圆锥曲线焦点弦长度的一种计算方法

圆锥曲线焦点弦长度的一种计算方法赵怀营（河北省东光县一中０６１６００）求圆锥曲线焦点弦的长度，通常用两点间距离公式，或极坐标系中极径来计算，本文介绍用焦半径求焦点弦长度的方法，望批评指正．一、设抛物线方程为ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０），过焦点Ｆ的弦交抛物线...     

怎样应用切点弦方程解题

我们知道,如果Ｐ（ｘ０,ｙ０）是椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１上的任一点,则过Ｐ点的该椭圆的切线方程为ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１．如果Ｐ点不在椭圆上,那么方程ｘ０ｘａ２＋ｙ０ｙｂ２＝１表示什么呢？这正是本文要介绍的切点弦方程．１　切点弦方程的概念在圆锥曲线外一点引圆锥曲线的两条切线,过这两切点的弦称为圆锥曲线的切点弦．在解析几何中,切点弦方程的巧妙推导给解题引进了一种新的方法．图１２　切点弦方程的推导设椭圆方程为ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１,过椭圆外一点Ｐ（ｘ０,ｙ０）作这椭圆的切线,切点为Ａ、Ｂ,求过Ａ…     

再谈抛物线的阿基米德三角形的性质

过圆锥曲线弦的两端的切线与弦围成的三角形称为阿基米德三角形．弦叫做这三角形的底边,其他两边叫做这三角形的腰,两腰的公共端点叫做这三角形的顶点．文［１］,［２］给出了阿基米德三角形的三条性质,本文提供另外一些性质．引理［３］　自抛物线ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）外一点Ｔ（ｘ０,ｙ０）引两切线,切点弦所在直线的方程为ｙ０ｙ－ｐ（ｘ＋ｘ０）＝０．性质１　设抛物线ｆ（ｘ,ｙ）＝ｙ２－２ｐｘ＝０（ｐ＞０）的阿基米德三角形的顶点为Ｔ（ｘ０,ｙ０）（ｘ０≠０）,底边为Ｐ１Ｐ２,两腰为ＴＰ１,ＴＰ２,∠Ｐ１ＴＰ２＝α…     

浅谈《圆锥曲线弦的中点问题》一文的疏忽

贵刊《圆锥曲线弦的中点问题》（１９９８（３））一文给出了两个定理．定理１若过一点（ａ，ｂ）的直线被抛物线（ｙ－ｎ）２＝２ｐ（ｘ－ｍ）（ｐ≠０）截得的弦的中点为（ｘ０，ｙ０），则ｙ０－ｂｘ０－ａ＝ｐｙ０－ｎ（ｘ０≠ａ，ｙ０≠ｎ）．定理２若过一点（ａ，ｂ...     

圆锥曲线弦的中点与斜率的关系及其应用

关于圆锥曲线弦的中点问题,许多文章已有论述,本文综其为一体,给出圆锥曲线弦的一个重要性质．定理　圆锥曲线Ａｘ２＋Ｃｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０的弦的斜率为ｋ,弦的中点为（ｘ０,ｙ０）,同有Ａｘ０＋Ｃｋｙ０＋１２Ｄ＋１２ｋＥ＝０．证　设弦的两端点为（ｘ１,ｙ１）,（ｘ２,ｙ２）斜率为ｋ,则有Ａｘ２１＋Ｃｙ２１＋Ｄｘ１＋Ｅｙ１＋Ｆ＝０,Ａｘ２２＋Ｃｙ２２＋Ｄｘ２＋Ｅｙ２＋Ｆ＝０．两式相减,得Ａ（ｘ２１－ｘ２２）＋Ｃ（ｙ２１－ｙ２２）＋Ｄ（ｘ１－ｘ２）　＋Ｅ（ｙ１－ｙ２）＝０．两边同除以ｘ１－ｘ２,注意到…     

有心圆锥曲线的一个性质

有心圆锥曲线的一个性质７３００７０西北师大张定强有心圆锥曲线Ａｘ２＋Ｂｙ２＝１（Ａ＞０，Ｂ＞０或ＡＢ＜０）的两个焦点到它的任意一条切线的距离之积是一常数．证明不妨设有心圆锥曲线的两个焦点在ｘ轴上，分别为（－ｃ，０）、（ｃ，０），其中．由于Ａｘ２＋Ｂｙ...     

圆锥曲线弦的中点问题的一种简捷解法

求直线被圆锥曲线截得弦的中点问题,是解析几何教学中的一类重要问题;常规解法计算量较大,如何简化其解法一直为人们所关注;文［１］、［２］、［３］等都作过很好的研究;本文介绍一种利用两曲线公共弦方程求解的简捷方法;如图,设Ｐ（ｍ,ｎ）是圆锥曲线ｃ的一条弦ＡＢ的中点,ｃ′是ｃ关于点Ｐ对称的曲线;容易证明,ｃ′的方程为ｆ（２ｍ－ｘ,２ｎ－ｙ）＝０;（见注１）而弦ＡＢ就是曲线ｃ与ｃ′的公共弦;且公共弦ＡＢ所在的直线方程为ｆ（ｘ,ｙ）－ｆ（２ｍ－ｘ,２ｎ－ｙ）＝０（见注２）,从而使问题得到解决;这一方法既适…     

圆锥曲线的直角弦性质再探

圆锥曲线的直角弦性质再探沈帼英（浙江慈溪市浒山中学）文［１］给出了圆锥曲线直角弦的定义：自圆锥曲线Ｃ上一点Ｐ０，引两条互相垂直的弦Ｐ０Ｐ１、Ｐ０Ｐ２，则称弦Ｐ１Ｐ２为点Ｐ０的直角弦，简称直角弦．并给出三个命题：命题１设Ｐ０（ｘ０，ｙ０）为椭圆ｂ２ｘ２...     

有心圆锥曲线对中心张直角的焦点弦

有心圆锥曲线对中心张直角的焦点弦青海孔繁秋在拙文［１］中，我们证明了如下的定理．定理设有心圆锥曲线Ａｘ２＋Ｂｙ２＝１（Ａ＞０，Ｂ＞０或ＡＢ＜０）和直线ｍｘ＋ｎｙ＝１相交于Ｐ、Ｑ两点（Ａｎ２＋Ｂｍ２≠０，Ａｎ２＋Ｂｍ２—ＡＢ＞０），Ｏ为原点，则ＯＰ⊥Ｏ...     

圆锥曲线的两个性质

本文给出了圆锥曲线的两个共性，它使曾在许多书刊中出现的若干结论都为其特例．引理关于ｘ，ｙ的二元二次方程（１－ｅ２）ｘ２＋ｙ２－２ｐｘ＋ｐ２＝０（ｐ＞０，ｅ＞０）①当ｅ＝１时表示抛物线；当０＜ｅ＜１和ｅ＞１时分别表示以（ｐ１－ｅ２，０）为对称中心、以ｘ...     

用斜率解圆锥曲线题

用斜率解圆锥曲线题２２６１５１江苏海门包场中学许一鸣姐圆锥曲线上有两个不同点Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）时，代入方程作差会出现形如的结构．若注意到即为连结两点Ａ，Ｂ的斜率这一常见结论时，则会给解某些圆锥曲线问题带来极入方便，不妨举例如下：例１已...     

一类解几问题的“叠加造圆”解法

《平面解析几何》课本Ｐ７０第３题是这样一道习题：已知一个圆的直径端点是Ａ（ｘ１,ｙ１）,Ｂ（ｘ２,ｙ２）．证明圆的方程是（ｘ－ｘ１）（ｘ－ｘ２）＋（ｙ－ｙ１）（ｙ－ｙ２）＝０．这里证明从略．现将圆的方程变形为,ｘ２－（ｘ１＋ｘ２）ｘ＋ｘ１ｘ２＋ｙ２－（ｙ１＋ｙ２）ｙ＋ｙ１ｙ２＝０．式中的一次项及常数项明确显露出韦达定理特征,据此着眼,对于某些直线与曲线相交问题,可将直线方程代入曲线方程分别得出关于ｘ及ｙ的一元二次方程．直接叠加即得以直线被曲线所截弦长为直径的圆的方程．以抛物线为例,有如下命题：设…     

圆锥曲线的几何性质——“范围”的应用

范围,是圆锥曲线的一个简单而重要的几何性质：椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）的范围是｜ｘ｜≤ａ,｜ｙ｜≤ｂ;双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０,ｂ＞０）的范围是｜ｘ｜≥ａ;抛物线ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）的范围是ｘ≥０．教学中我们发现,许多学生...     

二次曲线的切线与三角形的角平分线

笔者在考察椭圆、双曲线、抛物线的图形时,得到以下结论：曲线上任一点与两焦点或与焦点及该点到准线的垂线段所构成的三角形的角平分线为曲线的过该点的切线．现分述如下,请同行指正．引理１　过椭圆　ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１　（ａ＞ｂ＞０）上点Ｐ（ｘ０,ｙ０）的切线的斜率为－ｂ２ｘ０ａ２ｙ０．定理１　椭圆　ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１　（ａ＞ｂ＞０）上一点Ｐ（ｘ０,ｙ０）与椭圆的两焦点Ｆ１（－ｃ,０）、Ｆ２（ｃ,０）所构成的△ＰＦ１Ｆ２在顶点Ｐ的外角的平分线为过椭圆上点Ｐ（ｘ０,ｙ０）的切线．证明　根据椭圆的对称性…     

有心圆锥曲线的一个性质

圆锥曲线有许多性质，已为人们所熟悉，对其他性质的讨论仍然吸引着广大的数学爱好者．笔者在教学中发现圆锥曲线的又一性质，现把它介绍如下．定理１设椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０），两焦点为Ｆ１（－Ｃ，０），Ｆ２（Ｃ，０）．点Ｑ为椭圆上除顶点外的任意...     

配方(下)

５　求抛物线的顶点、焦点、焦距和准线设ｌ是一条确定的直线,Ｆ是一个确定的点,距离ｌ和Ｆ等远的点的轨迹叫抛物线,为了描述抛物线,在平面上建立坐标系,设Ｆ点到直线ｌ的距离等于ｐ;再设Ｆ点的坐标是（０,１２ｐ）,直线ｌ的方程是ｙ＝－１２ｐ．那么抛物线上一点（ｘ,ｙ）就应该满足条件（ｘ－０）２＋（ｙ－ｐ２）２＝（ｙ＋ｐ２）．化简上式,得　ｙ＝１２ｐｘ２．（１３）（１３）就叫抛物线的方程,ｌ叫准线,Ｆ叫它的焦点,ｐ叫它的焦距,直线ｘ＝０是它的对称轴,而对称轴和抛物线的交点（０,０）叫它的顶点;图３　抛物线…     

数学问题解答

数学问题解答１９９５年７月号问题解答（解答由问题提供人给出）９６１设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２）是抛物线ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０）上任意两点，求证：直线ＡＢ交ｘ轴于定点的充要条件是ｙ１ｙ２为定值．证明１°必要性：设直线ＡＢ交ｘ轴于定点Ｍ（ｍ，０）（...     

启迪·探究·发现·概括—— 一道课本习题的引伸

题目经过抛物线ｙ２＝２ｐｘ的焦点Ｆ，作一条直线垂直于它的对称轴，和抛物线相交于Ａ，Ｂ两点，线段ＡＢ叫做抛物线的通径．求通径ＡＢ的长．这是高中《平面解析几何》（必修）习题八第５题．人民教育出版社的教学参考书提供的解法为：将Ａ，Ｂ两点的横坐标ｘＡ＝ｘＢ＝...     

圆锥曲线 单元测试题

一、选择题（１）方程（２ｘ＋３ｙ－５）（ｘ－３－１）＝０表示的曲线是（）（Ａ）两条直线（Ｂ）两条射线（Ｃ）两条线段（Ｄ）以上说法均不对（２）顶点为（１，３），焦点与顶点间距离为５８，准线平行于ｙ轴，开口向右的抛物线方程为（）（Ａ）（ｙ＋３）２＝５２（...     

轨迹方程中的定点转化法

轨迹方程中的定点转化法１１６６００大连开发区第一中学邹楼海引例Ａ、Ｂ为抛物线ｙ２＝ｘ上的两个动点，且ＯＡ⊥ＯＢ，求原点Ｏ在ＡＢ上的射影Ｍ点的轨迹方程．分析设Ｍ（ｘ，ｙ），为了使点Ｍ与ＯＭ⊥ＡＢ及ＯＡ⊥ＯＢ联系在一起，再设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ...