegleichung für die Probleme der laminaren kombinierten Konvektion an drei isothermen geheizten horizontalen Zylindern in versetzter Rohranordnung sowie für vier isotherme geheizte horizontale Zylinder in fluchtender Anordnung verwendet.Die Veränderung der Wandschubspannung, des Druckes und der Nusselt-Zahl werden für die gesamte Zylinderoberfläche, einschließlich des Bereiches nach dem Ablösepunkt, bestimmt. Die Werte des gesamten Widerstandsbeiwertes aufgrund von Druck und Reibung, die durchschnittliche Nusselt-Zahl und die Diagramme des Geschwindigkeitsfeldes und der Isothermen werden ebenfalls aufgezeigt.

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Nomenclature C specifie heat - C _D total drag coefficient - C _f friction drag coefficient - C _p pressure drag coefficient - D diameter of cylinder,L=2R ₀ - G, g gravitational acceleration - Gr Grashof number, g(T_w–T )D ³/v ² - h local heat transfer coefficient - K thermal conductivity - L spacing between the centers of cylinder - M _l shape function - N _i shape function - Nu, local and average Nusselt numbers - P dimensionless pressure, p^*/u ² - p ^*,p pressure, free stream pressure - Pe Peclet number,RePr - Pr Prandtl number, c/K - Ra Rayleigh number,Gr Pr - Re Reynolds number,Du /v - R ₀ radius of cylinder - T temperature - T _w temperature on cylinder surface with fixed value - T free stream temperature - v dimensionless x-direction component of velocity,v ^*/u - u ^* x-direction component of velocity - u free stream velocity - v dimensionless Y-direction component of velocity,v ^*/u - v ^* Y-direction component of velocity - X x-direction axis - x dimensionless x-direction coordinate,x ^*/D - x^* x-direction coordinate - Y Y-direction axis - y dimensionless Y-direction coordinate,y ^*/D - y ^* Y-direction coordinate Greek symbols coefficient of volumetric thermal expansion - plane angle - dynamic viscosity - kinematic viscosity, / - density of fluid - _w dimensionless surface shear stress, _* ^w /u ² - skw/* surface shear stress - dimensionless temperature,      

Die Viskosität reiner Flüssigkeiten in der Nähe der kritischen Temperatur

Zusammenfassung In einem Druck-Temperatur-Diagramm mit der Viskosität als Parameter sind die Isoviskosen reiner Flüssigkeiten in der Nähe der kritischen Temperatur in guter Näherung Geraden. Unter Berücksichtigung dieses phänomenologischen Sachverhaltes sowie einiger Gesetzmäßigkeiten am kritischen Punkt gelingt es, eine Gleichung für dieses Zustandsgebiet aufzustellen, in der nur zwei Konstanten den Meßwerten angepaßt werden müssen. Diese Gleichung wird auf Wasser und Para-Wasserstoff angewandt. Bei Wasser gibt die Gleichung im Bereich von 300 °C bis 374 °C, in dem bisher keine international anerkannte Interpolationsgleichung existiert, die Werte der internationalen Rahmentafel [1] innerhalb deren Toleranz wieder. Sie ist daher als Interpolationsgleichung für diesen Bereich geeignet.

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The viscosity of pure liquids near the critical temperature

In a pressure-temperature-viscosity-diagram, the lines of constant viscosity of pure liquids near the critical temperature are straight to a good approximation. This phenomenological fact as well as some laws at the critical point lead to an equation for the viscosity in which only two constants have to be adjusted to the experimental values. The equation is evaluated for water and parahydrogen. The results for water are within the limits of the International Seeleton Tables in the region between 300 °C and 374 °C where no international equation for interpolation exists.

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Formelzeichen T Temperatur - T^* Grenztemperatur für Bereich I - T' Grenztemperatur für die Restviskosität - T_kr kritische Temperatur - T_N normierte Temperatur; T_N=T/T_kr - A₀(T) Viskosität auf der Siedelinie - A₁(T) Steigung der Isothermen im ,p, T-Bild - p Druck - P_kr kritischer Druck - P_N normierter Druck: p_N = p/p_kr - Psätt Druck auf der Siedelinie bei der TemperaturT - Dichte - _kr kritische Dichte - _N normierte Dichte; _N=/kr - Viskosität - _kr kritische Viskosität - _kr normierte Viskosität; _N=/_kr - Restviskosität - (_N) Funktion in Gl. (3) - (_N) Punktion in Gl. (3) - Ri Riedel-Zahl nach Gl. (4) - spezifisches Volum     

Free convection from a vertical plate with concentrated and distributed thermal sources

An analysis is developed for the laminar free convection from a vertical plate with uniformly distributed wall heat flux and a concentrated line thermal source embedded at the leading edge. We introduce a parameter=(1 +Q _L/Q_w)^–1=(1 + Ra_L/Ra_w)^–1 to describe the relative strength of the two thermal sources; and propose a unified buoyancy parameter=( Ra_L+ Ra_w)^1/5 with=1/(1 +Pr ^–1) to properly scale the dependent and independent variables. The variables are so defined that the resulting nonsimilar boundary-layer equations can describe exactly the buoyancy-induced flow from the dual sources with any relative strength to fluids of any Prandtl number from very small values to infinity. These nonsimilar equations are readily reducible to the self-similar equations of an adiabatic wall plume for=0, and to those of free convection from uniform flux plate for=1. Rigorous finite-difference solutions for fluids of Pr from 0.001 to are obtained over the entire range of from 0 to 1. The effects of both relative source strength and Prandtl number on the velocity profiles, temperature profiles, and the variations of wall temperature, are clearly illustrated.

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Freie Konvektion an einer vertikalen Platte mit einer konzentrierten und einer gleichmäßig verteilten Wärmequelle

Zusammenfassung Für die freie Konvektion an einer vertikalen Platte mit einer gleichmäßig verteilten Wandwärmestromdichte und einer in der Vorderkante eingebetteten linienförmigen Wärmequelle wird eine Berechnungsmethode entwickelt. Zur Beschreibung der relativen Stärke der beiden Wärmequellen führen wir einen Parameter=(1 + Q_L/Q_w)^–1=(1 + Ra_L/Ra_w)^–1 ein und schlagen einen vereinheitlichten Auftriebsparameter=( Ra _L+ Ra _w)^1/5 mit=1/(1 +Pr ^–1 für die Skalierung der abhängigen und unabhängigen Variablen vor. Die Variablen werden so definiert, daß mit den sich ergebenden unabhängigen Grenzschichtgleichungen die von den beiden Wärmequellen beliebiger Stärke verursachte Auftriebsströmung von Fluiden beliebiger Prandtl-Zahl genau beschrieben werden kann. Diese unabhängigen Gleichungen können ohne weiteres auf die selbstähnlichen Gleichungen für den Fall einer lokalen Wärmezufuhr an einer sonst adiabatischen Wand für=0 und jenen der freien konvektion an einer Platte mit einheitlichem Wärmestrom für=1 zurückgeführt werden. Für Fluide mit der Prandtl-Zahl zwischen 0,001 und Unendlich werden nach der strengen finite Differenzen-Methode Lösungen im Bereich von zwischen 0 und 1 erhalten. Der jeweilige Einfluß der relativen Quellenstärke und der Prandtl-Zahl auf die Geschwindigkeits- und Temperaturprofile sowie die Veränderung der Wandtemperatur werden deutlich dargestellt.

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Nomenclature C _f friction coefficient - C _p specific heat - f reduced stream function - g gravitational acceleration - k thermal conductivity - L width of the plate - Nu local Nusselt number - Pr Prandtl number - q _w wall heat flux - Q _L heat generated by the line source - Q _w heat released by the uniform-flux wall from 0 tox, q _w Lx - Ra _L local Rayleigh number, g T _L ^* x ³/( ) - Ra _w local Rayleigh number,g T _w ^* w ³/( ) - T fluid temperature - T temperature of ambient fluid - T _L ^* characteristic temperature of the line source,Q _{L/(C p} L) - T _w ^* characteristic temperature of the uniform flux wall, =q _w x/k=Q _w /(C _p L) - u velocity component in then-direction - U₀ dimensionless velocity,u/(/x) Ra _L ^2/5 - U ₁ dimensionless velocity,u/(/x) Ra _w ^2/5 - velocity component in they-direction - x coordinate parallel to the plate - y coordinate normal to the plate - thermal diffusivity - thermal expansion coefficient - pseudo-similarity variable,(y/x) - dimensionless temperature, (T–T )/(T _L ^* +T _w ^* ) - ₀ dimensionless temperature, (Ra_l)^1/5 (T–T )/T _L ^* - ₁ dimensionless temperature, (Ra_w)Ra_w)^1/5 (T–T )/T _w ^* - (Ra _L+Ra_w)^1/5 - kinematic viscosity - (1 +Ra _L/Ra_w)^–1=(1 +T _L ^* /T _w ^* )^–1=(1 + Q_L/Q_w)^–1 - density - Pr/(1 +Pr) - _w wall shear stress - stream function     

Wärmeübergang bei freier Konvektion um elliptische Rohre

Zusammenfassung Es wird über interferometrische Messungen des Wärmeübergangs bei freier Konvektion um achsensymmetrische elliptische Körper berichtet. In den Messungen wurde sowohl der örtliche als auch der mittlere Wärmeübergangskoeffizient für verschiedene Schlankheitsgrade des elliptischen Querschnittes bei horizontaler Rohrachse erfaßt. Variiert wurde auch die Orientierung der Hauptachse der Ellipse zwischen horizontaler und vertikaler Ausrichtung. Zum Vergleich wurden auch Messungen an zylindrischen Rohren durchgeführt.Aufbauend auf den experimentellen Ergebnissen wurden empirische Gleichungen entwickelt, die den örtlichen und den mittleren Wärmeübergangskoeffizienten an horizontalen, runden Zylindern bei freier Konvektion vorhersagen lassen. Für elliptische Zylinder wird eine einfache Gleichung mitgeteilt, die den mittleren Wärmeübergangskoeffizienten abhängig von einem Formkoeffizienten angibt.

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Heat transfer with natural convection around elliptical tubes

An interferometric study of heat transfer with free convection around elliptical axisymmetric bodies is presented. Measurements of local and average heat transfer coefficients were performed with horizontally orientated elliptical cylinders of various slenderness. The orientation of the major axis of the ellipse was changed between zero and vertical inclination. For comparison some measurements were also done with cylindrical tubes.Based on the experimental data, empirical correlations were elaborated, describing the local and the global heat transfer around a cylindrical tube. For elliptical tubes an equation is given for the average heat transfer coefficient, in which a geometrical coefficient takes in account the slenderness of the ellipse.

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Formelzeichen a Temperaturleitfähigkeit - a große Achse der Ellipse - b kleine Achse der Ellipse - c _p spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck - D gleichwertiger Durchmesser - F Ellipsenfläche - g Erdbeschleunigung - T thermodynamische Temperatur - T _m mittlere Temperatur - S Bogenlänge der Ellipse - r Radius - L charakteristische Länge - U Ellipsenumfang - örtlicher Wärmeübergangskoeffizient - mittlerer Wärmeübergangskoeffizient - volumetrischer (thermischer) Ausdehnungskoeffizient - kinematische Zähigkeit - Dichte - Wärmeleitfähigkeit - der vom unteren Stagnationspunkt gerechnete Rohrumfangwinkel - Winkel zwischen der großen Achse der Ellipse und der horizontalen Richtung - Formkoeffizient der Ellipse, d. h. Verhältnis von senkrechter Achse zu horizontaler Achse der Ellipse Indizes w Wand - u Umgebung Kennzahlen Nu örtliche Nußeltzahl - Nu mittlere Nußeltzahl - Ra Gr·Pr=gL ³ (T _w –T _u )/ · a Rayleighzahl - Gr gL ³(T _w –T _u /² Grashofzahl - Pr v/a Prandtlzahl     

Begrenzungen für die Anwendbarkeit von Preston-Rohren in Kanalströmungen

Zusammenfassung Abweichungen der Geschwindigkeitsverteilung in Wandnähe von einem universellen Gesetz verursachen Fehler bei der Bestimmung der Wandschubspannung mittels Preston-Rohren, die in der Kreisrohrströmung geeicht wurden. Mit Hilfe des in [3] abgeleiteten Geschwindigkeitsgesetzes und geeigneter Annahmen über die Meßfehler von Pitot-Sonden werden für die Kanalströmung die möglichen Abweichungen von der Preston-Rohr-Eiehkurve und die daraus resultierenden Fehler der zu messenden Wandschubspannung berechnet und in Abhängigkeit eines die örtliche Geometrie kennzeichnenden Parameters dargestellt.

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Limitations on the use of preston tubes in channel flow

Deviations of the velocity distribution near a wall from a universal law cause errors in wall shear stresses determined by means of the Preston tube calibrated in pipe flow. Using the relationship for the velocity distribution presented in [3] and suitable assumptions on Pitot tube errors possible deviations from the Preston tube calibration curve and resulting errors in wall shear stress are calculated and presented as a function of a local geometry parameter for channel flow.

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Bezeichnungen a Profillänge zwischen benetzter Wand und Geschwindigkeitsmaximum - C _I Konstante im Geschwindigkeitsgesetz - c_W Korrekturfaktor für Wandeinfluß bei Pitot-Rohr-Messungen - c_T Korrekturfaktor für den Einfluß der turbulenten Geschwindigkeitsschwankungen bei Pitot-Rohr-Messungen - c _S Korrekturfaktor für den Scherströmungseinfluß bei Pitot-Rohr-Messungen - d Preston-Rohr-Durchmesser - die örtliche Geometrie kennzeichnender Parameter - P dynamische Druckanzeige des Preston-Rohres - r _m radiale Koordinate des Ortes maximaler Geschwindigkeit - R Krümmungsradius des benetzten Umfanges - Re Reynoldszahl - t Konstante im Gesehwindigkeitsgesetz - U örtliche Strömungsgeschwindigkeit - Geschwindigkeitsparameter - u _p ⁺ der Preston-Rohr-AnzeigeP entsprechender Geschwindigkeitsparameter - x ^* dimensionsloser Parameter für die dynamische Druckanzeige des Preston-Rohres - y Wandabstand - Wandabstandsparameter - dem Mittelpunkt des Preston-Rohres entsprechender Wandabstandsparameter - y ^* dimensionsloser Parameter für die Wandschubspannung - Konstante im Geschwindigkeitsgesetz - kinematische Zähigkeit - Dichte - Wandschubspannung     

Band radiation heat transfer in open system filled with isothermal,emitting and absorbing gas

The new method of band calculation of radiation heat transfer in open enclosures filled wihth isothermal gas is presented. Introduced generalized band configuration factors enable the adaptation of existing methods systems without active gases for systems filled with optically active media. The new procedure allows the calculation of complex systems in equilibrium state to be performed.

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Band- Wärmeübertragung durch Strahlung in einem offenen System mit isothermem Gas emittierender und absorbierender Eigenschaften

Zusammenfassung In der Arbeit ist eine neue Methode zur Bandberechnung der Wärmeübertragung durch Strahlung in Systemen mit isothermem Gas vorgestellt. Der vorgeschlagene General-Band-Konfigurationskoeffizient ermöglicht die Nutzung der bisher eingesetzten Rechenmodelle ohne aktives Gas für Systeme mit optisch aktivem Medium. Der dargestellte Rechenalgorithmus macht es möglich, Berechnungen von komplexen Systemen anzustellen, die sich im thermischen Gleichgewicht befinden.

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Nomenclature matrixA defined by Eq. (8) - A _l average absorption coefficient or area - a _l band average absorptivity - a _kj (l) matrix elements defined by Eq. (9) - matrixB defined by Eq. (10) - _l matrix C defined by Eq. (11) - e _{lc k} band emissive power - e _c hemispherical emissive power - F configuration factor - generalized band configuration factor - h_l,k band effective energy flux - j, k indices denoting individual surfaces - l band - N number of real surfaces in a spatial system - n total number of surfaces (real and abstract) - Q _{s, p} dissipation loss - q _k energy flux - q _{l, k} band energy flux - T absolute temperature - _{l, k} selective emission coefficient - _l ,k–j transmissivity - _l ,k-j emissivity of medium - _k -j Kronecker delta - wave number - wavelength     

Einflu\ der TemperaturabhÄngigkeit der Stoffwerte auf den WÄrmeübergang an der laminar überströmten ebenen Platte

Zusammenfassung Der Einflu\ der TemperaturabhÄngigkeit der Stoffwerte auf den WÄrmeübergang ist zur Zeit noch nicht befriedigend geklÄrt. Da Messungen des WÄrmeübergangs stets mit mehr oder weniger gro\en Fehlern behaftet sind, und da der Einflu\ der TemperaturabhÄngigkeit für die einzelnen Stoffwerte nicht getrennt untersucht werden kann, ist es experimentell praktisch nicht möglich, Korrekturfaktoren zu bestimmen. Es bleibt daher nur der Versuch, rechnerisch dieses Problem anzugehen, wobei es wichtig ist, Verfahren zu benutzen, die nicht zu lange Rechenzeiten erfordern, um eine gro\e Anzahl von Parameterstudien durchzuführen.über eine solche Rechnung für eine lÄngsangeströmte, ebene Platte bei laminarer Strömung wird berichtet. Dabei konnte auch der Dissipationsterm berücksichtigt werden.Bereits aus der Form der zu lösenden Differentialgleichungen ergibt sich, da\ die VerhÄltnisse der Stoffwerte einzeln berücksichtigt werden müssen, da sich die Stoffwerte in den Differentialgleichungen nicht zu einer Prandtl-Zahl zusammenfassen lassen. Die Ergebnisse der Parameterstudien werden diskutiert und mit den bisher verwendeten Korrekturfaktoren verglichen.

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Influence of temperature dependent physical properties on the heat transfer in the laminar boundary layer of a parallel affluxed flat plate

The influence of temperature dependent properties on the heat transfer is not jet satisfying claryfied. Measurements of heat transfer contain more ore less great faults, and it is practically not possible to investigate the influence of the temperature dependence for particular physical properties separately. Therefore, the only possibility is to examine this problem numerically. Hereby it is important to use methods which don't require too much computing time in order to study a great number of parameters.In the following article such a numerical method for the calculation of a laminar boundary layer will be introduced. By this method it is also possible to consider the dissipation.Already the form of the differential equations, which are to be solved, shows, that the influence of a variable property fluid has to be considered separately, because it is not possible to combine all physical properties with the Pr-number. The results of the parameter studies will be discussed and will be compared with the well known correction terms.

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Bezeichnungen C dimensionslose Stoffwertkorrektur - c _p spezifische WÄrmekapazitÄt - Eckertsche Kenngrö\e - dimensionslose Stromfunktion - erste Ableitung der dimensionslosen Stromfunktion - n Exponent des ZÄhigkeitstermes (Gl. (43)) - Nusseltsche Kennzahl - Pr=c_p/ Prandtlsche Kennzahl - WÄrmestromdichte - Reynoldsche Kennzahl - r Recovery-Faktor (Gl. (50)) - T Temperatur - t _E Eigentemperatur - u,u Strömungsgeschwindigkeit inx-Richtung - Strömungsgeschwindigkey-Richtung - WÄrmeübergangskoeffizient - dimensionslosey-Koordinat - dimensionslose Temperatur - Dichte - dynamische ViskositÄt - v kinematische ViskositÄt - WÄrmeleitfÄhigkeit Indizes au\erhalb der Grenzschicht - w an der Wand Vorgetragen auf der Sitzung des GVC-Fachausschusses WÄrme- und Stoffübertragung am 30. 3. 1981 in Freiburg     

Toward a viscoelastic modelling of the injection molding of polymers

Summary By using theLeonov viscoelastic constitutive equation, an idealized problem has been solved for onedimensional, unsteady, non-isothermal flow of polymer between two parallel plates and the subsequent non-isothermal relaxation following cessation of flow. Numerical results are presented for the time dependence of the pressure gradient, the gapwise distribution of linear velocity, shear rate, shear stress and normalstress differences, together with the components of birefringence in different planes. Comparison of the present predictions for the pressure gradient with results based upon an inelastic model indicate close agreement whereas the corresponding predictions for normal-stress differences are found to be markedly different from those for the inelastic case.The model is applied to the injection-molding process which is treated in terms of a filling and a cooling stage. Final results are given in terms of the distribution of residual stresses and associated birefringences in the molded part, as influenced by the rheological and thermal properties of the polymer and the processing conditions. The theoretical predictions are compared with birefringence measurements in the literature. Reasonable agreement is obtained for the position and value of maximum birefringence in the 1–2 plane although the birefringence predictions in the 1–3 and 2–3 planes are found to be markedly smaller than the measured values. The present theory indicates that, for a given polymer, the main factors affecting residual stresses and birefringence are melt temperature and flow rate, both of which should be held at the highest permissible levels.

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Zusammenfassung Das idealisierte Problem einer eindimensionalen, instationären, nicht-isothermen Strömung eines Polymeren zwischen zwei parallelen Platten sowie das der nichtisothermen Relaxation, die auf das Anhalten dieser Strömung folgt, wird mit Hilfe der viskoelastischen Stoffgleichung vonLeonov gelöst. Numerische Ergebnisse werden für die Zeitabhängigkeit der folgenden Größen gegeben: des Druckgradienten, der Verteilung der linearen Geschwindigkeit, der Schergeschwindigkeit, der Schubspannung, der Normalspannungsdifferenzen sowie der Komponenten der Doppelbrechung in verschiedenen Ebenen. Die hier vorliegenden Voraussagen sind bezüglich des Druckgradienten in guter Ubereinstimmung mit denen, die auf dem inelastischen Modell beruhen, unterscheiden sich von diesen aber wesentlich bezüglich der Normalspannungsdifferenzen.Das Modell wird auf den Spritzgußprozeß angewandt. Dieser wird als zweistufiger Prozeß, bestehend aus einer Abfüll- und einer Kühlstufe, behandelt. Numerische Ergebnisse werden für die Verteilung der Restspannungen und der assoziierten Doppelbrechung im Formteil gegeben, so wie sie durch die rheologischen und thermischen Eigenschaften des Polymeren und der Prozeßbedingungen beeinflußt werden. Die theoretischen Voraussagen für die Doppelbrechung werden mit Meßergebnissen aus der Literatur verglichen. Gute Übereinstimmung wird für die Lage und den Wert der maximalen Doppelbrechung in der 1–2 Ebene erzielt, während die Voraussagen für die Werte der Doppelbrechung in den 1–3 und 2–3 Ebenen wesentlich kleiner als die gemessenen Werte ausfallen. Die vorliegende Theorie zeigt an, daß für ein gegebenes Polymer die Schmelzentemperatur und die Einspritzgeschwindigkeit als Hauptfaktoren zu werten sind, die die Restspannungen und die Doppelbrechung beeinflussen. Diese sollen auf dem höchstzulässigen Stand gehalten werden.

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Nomenclature a _T temperature-shift factor - b thickness of channel or mold - C stress-optical coefficient - C _ij,k components of elastic strain tensor ink ^th relaxation mode - G storage modulus - G loss modulus - L length of channel or mold - n ₂₂ – n₃₃ birefringence in 2–3 plane - n ₁₁ – n₃₃ birefringence in 1–3 plane - n ₁₁ – n₃₃ gapwise-averaged birefringence in 1–3 plane - N number of modes retained in Leonov model, see eq. [9] - N ₁ first normal-stress difference, ₁₁ – ₂₂ - N ₂ second normal-stress difference, ₂₂ – ₃₃ - N ₃ normal-stress difference, ₁₁ – ₃₃ - p isotropic pressure - s dimensionless rheological parameter (0 <s < 1) - t time - t _fill filling time - T temperature - T _g glass-transition temperature - T ₀ inlet melt temperature - T _ref reference temperature, see eq. [21] - T _w mold temperature or channel wall temperature - u velocity inx direction - U average velocity inx direction - W width of channel or mold - x coordinate in flow direction - y coordinate in gapwise direction - z coordinate in width direction - thermal diffusivity of polymer melt - strain rate - , dimensionless strain rate - n birefringence in 1–2 plane - p pressure loss in channel or mold - apparent viscosity - _k viscosity ink ^th relaxation mode - ₀ zero-shear-rate viscosity - _k relaxation time ink ^th relaxation mode - = —p/x - µ shear modulus - µ _k shear modulus ink ^th relaxation mode - _ij components of deviatoric stress tensor - frequency With 14 figures and 2 tables     

Perturbation analysis for periodic heat transfer in radiating fins

A perturbation analysis is presented for periodic heat transfer in radiating fins of uniform thickness. The base temperature is assumed to oscillate around a mean value. The perturbation expansion is carried out in terms of dimensionless amplitude of the base temperature oscillation. The zero-order problem which is nonlinear, and corresponds to the steady state fin behaviour, is solved by quasilinearization. A method of complex combination is used to reduce both the first and the second order problems to two, coupled linear boundary value problems which are subsequently solved by a noniterative numerical scheme. The second-order term is composed of an oscillatory component with twice the frequency of base temperature oscillation and a time-independent term which causes a net change in the steady state values of temperature and heat transfer rate. Within the range of parameters used, the net effect is to decrease the mean temperature and increase the mean heat transfer rate. This is in constrast to the linear case of convecting fins where the mean values are unaffected by base temperature oscillations. Detailed numerical results are presented illustrating the effects of fin parameter N and dimensionless frequency B on temperature distribution, heat transfer rate, and time-average fin efficiency. The time-average fin efficiency is found to reduce significantly at low N and high B.

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Störungsanalyse für periodische Wärmeübertragung an Strahlungsrippen

Zusammenfassung Eine Störungsanalyse wird für periodische Wärmeübertragung in Strahlungsrippen gleicher Dicke vorgelegt. Die Fußtemperatur wird als um einen Mittelwert schwingend angenommen. Die Störungsentwicklung wird in Termen einer dimensionslosen Amplitude e dieser Schwingung angesetzt. Das Problem nullter Ordnung, das nichtlinear ist und dem stationären Verhalten der Rippe entspricht, wird durch Quasilinearisierung gelöst. Eine Methode der komplexen Kombination wird angewandt, um die Probleme erster und zweiter Ordnung auf zwei gekoppelte Grenzwertprobleme zu reduzieren, die nacheinander nach einem nichtiterativen Schema gelöst werden. Der Term zweiter Ordnung besteht aus einer Schwingungskomponente mit der doppelten Frequenz der Schwingung der Fußtemperatur und einem zeitunabhängigen Term, der eine Nettoänderung der stationären Werte der Temperatur und der Wärmeübertragung verursacht. Im verwendeten Bereich der Parameter tritt eine Abnahme der mittleren Temperatur und eine Zunahme der mittleren Wärmeübertragung auf. Das steht im Gegensatz zum linearen Fall der Konvektionsrippe, bei dem die Mittelwerte durch Schwingungen der Fußtemperatur nicht beeinflußt werden. Detaillierte numerische Ergebnisse zeigen die Einflüsse des Rippenparameters N und der dimensionslosen Frequenz B auf Temperatur Verteilung, Wärmeübertragung und zeitliches Mittel des Rippengütegrades. Dieses zeitliche Mittel nimmt merklich ab bei kleinem N und hohem B.

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Nomenclature b fin thickness - B dimensionless frequency, L²/ - E emissivity - f₀, f₁ functions of X - g₀, g₁, g₂ functions of X - h₀, h₁, h₂ functions of X - k thermal conductivity - L fin Length - N fin parameter, 2EL²T_bm/bk - q heat transfer rate - Q dimensionless heat transfer rate, qL/kbT_bm - t time - T temperature - T_b fin base temperature - T_S effective sink temperature - T_bm mean fin base temperature - x axial distance - X dimensionless axial distance, x/L - dimensionless amplitude of base temperature (s. Eq.2) - thermal diffusivity - instantaneous fin efficiency - time-average fin efficiency - _ss steady state fin efficiency - dimensionless temperature, T/T_bm - ₀ zero-order approximation - ₁ first-order approximation - ₂ second-order approximation - _2s steady component of ₂ - , ₁, ₂ constants - complex function of X - ₁ real part of - ₂ imaginary part of - complex function of X - ₁ real part of Y - ₂ imaginary part of - dimensionless time, t/L² - frequency of base temperature oscillation     

Influence of wall conduction on natural convection in an inclined square enclosure

A numerical study has been made of natural convection in an externally heated inclined enclosure with finitely conducting side walls. Results indicate that conduction along the enclosure walls has a stabilizing influence onthe convective motion in the enclosure and is therefore responsible for reduced heat transfer from the enclosure. The average Nusselt number along the hot and cold surfaces is observed to decrease with decreasing conductivity ratio and increasing wall thickness. The heat flux along the side walls is observed to reverse its direction and therefore, the Nusselt number along the side wall interfaces can be either positive or negative.

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Einfluß der Wärmeleitung in der Wand auf die freie Konvektion in einem geneigten quadratischen Raum

Zusammenfassung Es wurde eine numerische Studie der freien Konvektion in einem von außen beheizten geneigten Raum mit endlicher Wärmeleitung in den Seitenwänden durchgeführt. Die Ergebnisse zeigen, daß die Leitung längs der Raumwände einen stabilisierenden Einfluß auf die Konvektionsbewegung in dem Raum hat und deshalb für die Verringerung des Wärmeübergangs aus dem Raum verantwortlich ist. Es wurde beobachtet, daß die mittlere Nusselt-Zahl längs der warmen und kalten Oberflächen mit abnehmendem Wärmeleitverhältnis und zunehmender Wandstärke geringer wird. Es wurde auch beobachtet, daß der Wärmestrom längs der Seitenwände seine Richtung umkehrt und deshalb die Nusselt-Zahl an den Oberflächen längs der Seitenwand entweder positiv oder negativ sein kann.

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Nomenclature g gravitational acceleration - H inside height of the enclosure - k thermal conductivity of fluid - k _w thermal conductivity of enclosure walls - k _r k _w/k/Pr - L inside width of the enclosure - n coordinate direction normal to an interface - Nu Nusselt number - Nusselt number along the cold wall interface and its average value - Nusselt number along the hot wall interface and its average value - Nusselt number along the left wall interface and its average value - Nusselt number along the right wall interface and its average value - p, p*, P thermodynamic, modified and dimensionless pressures - Pr Prandtl number - Ra Rayleigh number,Ra=g (T _h – T _c ) L ³ / - T temperature - T _h ,T _c temperature of the hot and cold surfaces - T ₀ T _h + T _c )/2 - u, U dimensional and dimensionless velocity in thex-direction - U dimensionless vector velocity,i U+jV - , V dimensional and dimensionless velocity in they-direction - x,y dimensional coordinates,x along the heated and cooled walls andy along adiabatic walls - X,Y dimensionless coordinates,X=x/L, Y=y/L Greek symbols thermal diffusivity,k/( c _p ) - thermal expansion coefficient - diffusion coefficient for a general dependent variable - dimensionless fluid thermal conductivity - _s dimensionless solid thermal conductivity - kinematic viscosity - density - ₀ reference density (atT ₀) - general dependent variable - dimensionless temperature in fluid - _s dimensionless temperature in solid - angle of inclination     

Der Einfluß der Strahlung auf die Berechnung von Wärme- und Stoffübergangskoeffizienten für fließende Oberflächengewässer

Zusammenfassung Für die Wärmeabgabe eines Flusses an seine Umgebung sind die Wärmeübertragung durch Konvektion und Verdunstung sowie die Strahlung die wichtigsten Einflußgrößen. Um den Einfluß der Strahlung auf die Wärme- und Stoffübertragung eingehend untersuchen zu können, wurden entsprechende Messungen an einer Wannenmeßstrecke durchgeführt. Aufbau der Meßstrecke, Meßtechnik und Meßeinrichtung sowie die theoretischen Grundlagen für die Auswertung der Messungen werden dargestellt.Die Ergebnisse zeigen, daß sich mit Hilfe dieses neuen instationären Meßverfahrens die verschiedenen Strahlungsströme, die Gesamtwärmeströme durch Strahlung und die maßgebenden Wärme- und Stoffübergangskoeffizienten recht genau ermitteln lassen.Die vorliegende Untersuchung wurde auf Anregung von Herrn Prof. Dr.-Ing. H. Glaser durchgeführt und vom Ministerium für Ernährung, Landwirtschaft, Umwelt und Forsten des Landes Baden-Württemberg sowie der Deutschen Forschungsgemeinschaft unterstützt.

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The influence of the net radiation flux on the calculation of heat and mass transfer coefficients for rivers

The most important elements of influence for the loss of heat transfered from a river to the surroundings are free convection, wind generated forced convection, evaporation as well as radiation. In order to investigate the influence of radiation on the heat and mass transfer intensively, appropriate measurements were carried out at a special experimental set-up. The setting up of the measuring section, measuring technique, experimental equipment as well as the theoretical fundamentals for the evaluation of the measurements will be presented.The results indicate, that with the help of this new nonsteady measuring method, the different radiation fluxes, the net radiation fluxes and the heat and mass transfer coefficients which are of decisive importance can be established fairly accurately.The present investigation was prompted by Prof. Dr.-Ing. H. Glaser and was subsidized by the Ministerium für Ernährung, Landwirtschaft, Umwelt und Forsten des Landes Baden-Württemberg and the Deutsche Forschungsgemeinschaft.

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Formelzeichen C_s Stefan-Boltzmann-Konstante - c_p spezifische Wärmekapazität der feuchten Luft - c_w spezifische Wärmekapazität des Wassers - f Wassertiefe - h_v spezifische Verdampfungsenthalpie - m_h verdunstete Wassermenge (beheizte Wanne) - m_o verdunstete Wassermenge (unbeheizte Wanne - p_d Partialdruck des Wasserdampfes in der Luft - p_dh Sättigungsdampfdruck des Wassers (beheizte Wanne) - p_do Sättigungsdampfdruck des Wassers (unbeheizte Wanne) - q Gesamtwärmestromdichte - q_s Gesamtstrahlungsdichte - q_A Wärmestromdichte infolge Ausstrahlung der Wasseroberfläche - q_D Wärmestromdichte durch diffuse Himmelsstrahlung - q_G Wärmestromdichte durch Globalstrahlung - q_GG Wärmestromdichte durch atmosphärische Gegenstrahlung - Wärmestromdichte der reflektierten atmosphärischen Gegenstrahlung - q_I Wärmestromdichte durch direkte Sonnenstrahlung - q_R Wärmestromdichte durch Albedo - q_KW kurzwellige Strahlungsbilanz - q_LW langwellige Strahlungsbilanz - q_H ¯Wärmestromdichte der Wannenheizung - q_sh Gesamtwärmestromdichte durch Strahlung (beheizte Wanne) - q_so Gesamtwärmestromdichte durch Strahlung (unbeheizte Wanne) - R_d Gaskonstante des Wasserdampfes - T_i absolute Lufttemperatur - T_h mittlere absolute Grenzschichttemperatur (beheizte Wanne) - T_o mittlere absolute Grenzschichttemperatur (unbeheizte Wanne) - T_wh absolute Wassertemperatur (beheizte Wanne) - t_wo absolute Wassertemperatur (unbeheizte Wanne) - t_l Lufttemperatur - t_wh Wassertemperatur (beheizte Wanne) - t_wo Wassertemperatur (unbeheizte Wanne) - w_l Windgeschwindigkeit - Wärmeübergangskoeffizient - _S Wärmeübergangskoeffizient (Gesamtstrahlung) - Stoffübergangskoeffizient - _S Stoffübergangskoeffizient (Gesamtstrahlung) - _h Stoffübergangskoeffizient (beheizte Wanne) - _o Stoffübergangskoeffizient (unbeheizte Wanne) - _l Emissionskoeffizient für feuchte Luft - _w Emissionskoeffizient für Wasser - _l Dichte der feuchten Luft - _w Dichte des Wassers - _l relative Luftfeuchtigkeit Herrn Prof. Dr.-Ing. H. Glaser zum 75. Geburtstag gewidmet.Teil aus der Dissertation des Verfassers, veröffentlicht in Fortschrittsberichte der VDI-Z. Reihe 6 (Energietechnik-Wärmetechnik), Nr. 78, 1981     

Das Temperaturfeld in laminar durchströmten Kanälen mit Rechteck-Querschnitt bei unterschiedlicher Beheizung der Kanalwände

Zusammenfassung Es werden die Temperaturfelder im thermischen Einlauf und im ausgebildeten Zustand von laminar durchströmten Kanälen angegeben. Dabei ergeben sich bemerkenswerte Verläufe der Wandtemperaturen, insbesondere bei einer unterschiedlichen Beheizung der Kanalwände. Die extremen Temperaturen der Wände können den Mittelwert der Wandtemperaturen beträchtlich über- und unterschreiten und daher eine Zerstörung des Werkstoffes zur Folge haben.

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The temperature fields in the thermal entrance region and in fully developed condition of channels with laminar flow are indicated. Hereof result considerable wall temperature profiles, especially at different wall heat flux. The extreme wall temperatures can be considerably above or under mean wall temperature and, therefore, may cause destruction of the material.

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Bezeichnungen a halbe Seitenlänge eines Rechtecks inx-Richtung - a _ij,a _i Koeffizienten - A _n Wert der Gl. (A 3) - U Matrix - b halbe Seitenlänge eines Rechtecks iny-Richtung - B _n Wert der Gl. (A 5) - B Matrix - c spezifische Wärmekapazität des Fluids - c _n Koeffizienten - D _h=4F/U hydraulischer Durchmesser des Kanals - F Querschnittsfläche - G Wert der Gl. (1 b) - J, J ₁,J ₂ Werte von Integralen - L Kanallänge - P _r=c/ Prandtl-Zahl - Wärmestromdichte - Wärmestrom - L= /L auf die Kanallänge bezogener Wärmestrom - R _e=D _h/ Reynolds-Zahl - R _n Eigenfunktion - t Temperatur - u Strömungsgeschwindigkeit - mittlere Strömungsgeschwindigkeit - U Umfang des Kanals - x Koordinatenachse senkrecht zur Strömungsrichtung - X=x/a dimensionslose Koordinate - y Koordinatenachse senkrecht zur Strömungsrichtung - Y=y/b dimensionslose Koordinate - z Koordinatenachse in Strömungsrichtung - z*=z/D _h dimensionslose Koordinate - -z=z*/Re Pr dimensionslose Länge - Faktor - =b/a Seitenverhältnis eines Rechtecks - _x, _y Faktoren - Abweichung - =t–t _E/ L/(4) dimensionslose Temperatur - Viskosität des Fluids - _n Eigenwert - Wärmeleitfähigkeit des Fluids - Dichte des Fluids - kinematische Viskosität des Fluids Indizes 1, 2, 3 ... Numerierung - ausgebildet - + positive Koordinatenachse - – negative Koordinatenachse - alls allseitig konstant beheizt - E Einlauf - l linearer Ansatz - m Mittel- - q quadratischer Ansatz - T teilweise beheizt - ü überlagernd - x x-Richtung - y y-Richtung Teil der von der Fakultät für Maschinenwesen der Technischen Hochschule Braunschweig genehmigten Dissertation des Verfassers.     

A mixing length model for turbulent flow in constant cross section ducts

In this paper, a study is made of the damping influence of the wall on turbulent fluid flow. By considering the oscillation of the whole of the boundary, van Driest's original hypothesis has been extended to obtain the wall damping factor in flow in a duct of constant cross section. The damping factor is used in conjunction with mixing length expressions to obtain the velocity field. Particular examples considered are plane parallel flow and axisymmetric flow in a pipe and in an annulus.

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Ein Modell für die Mischungslänge von turbulenten Strömungen in Rohren mit konstantem Querschnitt

Zusammenfassung In dieser Arbeit wurde der dämpfende Wandeinfluß in turbulenten Strömungen untersucht. Unter Berücksichtigung der Schwingungen in der gesamten Grenzschicht wurde die ursprüngliche Theorie von van Driest erweitert und ein Dämpfungsfaktor an der Wand in Rohrströmungen mit konstantem Querschnitt ermittelt. Dieser Dämpfungsfaktor diente in Verbindung mit Ausdrücken für die Mischungslänge zur Bestimmung des Geschwindigkeitsfeldes. Ausgewählte Beispiele waren die ebene Parallelströmung sowie die Zylinderströmung in einem Rohr und einem Ringspalt.

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Nomenclature A, A^*(=Au/v) Parameter defined in text - b, b^*(=bu/v) semi-width of parallel plate channel - c(= 1/A) parameter defined in text - E[, /2] complete elliptic integral of the second kind - d damping factor - F, G, H functions - l, l^*(=/v) mixing length - M_O, _O functions - r, r^*(=ru/v) radius - A real part of function - R, S, T, U functions - u, u^*(=u/u) velocity in flow direction Z - friction velocity - x, y, z co-ordinates (z in flow direction) - y^*(=yu/v) non-dimensional wall distance - fluid density - , _eff kinematic viscosity, effective kinematic viscosity - phase angle, or polar coordinate angle - shear stress - (=r/r_W) radius ratio - angular velocity Suffixes w wall value - far from a wall     

Absorption von binären Gasblasen in einer Flüssigkeit mit unterschiedlicher Löslichkeit für die Gaskomponenten

Zusammenfassung Es wird die Absorption einer Einzelblase betrachtet, die aus zwei Gasen A und B besteht, wobei die Flüssigkeit in der Umgebung der Blase A und B in konstanten Konzentrationen enthält.Unter vereinfachten Bedingungen wird das gekoppelte System der Komponentenkontinuitätsgleichungen der Stoffe A und B in der näheren Umgebung der Blase numerisch gelöst. Es werden ausschließlich Fälle betrachtet, in welchen A sehr viel löslicher als B ist.Es stellt sich heraus, daß der Molenbruch an A in der Blase nach einem Anlauf einem stationären Wert zustrebt, der in der Regel nahe am Gleichgewichtswert für A liegt. Wenn dieser stationäre Wert erreicht ist, nimmt die Blasenoberfläche mit konstanter Geschwindigkeit ab oder zu, wobei diese Geschwindigkeit wesentlich von der Löslichkeit von B abhängt.Anhand einiger Beispiele wird dargestellt, in welcher Weise die Verläufe von Blasendurchmesser und-inhalt von den Stoffwerten und den Umgebungs- und Anfangsbedingungen abhängen.

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Absorption of a single two-component-bubble into liquid

The absorption of a single two-component-gas bubble is considered, the liquid in the vicinity of the bubble containing both gases A and B with constant concentrations. The system of the component continuity equations for A and B in the vicinity of the bubble is solved numerically under simplified conditions. The solubility of A is supposed to be much more important than that of B.It appears, that the mole fraction of A in the bubble tends towards a steady state value which is near its equilibrium value. When this steady state composition is established, the rate of variation of the bubble area becomes constant and depends mainly on the solubility of the less soluble gas B.Some examples show the influence of physical properties, boundary and initial conditions on the variation of the bubble diameter and composition with time.

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Bezeichnungen d Durchmesser - p_i Partialdruck der Komponente i - p Gesamtdruck - r Radialkoordinate - r*=r/R dimensionslose Radialkoordinate - t Zeit - x_i Molenbruch von i in der Flüssigkeit - x _i ^* Sättigungsmolenbruch von i - y_i Molenbruch von i in der Blase - y _i ^* Molenbruch von i in der Blase, der mit im Gleichgewicht stünde - Fourier-Zahl - H_i Henry-Koeffizient für i - R Blasen-Radius - R₀ Anfangsblasenradius - R*=R/R₀ -- - R_außen äußerer Radius der Grenzschicht - Sh Sherwood-Zahl - -- - -- - _Li Diffusionskoeffizient von i in der Flüssigkeit - -- - Molardichte Indices außerhalb der Grenzschicht - A leichter lösliches Gas - B schwerer lösliches Gas - G Gas - L Flüssigkeit     

Comparison of one-dimensional models and a 1-D/2-D model for closed-loop thermosyphons with vertical heat transfer sections

The results of a comparison between traditional one-dimensional (1-D) models and a 1-D/2-D model for closed-loop thermosyphons with vertical heat transfer sections are reported in this paper. Attention is limited to problems in which the flow is laminar. For cases where heat losses from the insulated portions of the loop are negligible,St _m=o, it is shown that traditional 1-D models can significantly overpredict the average fluid velocity in the loop for high power inputs (highGr _m). Local results of two-dimensional numerical simulations in the heated and cooled sections reveal that this discrepancy arises because the 1-D models do not account for mixed-convection effects which distort the velocity and temperature profiles from their fully developed forced convection shapes. Furthermore, for cases whereSt _m o, predictions of heat losses (or gains) produced by the 1-D models are handicapped by inaccuracies in the corresponding temperature predictions inside the loop.

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Vergleich eindimensionaler Modelle mit einem 1-D/2-D Modell zur Berechnung geschlossener Thermosiphonkreisläufe mit vertikalen Wärmeübergangsabschnitten

Zusammenfassung In dieser Arbeit werden die Ergebnisse eines Vergleichs zwischen traditionellen eindimensionalen (1-D) Modellen und einem 1-D/2-D Modell zur Berechnung geschlossener Thermosiphonkreisläufe mit vertikalen Wärmeübergangsabschnitten mitgeteilt. Die Untersuchung beschränkt sich auf reine Laminarströmungen. In Fällen, wo die Wärmeverluste an den isolierten Abschnitten des Kreislaufs vernachlässigt werden können (St _m=o), zeigt sich, daß traditionelle 1-D Modelle die mittlere Strömungsgeschwindigkeit im Kreislauf bei hohem Leistungseintrag (Gr _m hoch) signifikant überbewerten. Örtliche Ergebnisse zweidimensionaler Simultationsrechnungen für die beheizten bzw. gekühlten Abschnitte zeigen, daß diese Widersprüche im Unvermögen der 1-D Modelle begründet liegen, Mischkonvektionseffekte berücksichtigen zu können. Diese deformieren die reiner Zwangskonvektion in ädaquate Form der Geschwindigkeits- und Temperaturfelder. Ferner leidet im FalleSt _m o die Berechnung von Wärmeverlusten oder -gewinnen nach den 1-D Modellen unter der ungenauen Kenntnis der Temperaturverteilung im Inneren des Kreislaufs.

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Nomenclature f Fanningfriction factor [= _w/(V ²)/2] - g acceleration due to gravity - Gr _q Grashof number - Gr _m modified Grashof number - L total length of the closedloop - P _w power input - Pr Prandtl number [=C _p/k] - q heat flux - R radius of curvature of the 180° bends, Fig. 1 - Re Reynolds number - Re _ref reference Reynolds number - r _i internal radius of the pipe [=D/2] - St _m modified Stanton number - T area-weighted mean cross-sectional temperature - T _a ambient temperature - T _b bulk temperature - T _w mean wall temperature in the cooled section - U overall heat loss coefficient (W/m–°C) - V average velocity in the loop - V nondimensional average velocity [=V/V _ref] - V _ref reference velocity - X parameter used in Eq. (3) - volumetric thermal expansion - z height difference between the middle of the heated and cooled sections, Fig. 1 - length parameter - dimensionless ambient temperature - modified heat loss coefficient This research was financially supported by the Natural Sciences and Engineering Research Council of Canada, in the form of a Post-Graduate Scholarship granted to M. A. Bernier and through individual operating grants awarded to Prof. B. R. Baliga.     

Temperature in heat generating solids with memory

The present paper is concerned with time dependent heat transport by wave propagation in an homogeneous isotropic elastic solid with memory. The energy generated in the material for electrical heating or chemical or nuclear reactions is propagated with a finite speed.The effect of this thermal wave speed is noticeable in many practical applications involving short time and high heat flux situations. The one dimensional, time dependent temperature distribution in a heat generating solid is analytically determined resorting to the Maxwell-Cattaneo-Vernotte equation, following the theory of complex functions of complex variables. Some results are reported and shortly discussed; a comparison with the classical Fourier theory is made.

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Temperaturverteilung in einem festen Körper mit Wärmeerzeugung und thermischer Nachwirkung

Zusammenfassung Die Arbeit behandelt den zeitabhängigen Wärmetransport durch eine fortschreitende Welle in einem homogenen isotropen elastischen Festkörper mit Gedächtnis. Die im Material durch elektrische Heizung oder durch chemische oder nukleare Reaktionen erzeugte Wärme wird mit endlicher Geschwindigkeit fortgeleitet. Die Wirkung dieser thermischen Wellengeschwindigkeit ist für manche praktische Anwendungen von Bedeutung, soweit kurze Zeiten und hohe Wärmeflüsse eine Rolle spielen. Die eindimensionale zeitabhängige Temperaturverteilung in einem wärmeerzeugenden Körper ist analytisch bestimmt unter Benutzung der Maxwell-Cattaneo-Vernotte-Gleichung nach der Theorie komplexer Funktionen komplexer Variablen. Einige Ergebnisse werden mitgeteilt, kurz diskutiert und mit der klassischen Fourier-Theorie verglichen.

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Nomenclature a heat flux relaxation function - b _n constant defined in (25) - b _n constant defined in (30) - c specific heat at constant pressure - E elasticity modulus - Fo Fourier number defined in (8) - i imaginary unity - K thermal conductivity - L slab half thickness - N integer number defined in (28) - p integration variable for the inverse Laplace transform - q heat flux vector - Q power produced in the unit volume - Q temperature defined in (8) - R _m residue associated to them-th pole - s time - S sound speed - t time - T temperature defined in (8) - T⁺ dimensionless temperature defined in (33) - u function defined in (11) - inverse Laplace transform of the functionu - U unit Heaviside step function - x dimensionless coordinate defined in (8) - thermal diffusivity - vector differential operator - ² Laplace operator - constant defined in (26) - cartesian coordinate - mass density - gq temperature - dimensionless material thermal relaxation time defined in (8) - _R material thermal relaxation time     

Rechenmodell der Filmkondensation an engberippten Kondensatorrohren

Zusammenfassung Die Kondensation an fein berippten Rohrwänden (> 600 Rippen pro Meter) wird maßgeblich durch die Oberflächenkräfte in der Filmhaut bestimmt. Auf den Rippenkuppen führt die Oberflächenspannung auf eine extrem dünne Filmhaut und hohe Wärmeübergangswerte; die Erdanziehung ist dort für die Kondensationswerte vergleichsweise unerheblich. An der unteren Rohrseite behindern die Kapillarkräfte den Konden-satabfluß und verringern dadurch die Größe des über den Rohr-umfang gemittelten Wärmeübergangskoeffizienten. Eine Reihe von Autoren haben versucht diese gegensätzlichen Effekte in einem Wärmeübergangsmodell analytisch zu erfassen, um dadurch eine gute Vorhersage der Leistungsfähigkeit der Rohre in Abhängigkeit von der Geometrie der Rippenprofile zu ermög-lichen. Dieses Ziel konnte an eng berippten Rohren bis jetzt nicht in vollem Umfang erreicht werden. Der Autor hat die verschiedenen Publikationen analysiert und in entscheidenden Merkmalen korrigiert. Dadurch gelang es ein Rechenmodell zu erstellen, welches alle vorliegenden Meßergebnisse an eng berippten Rohren mit einer maximalen Streuung von ± 10% erfaßt. Die Kenntnis über die Abhängigkeit des Wärmeüberganges von der Rippenstmktur ermöglicht es, besonders leistungsfähige Rippenmuster daraus abzuleiten.

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Analytical model of film condensation on integral-fin tubes

Horizontal integral-fin tubes are widely used for condensation of refrigerants and organic fluids. In this paper the author develop an analytical model to predict condensation performance on fin densities from 600 fins per meter (fpm) to 2000 fpm. The model is based on surface tension drainage and accounts for the fraction of the surface flooded by capillary retention. Once the average condensing coefficient is calculated by a constant temperature, a correction is made for fin efficiency. The fin efficiency correction is based on a fin-wall temperature calculation. The author compare the model to test data taken on five fin densities from 748 to 1378 fpm. The analytical model predicts the condensation coefficient within ± 10% over the data.

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Bezeichnungen a m kleinster Rippenabstand - A _wa m² unberippte Rohrwandfläche - A _ri m² berippte Rohrwandfläche - A _0v m² gesamte Rohrwandfläche - b m kleinste Rippendicke - b _m m mittlere Rippendicke - c ₀, c₁ Formelkonstanten - d m Rippenabstand - d ₀ m Durchmesser des berippten Rohres - D _r m Durchmesser des glatten Rohres - F m² Querschnittsfläche des Kanales - F Formelkonstante - F _a N Komponente der Schwerkraft - g m/h² Erdbeschleunigung - h m Rippenhöhe - h _y kJ/kg Verdampfungswärme - H m Steighöhe der Überflutung am Rohr - l m Länge des Kondensationsgebietes an der Rippe - L m mittlere Fließlänge des Kondensates an der Rippenscheibe - m _r kg/hm Kondensatstrom an der Rippe (pro Meter Rohrumfang) - kg/h Kondensatstrom im Rippenkanal - n Formelkonstante - p N/m² Überdruck im Film gegen den Dampf - p ₀ N/m² Überdruck an der Rippenspitze - p _e N/m² Überdruck im Kanalzentrum - q kJ/h Wärmestrom pro Rippenwand - r ₀ m Radius des berippten Rohres - R m Krümmungsradius der Kondensathaut - r ₀ m Krümmungsradius an der Rippenspitze - r _t m Krümmungsradius im Kanalzentrum - s m Bogenlänge der Kondensathaut - s _e m Gesamtlänge der Kondensathaut - s ₁ m Bogenlänge bis zum Wendepunkt - s ₂ m Bogenlänge:s ₂=s _e–s ₁ - T K Temperatur - T _w K Rippenwandtemperatur - t₀ K Rippenfußtemperatur - T _s K Temperatur an der Rippenspitze - T K Temperaturdifferenz - t ₂ K Temperatur am Ende des Kondensations-gebietes - T _d K Temperatur des Dampfes - u m/h Strömungsgeschwindigkeit im Kanal - U m benetzter Kanalwandumfang - x, y Koordinatenrichtungen - x₂ m Länge des Kondensationsgebietes - kJ/m²hK mittlerer Wärmeübergangskpeffizient be zogen auf die gesamte äußere Rippen fläche - kJ/m²hK mittlerer Wärmeübergangskpeffizient bezogen auf die Fläche des glatten Rohres     

Shear stress and normal stress measurements of aqueous polymer solutions in a cone-and-plate rheogoniometer

Summary The rheological behaviour of aqueous solutions of Separan AP-30 and Polyox WSR-301 in a concentration range of 10–10000 wppm is investigated by means of a cone-and-plate rheogoniometer. The relation between the shear stress and the shear rate is for lower shear rates characterized by a timet ₀, which is concentration dependent. Both polymers show for 4000 s^–1 < < 10000 s^–1 a behaviour similar to that of a Bingham material, characterized by a dynamic viscosity ₀ and an apparent yield stress ₀, which also depend on the concentration. The inertial forces are measured for water and some other Newtonian liquids. An explanation is given why the theoretical model developed for these forces does not match the experimental values; the shape of the liquid surface is shear rate dependent. To obtain the first normal stress difference, we have to correct for these inertial forces, the surface tension and the buoyancy. The normal forces, measured for Separan AP-30, appear to be a linear function of the shear rate for 350 s^–1 < < 3300 s^–1.

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Zusammenfassung Das rheologische Verhalten wäßriger Polymerlösungen von Separan AP-30 und Polyox WSR-301 wird in einem Konzentrationsgebiet von 10–10000 wppm in einem Kegel-Platte-Rheogoniometer untersucht. Der Zusammenhang zwischen Schubspannung und Schergeschwindigkeit wird für niedrige Schergeschwindigkeiten durch eine konzentrationsabhängige Zeitt ₀ gekennzeichnet. Für Schergeschwindigkeiten 4000 s^–1 < < 10000 s^–1 zeigen beide Polymere ein genähert binghamsches Verhalten, gekennzeichnet durch eine dynamische Viskosität ₀ und eine scheinbare Fließgrenze ₀, welche ebenfalls konzentrationsabhängig sind. Die Trägheitskräfte werden für Wasser und einige newtonsche Öle bestimmt. Die Abweichung der experimentellen Ergebnisse vom theoretischen Modell wird durch die Abhängigkeit der Gestalt der Flüssigkeitsoberfläche von der Schergeschwindigkeit erklärt. Um die Werte der ersten Normalspannungsdifferenz zu erhalten, muß man bezüglich der Trägheitskräfte, der Oberflächenspannung und der Auftriebskräfte korrigieren. Die Normalspannungen für Separan AP-30, gemessen für 350 s^–1 < < 3300 s^–1, zeigen eine lineare Abhängigkeit von der Schergeschwindigkeit.

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c concentration (wppm) - g acceleration of gravity (ms^–2) - K force (N) - K _b buoyant force (N) - K _c force, acting on the cone (N) - K ₀ dimensional constant def. by eq. [24] (N) - K _s force, def. by eq. [22] (N) - M dimensional constant def. by eq. [24] (Ns) - P _s pressure def. by eq. [17] (Nm^–2) - P ₀ average pressure in the liquid atr = 0 (Nm^–2) - P _R average pressure in the liquid atr = R (Nm^–2) - r ₁,r ₂ radii of curved liquid surface (m) - R platen radius (m) - R _w radius of wetted platen area (m) - S _x standard deviation ofx - t ₀ characteristic time def. by eq. [1] (s) - T temperature (°C) - V volume of the submerged part of the cone (m³) - v tangential velocity of liquid (ms^–1) - x distance (m) - angle (rad) - ₀ cone angle (rad) - calibration constant (Nm^–3) - shear rate (s^–1) - dynamic viscosity (mPa · s) - ₀ viscosity def. by eq. [1] (mPa · s) - contact angle (rad) - density (kgm^–3) - static surface tension (Nm^–1) - shear stress (Nm^–2) - ₀ yield stress def. by eq. [1] (Nm^–2) - _c, _p angular velocity (c = cone,p = plate) (s^–1) With 8 figures and 3 tables     

Wärmeübergang bei laminarer Rohrströmung mit axialer Wärmeleitung

Zusammenfassung Der Einfluß der axialen Wärmeleitung auf den konvektiven Wärmeübergang kann bei laminarer Strömung bedeutsam werden. Theoretisch-numerische Methoden wurden angewendet, um eine umfassende Untersuchung dieses Wärmeübergangsproblems für folgende Bedingungen durchführen zu können: Axiale Wärmeleitung im Fluid stromaufwärts und stromabwärts des Wärmeübergangsrohres bei entweder konstanter Temperatur oder konstanter Wärmestromdichte an der Rohrwand. Für die Wand des Zulaufrohres wird entweder eine konstante Temperatur oder Wärmeundurchlässigkeit angenommen.

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Heat transfer in tubes with laminar flow and axial heat conduction

The influence of axial heat conduction on convective heat transfer becomes of importance for laminar flow conditions. Numerical methods have been applied for a comprehensive study of this mode of heat transfer for the following conditions: Axial molecular heat conduction in the fluid upstream and downstream of the heat transfer tube with constant temperature or constant heat flux at the tube wall. For the wall of the entrance tube arranged upstream of the heat transfer tube either constant temperature or adiabatic conditions were assumed.

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Bezeichnungen a m²/s Temperaturleitkoeffizient - c_p kJ/(kg K) spezifische Wärmekapazität - d m Rohrdurchmesser - q_w kJ/(m²s) Wärmestromdichte an der Wand - r m radiale Koordinate - R m Rohrradius - T K örtliche Temperatur des Fluids - T_O K Fluidtemperatur am Rohreintritt bei x=– - T₁ K Fluidtemperatur am Rohraustritt bei x=+ - ¯T K mittlere Fluidtemperatur - T_f K integrale Mitteltemperatur - w m/s örtliche Geschwindigkeit des Fluids - ¯w m/s mittlere Fluidgeschwindigkeit - x m axiale Koordinate - _x kJ/(m²s K) örtlicher Wärmeübergangskoeffizient - kJ/(m²s K) mittlerer Wärmeübergangskoeffizient - kg/(m s) dynamische Viskosität des Fluids - kJ/(m s K) Wärmeleitkoeffizient des Fluids - m²/s kinematische Viskosität des Fluids - kg/m³ Dichte des Fluids Herrn Prof. Dr.-Ing. H. Glaser zum 75. Geburtstag gewidmet     

Messung des ersten Normalspannungskoeffizienten von Kunststoffschmelzen im Bogenspalt

Zusammenfassung Bei einer stationären Schichtenströmung in einem Bogenspalt (azimutale Druckströmung im Ringspalt) bildet sich zwischen Innen- und Außenwand eine Druckdifferenz aus, deren Größe ein Maß für den 1. Normalspannungskoeffizienten der elastischen Flüssigkeit im Spalt ist. Die Strömung läßt sich zur Messung des 1. Normalspannungskoeffizienten verwenden. Der Schergeschwindigkeitsbereich der Messung liegt, wie bei der Kapillarrheometrie zur Bestimmung der Viskosität, zwischen 1 und 1000 s^–1. Die Auswertung der Messungen ist wegen des inhomogenen Scherfeldes relativ kompliziert. In der Arbeit wird ein besonders wirkungsvolles numerisches Auswerteverfahren hergeleitet und auf bestehende Messungen angewendet. Eine Besonderheit des Auswerteverfahrens ist die Freiheit der Wahl des Approximationsansatzes für die Viskositätskurve, während analytische Verfahren meist an einen bestimmten Ansatz gebunden sind. Außerdem braucht, im Gegensatz zu anderen derartigen Verfahren, die Position des schubspannungsfreien Stromfadensr ₀ nicht bestimmt zu werden.

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Summary The stress in steady viscometric flow of molten polymers is determined by the viscosity and by the two normal stress coefficients ₁ and ₂. The paper describes a method of measuring ₁ by means of steady circumferential shear flow in an annulus. The cylinders are stationary and the fluid flows due to a circumferential pressure gradient. The radial normal stresses at the outer and at the inner wall are different from each other. The pressure-differencep is a measure for the 1. normal stress coefficient of the viscoelastic fluid. Due to the inhomogeneous shear field, the evaluation of ₁ fromp measurements is quite complicated. A powerful numerical method of evaluation has been developed and applied to existing data. The method is not restricted to a special empirical formula for the flow curve (as an analytical method would be) and does not require the knowledge of the positionr ₀ of the stress-free stream line.

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a Pa s² Stoffparameter des Ansatzes des 1. Normalspannungskoeffizienten, s. Gl. [8] - AR _i — Koeffizient des Druckgefälles in-Richtung (Programm PFEIL) - AU _i — Koeffizient für Integration nach Simpson-Regel (Programm PFEIL) - b s² Stoffparameter des Ansatzes des 1. Normalspannungskoeffizienten - B _i — Koeffizient auf der rechten Seite des linearen Gleichungssystems (Programm PFEIL) - c — Exponent des Ansatzes des 1. Normalspannungskoeffizienten - CL _i CM _i CR _i — Koeffizienten der dimensionslosen Geschwindigkeit in dem linearen Gleichungssystem (Programm PFEIL) - F ₁,F ₂,F ₃ — Ableitungen der Summe der Fehlerquadrate nacha, b undc - G _k — Gewichtsfaktor - h m Spaltweite,r _a –r _i - H — dimensionslose Spaltweite, (r _a –r _i )/r _a - l m Länge des Bogenspaltes, 0,75(r _a +r _i ) - m — Exponent des Potenzansatzes, s. Gl. [13] - n — Dämpfungskonstante - N ₁ Pa 1. Normalspannungsdifferenz, _rr – - N ₂ Pa 2. Normalspannungsdifferenz - p Pa Druck - p Pa Druckgradient in-Richtung - P — dimensionsloser Druckgradient in-Richtung, s. Gl. [14] - p, p _k Pa Normalspannungsdifferenz zwischen Innen- und Außenwand im Bogenspalt, (– p + _rr ) _a – (–p + _rr ) _i - Q — Summe der Fehlerquadrate - r, R= r/r _a m, — Radiusvektor (Koordinate in Gradientenrichtung) - r ₀,R ₀=r ₀/r _a m, — Radius des neutralen Fadens - R — dimensionslose radiale Schrittweite - T, °C Temperatur bzw. Bezugstemperatur - v ms^–1 Geschwindigkeitskomponente in-Richtung - V ,V _,i — dimensionslose Geschwindigkeitskomponente in-Richtung - V _a ,V _k — dimensionslose Geschwindigkeit an der Außen- bzw. Innenwand - v _r ,v _z ms^–1 Geschwindigkeitskomponenten inr-undz-Richtung - ms ^–1 mittlere Geschwindigkeit in-Richtung - z m Koordinate in der indifferenten Richtung - K^–1 Temperaturkoeffizient der Viskosität - s^–1 Schergeschwindigkeit - s^–1 kritische Schergeschwindigkeit der Viskositätskurve, s. Gl. [13] - s^–1 Bezugsschergeschwindigkeit, - — dimensionslose Schergeschwindigkeit - — dimensionslose kritische Schergeschwindigkeit, - Pa s Viskosität - ₀ Pa s Nullviskosität - Pa s Bezugsviskosität, - — Radienverhältnis,r _i /r _a - ₁ Pa s ² 1. Normalspannungskoeffizient - Pa s² mittlerer 1. Normalspannungskoeffizient - ₂ Pa s² 2. Normalspannungskoeffizient - — Koordinate in Strömungsrichtung - Pa Spannung - a an der Außenwand - i, an der Innenwand - i laufender Index inr-Richtung - k Nummer des Meßpunktes - n Anzahl der Meßpunkte - n _i nord für Programm PFEIL - s _i süd für Programm PFEIL Mit 9 Abbildungen und 2 Tabellen