On the matrix Riemann-Hilbert problem relevant to Rayleigh scattering

A solution to the matrix Riemann-Hilbert problem relevant to non-conservative Rayleigh scattering is proposed in order to eliminate one of the two existence questions included in a previously known solution.

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Sommario Si propone una soluzione del problema matriciale di Riemann-Hilbert, che si presenta in relazione a un'atmosfera conscattering di Rayleigh non conservativo, col fine di eliminare uno dei due problemi di esistenza posti da una soluzione precedente.

     

Non-existence of a steady rarefied supersonic flow in a half-space

The one-dimensional BGK model for a Boltzmann gas is studied by linearizing about a drifting Maxwellian. This linearized BGK model is then expressed as an operator differential equation whose unique solution is given by a contour integral of the resolvent of the relevant transport operator. The Wiener-Hopf factorization of the dispersion function for the problem is employed to show that the unique solution to the differential equation exists only for subsonic drift velocities.

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Riassunto Si studia il modello unidimensionale di Bhatnagar, Gross e Krook, linearizzato intorno a una maxwelliana con velocità di deriva. Si trasforma poi questo modello in una equazione differenziale operatoriale, la cui soluzione (unica) è data da un integrale curvilineo del risolvente dell'operatore di trasporto di cui ci si occupa. Impiegando la fattorizzazione alla Wiener-Hopf della funzione di disperisione del problema, si dimostra che la soluzione (unica) del problema esiste solo per velocita di deriva subsoniche.

     

A technique for time-dependent boundary value problems in the kinetic theory of gases part II. Application to sound propagation

Following the procedure indicated in part I, a canonical solution of the matrix Riemann-Hilbert problem for sound propagation in a gas occupying a half space is presented. The closed form solution is computed numerically for three particular values of the sound frequency. The results compare favorably with a previously known numerical solution.

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Sommario Seguendo il procedimento indicate nella prima parte, si presenta una soluzione canonica del problema matriciale di Riemann-Hilbert per la propagazione del suono in un gas che occupa un semispazio. La soluzione viene poi calcolata numericamente per tre valori particolari della frequenza. I risultati sono in buon accordo con una precedente soluzione numerica.

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On leave from the Department of Aeronautical Engineering, Kyoto University, Kyoto 606, Japan.     

A technique for time-dependent boundary value problems in the kinetic theory of gases Part I. Basic analysis

The matrix Riemann-Hilbert problem arising in the time-dependent BGK model for half space problems is analyzed. The method used is similar to the one originally introduced by one of the authors for steady problems. A general procedure is given which leads to closed form solutions.

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Sommario Si considera il problema matriciale di Riemann-Hilbert che si presenta nel risolvere il modello BGK per problemi dipendenti dal tempo in un semispazio. Facendo uso di un metodo originariamente introdotto da uno degli autori per problemi stazionari si indica un procedimento per ottenere una soluzione per via analitica.

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On leave from the Department of Aeronautical Engineering, Kyoto University, Kyoto 606, Japan.     

Il problema di Cauchy-Dirichlet per una classe di sistemi parabolici a coefficienti misurabili

Riassunto Si dimostrano teoremi di esistenza, di unicità e di regolarizzazione per la soluzione del problema di Cauchy-Dirichlet per una classe di sistemi parabolici a coefficienti misurabili.

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Summary We show that the Cauchy-Dirichlet problem for a class of parabolic systems with measurable coefficients admits a unique solution. We show, also, regularity's properties for the solution.

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Lavoro eseguito nell'ambito del gruppo G.N.A.F.A. del C.N.R.     

Alcuni risultati nella dinamica dei solidi elastici inestensibili

Riassunto In questa nota gli Autori dapprima formulano un problema ai limiti di tipo misto molto generale per la dinamica dei solidi elastici inestensibili in una data direzione e stabiliscono per tale problema un teorema di unicità della soluzione relativamente a domini sia limitati che illimitati. In secondo luogo prendono in considerazione il problema ai limiti relativo al solo spostamento ed anche per esso ottengono un teorema di unicità della soluzione. Infine stabiliscono un teorema di reciprocità valido per domini limitati e illimitati.

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Summary In this paper the Authors first formulate a very general mixed boundary-value problem for dynamics of inextensible elastic solids and they establish for this problem a theorem of uniqueness of solution in bounded and unbounded domains. Then they consider displacement boundary-value problem for which they obtain another theorem of uniqueness of solution. At last the Authors establish a reciprocal theorem for bounded and unbounded domains.

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Il lavoro è stato eseguito mentre il secondo Autore usufruiva di una Borsa di Studio C.N.R.     

A minimum principle for an integral equation with mixed boundary conditions

We have considered an integral equation, which describes the dynamic problem of a viscoelastic body and submitted it to a boundary condition with fading memory. It has come out that the solution to this mixed initial-boundary value problem is a strict minimum of a proper class of functional with a weight function and vice versa.

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Sunto è preso in considerazione un problema misto con una condizione al contorno di tipo viscoelastico per un'equazione integrale, che descrive il problema dinamico di un corpo viscoelastico. Si mostra che la soluzione a tale problema rappresenta un minimo per un funzionale bilineare con una funzione peso e viceversa.

     

On existence, uniquenss and the maximum modulus theorem in plane linear elastostatics for exterior domains

Existence and uniqueness results, as well as a maximum modulus theorem, are obtained for solutions to the displacement and traction problems of plane linear elastostatics in exterior domains.

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Sunto Viene affrontato il problema di esistenza e unicità per le soluzioni del problema di spostamento e di trazione dell'elastostatica lineare in domini esterni piani. In particolare, è dimostrata l'esistenza di una soluzione classica in corrispondenza di dato al bordo continuo e sono ottenute delle stime sul massimo modulo.

     

The Dirichlet problem for second order elliptic equations with coefficients in the Stummel class in unbounded domains

In this note we prowe existence and unicity of solution of a Dirichlet problem for second order elliptic operator in the divergence form, with the coefficients of the lower order terms belonging to a variant of the Stummel-Kato class, in an unbounded domain, extending the works [6] and [2].

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Sunto In questa nota proviamo un Teorema di esistenza e unicità per la soluzione di un problema di Dirichlet relativo ad un operatore ellittico del secondo ordine in forma di divergenza, con i coefficienti dei termini di ordine inferiore appartenenti ad una variante dello spazio di Stummel-Kato, in un dominio non limitato, estendendo i lavori [6] e [2].

     

A regular perturbation approach to the problem of diffusion towards a growing mercury drop electrode

Summary The problem of diffusion of an electroactive species towards a growing mercury drop electrode is treated. An approximate solution for the complete differential equation is given using a regular perturbation technique.

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Riassunto Il lavoro tratta il problema della diffusione di una specie elettroattiva verso un elettrodo a goccia di mercurio che cresce nel tempo. Una tecnica di perturbazione regolare è stata utilizzata per ricavare una soluzione approssimata.

     

Stabilité de la structure d'une solution de Riemann à deux grands chocs

Sunto Costruiamo una soluzione debole di un problema di Cauchy iperbolico conservativo globale in tempo, vicino a un problema di Riemann che presenta due urti di grande ampiezza. Sotto delle ipotesi di stabilità e di smorzamento, un adattamento dello schema di Bressan permette di conservare la struttura a due urti, con delle stime fini della soluzione nei settori definiti da questi urti.

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Stability of the structure of a Riemann wave with two large shocks. We construct a global weak solution of an hyperbolic system of conservation laws, close to a Riemann problem which contains two large shock waves. Under some stability and damping conditions, we define a version of the scheme of A. Bressan which maintains the structure with two shocks in the solution and leads to refined estimates.

     

Problema di Dirichlet per l’equazione delle superfici di curvatura media assegnata con dato infinito

Riassunto In questo lavoro si studia il problema di Dirichlet per l’equazione delle superfici di curvatura media assegnata con dato infinito. Si dimostra una condizione necessaria e sufficiente affinchè esista una soluzione. Si dimostra pure un teorema di unicità.

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Summary In this paper we consider the Dirichlet’s problem for surfaces of prescribed mean curvature with infinite data. We prove a necessary and sufficient condition for the existence of the solution. Finally we prove an uniqueness theorem.

     

Su un caso particolare di stabilità in media della magnetoidrodinamica

Sunto Si considera un particolare fenomeno magnetoidrodinamico, che è una generalizzazione del problema di Couette per un liquido elettricamente conduttore in presenza di un opportuno campo magnetico e si dimostra che qualunque soluzione del problema dotata di una certa regolarità e stabile in media, ossia la somma delle energie cinetica e magnetica di una generica perturbazione è una funzione decrescente del tempo. A Bruno Finzi nel suo 70^mo compleanno. Lavoro eseguito nell'ambito dell'attività dei Raggruppamenti di ricerea matematica del C.N.R. Entrata in Redazione il 9 dicembre 1969.     

Sul problemamisto per l'equazione quasi-lineare delle onde

Sunto Si dimostra, mediante un metodo alle differenze finite, un teorema di esistenza per la soluzione generalizzata del problema misto per l'equazione quasi lineare delle onde; si dimostra inoltre per tale soluzione un teorema di unicità e di dipendenza continua dai dati. Centro di Calcoli numerici del Politecnico di Milano (sezione matematica). Durante lo svolgimento di questo lavoro, l'A. ha usufruito di una borsa di studio del C.N.R.     

Poiseuille flow of a rarefied gas mixture

The flow of a rarefied binary gas mixture is governed by transport equations which correspond to a coupled set of Fredholm integral equations of the second kind.By means of the Fourier transform technique and by expanding the transformed kernels in terms or orthogonal functions the problem is reduced to the solution of a system of linear algebraic equations.As a significant application, the case of a plane Poiseuille flow of a binary mixture following Sirovich-Hamel's model is considered.The convergence of the method is excellent.

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Riassunto Il flusso di una miscela binaria di gas rarefatti è retto da equazioni del trasporto che corrispondono ad un sistema di equazioni integrali di Fredholm di seconda specie. Mediante la tecnica della trasformata di Fourier e sviluppando i kernel trasformati in termini di funzioni ortogonali, il problema si riduce alla soluzione di un sistema di equazioni algebriche lineari. Quale applicazione significative si considera il flusso piano di Poiseuille di una miscela binaria che segue il modello di Sirovich-Hamel. La convergenza del metodo e'eccellente.

     

Sul problema di Cauchy relativo alle equazioni alle derivate parziali del primo ordine di tipo semilineare

Sunto Si fa vedere come il problema di Cauchy relativo ad una equazione alle derivate parziali del primo ordine, in n variabili, di tipo semilineare, può essere ricondotto allo studio di una equazione integrale alla quale viene poi applicato il metodo delle approssimozioni successive per la costruzione effettiva di una eventuale soluzione della equazione stessa. Lavoro eseguito nell’ambito del VI gruppo di ricerca del Comitato per la Matematica del C.N.R. per l’anno 1961–62.     

Structure of the linearized problem for compressible parallel fluid flows

We consider the linearized compressible Navier-Stokes equation near a parallel flow in a cylindrical domain restricting our study to perturbations periodic in the generatrix direction. For any parameter values, we show that the initial value linear evolution problem is solved by the direct sum of a (strictly) contraction semi-group and an analytic semi-group. Any unbounded in time solution of this linear problem comes from isolated eigenvalues with finite multiplicities, which have non negative real part, and whose imaginary part is bounded. In addition, we precise the structure of the spectrum of the generator of the semi-group, locating the essential spectrum stricly on the left side of the complex plane.

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Sunto Si linearizzano le equazioni di Navier-Stokes comprimibili attorno ad un moto lineare in un cilindro. Senza imporre restrizioni sul moto di base, si studia il problema lineare per perturbazioni periodiche nella direzione della generatrice del cilindro. Si prova che il problema di evoluzione lineare è dato dalla somma diretta di un semigruppo di stretta contrazione ed un semigruppo analitico. Ogni soluzione temporalmente non limitata deriva da autovalori isolati di molteplicità finita, aventi parte reale positiva e parte immaginaria limitata. Si studia anche la struttura dello spettro del generatore del semigruppo, costituito nel lato destro del piano complesso da autovalori di molteplicità finita, e nel lato sinistro di autovalori e da uno spettro essenziale situato su di una retta parallela all’asse immaginario.

     

Elastic field perturbation by an elliptic inhomogeneity with a sliding interface

Summary Muskhelishvili complex potentials are used to solve the problem of an infinite elastic plane containing an elliptic inhomogeneity with a sliding interface but no eigenstrain. The boundary conditions considered are (a) continuity of normal tractions and displacements and vanishing shear tractions at the interface, and (b) vanishing stresses at infinity. After a conformal mapping of the elastic plane, the solution is obtained in terms of a set of infinite algebraic equations yielding the Laurent's expansion coefficients of the complex potentials. Distinct sets of formulae must be written for a circular inhomogeneity (degenerate ellipse) and an elliptic inhomogeneity (no degeneracy), and in both cases no closed-form solution is obtainable. For an elliptic inhomogeneity the solution requires iteration and recursion, and implies vanishing stresses in the homogeneity when the system is loaded with a remote uniform shear parallel to the axes of the ellipse.

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Riassunto I potenziali complessi di Muskhelishvili vengono usati per risolvere il problema di un piano elastico infinito contenente una disomogeneità ellittica con interfaccia scorrevole e che non sia all' origine di un campo di sforzi in terni. Si considerano le condizioni al contorno: (a) continuità delle trazioni e degli spostamenti normali e annullamento delle trazioni tangenziali all' interfaccia; (b) annullamento degli sforzi all' infinito. Mediante una trasformazione conforme del piano elastico, la soluzione viene espressa in termini di un sistema di infinite equazioni algebriche per i coefficienti degli sviluppi di Laurent dei potenziali complessi. Si trova che occorre scrivere distinti sistemi per i casi di disomogeneità circolare (ellisse degenere) e di disomogeneità ellittica (non circolare). In ambedue i casi non è ottenibile una soluzione in forma chiusa. Nel caso di disomogeneità ellittica la soluzione consiste in formule ricorrenti e richiede iterazione; inoltre, essa implica l'annullamento del campo di sforzi nella disomogeneità quando il sistema è soggetto ad uno sforzo di taglio uniforme applicato all' infinito parallelamente agli assi dell' ellisse.

     

Equilibrium and congruence on a rotation surface

Summary Equilibrium and congruence are analyzed for surfaces applicable on a rotation surface: congruence conditions are shown to be in an essential number of two, linked by a differential identity, and the displacement field induced by a congruent strain is obtained. Then the solution of the homogeneous equilibrium equation is determined, when the equilibrium problem is the adjoint problem of the congruence.

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Sunto Si analizzano i problemi dell'equilibrio e della congruenza per superfici applicabili su superfici di rotazione: si mostra che le condizioni di congruenza essenziali sono due, legate da una identità differenziale, e si determina lo spostamento indotto da una deformazione congruente. A partire dalle condizioni di congruenza si determina poi la soluzione dell'equazione di equilibrio omogenea, nella ipotesi che il problema dell'equilibrio sia il problema aggiunto della congruenza.

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This work was done in the sphere of activity of the C.N.R. — Group for mathematical research.

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Istituto di Matematica del Politecnico — Via Bonardi, 9 — 20133 Milano.

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Entrata in Redazione il 3 Marzo 1973.     

Sul problema di Picard in ipotesi di Carathéodory

Sunto Viene studiato il problema di Picard per una equazione differenziale del secondo ordine di tipo iperbolico in due variabili, stabilendo, in ipotesi del tipo di Carathéodory e con dati al contorno assolutamente continui, dei teoremi di esistenza. La tecnica seguita per tale studio richiede la dimostrazione di alcuni criteri di compatezza rispetto alla convergenza quasi uniforme del tipo semiregolare nonchè di alcuni risultati concernenti la dipendenza da un parametro della soluzione di una equazione differenziale ordinaria del primo ordine. Vengono anche utilizzati dei nuovi risultati sulla derivazione sotto il segno d’integrale recentemente stabiliti, altrove, dall’Autore.

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Summary The Picard problem for a second order partial differential equation of hyperbolic type in two variables is studied. Existence theorems are established under rather mild assumptions of Carathéodory type on the data. The technique used requires some compactness criteria with respect to a certain type of convergence, as well as some results, not be found in the current literature, about ordinary d.e. depending on a parameter and Leibnitz rule for derivation of an integral.

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Lavoro eseguito nell’ambito dell’attività dei Gruppi di ricerca matematica del C.N.R.