数列的通项及其求法

一、数列的通项一个数列{a_n},如果它的第n项a_n与n之间的函数关系可以用一个公式来表示,那么就说这个数列有通项公式,或说其有通项;如果它的第n项a_n与n之间的函数关系不能用一个公式来表示,那么就说这个数列没有通项公式,或说其无通项。因此对于全体数列按其通项存在与否可将它们分为两类,即有通项的数列和无通项的数列。对于无通项的数列,只能用语言描述的方法来表示该数列的确定性。如:(ⅰ)由小至大的全体素数组成的数列;(ⅱ)“π”的不足近似值分别精确到1/10,     

充分辩析“项” 正确解答数列题

按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫作这个数列的项.如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫作这个数列的通项公式.在数列中对于“项”的处理既重要又复杂,易混易错.下面就是这方面的一些例子.     

从求数列的通项公式谈起

现行中学数学教材指出,如果一个数列的第n项a_n与项数n之间的函数关系可以用一个公式来表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式。由已知数列的前若干项,求数列的通项公式,一般说来,有如下几种情况: ①写不出通项公式的,如3~(1/2)的精确到1/10~n的近似值数列; 1,1.7,1.73,1.732,… 2,1.8,1.74,1.733,…就没有通项公式。②通项公式不是用一个代数式表示的。     

函数思想在数列中的几点应用

数列是一类特殊的函数 ,即数列是定义在自然数集 N或其子集 {1 ,2 ,… ,n}上的函数f ( n) ,当自变量 n依次取自然数时 ,对应的函数值是一序列 :f( 1 ) ,f ( 2 ) ,… ,f( n) ,…这就是数列 ,其通项公式为 an =f ( n) .因此 ,数列与函数之间的关系 ,是一般与特殊的关系 ,正是这种关系 ,使函数思想方法成为研究和解决数列问题的重要工具 .在数列的教学中渗透函数思想方法 ,不仅可以加深学生对数列的认识 ,而且可以使学生深入领会特殊→一般→特殊这一认知规律在数列中的具体应用 .1　 用函数观点研究等差、等比数列的特点数列的通项公式及前 n…     

求一类数列通项公式的思路

学习数列知识以后 ,如何求数列的通项公式是学生必须掌握的内容 .求数列的通项公式主要有以下三种类型 :一是给出数列的前几项 ,求通项公式 ;二是给出了数列的前n项和Sn 和通项an 的关系求通项公式 ;三是由递推关系求通项公式 .尤其是第二类成为考查求通项公式的主流 ,这类题目的解决办法是充分利用化归的数学思想 ,实现项an 与和Sn 的有机转化 ,最终求出数列 {an}的通项公式 .例 1　在数列 {an}中 ,已知Sn=3+2an,求an.解　当n =1时 ,由a1=S1=3+ 2a1,得a1=- 3.思路 1 :把已知条件中的项an 转化成和Sn.利用an=Sn-Sn -1(n≥ 2 ) ,则条件变…     

充分辩析“项” 正确解答数列题

<正>按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫作这个数列的项.如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫作这个数列的通项公式.在数列中对于"项"的处理既重要又复杂,易混易错.下面就是这方面的一些例子.例1某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一年剩留的这种物质是原来的     

数列

1.本单元知识点数列作为一种特殊的函数,是反映自然规律的基本数学模型,是高中数学非常重要的基础内容.又由于数列与函数、方程、不等式有着紧密而广泛的联系,可以用来考查学生对数学思想方法的理解以及综合运用知识的能力,因此它也是高考的一个重点.本单元学习重点包括:数列的概念,an与Sn之间的关系,等差数列的概念、通项公式与前n项和公式,等比数列的概念、通项公式与前n项和公式.本单元学习难点包括:递推数列的求解,数列     

唇齿相依的an与Sn

从所周知,如何由数列|an|的递推关系式求数列的通项公式an,如何由数列的通项公式an求数列的前n项和公式Sn是<数列>这一章中我们要解决的两大基本问题,当已知数列的前n项和公式Sn时,则通过an={S1=(n=1),Sn-Sn-1(n≥2),很容易求得数列通项公式an,an与Sn可谓"唇齿相依";在高考与竞赛中还时常出现由an与Sn的关系式,求数列的通项公式的问题,本文通过一个典型题目的多种解法,介绍解决这类问题的几何常用策略,供大家参考.……     

一个数列的通项公式是否唯一

因数列 { an}是定义在正整数集或其有限子集上的函数 ,故若给出一个数列的前若干项 ,欲求其通项公式 ,是和求函数解析式有密切关联的一个问题 .假若给定数列的前几项 ,能否写出其通项公式 ?如果能的话 ,能写出多少个 ?例 1　已知数列的前三项为 :3,9,2 7,请写出它的一个通项公式 .思路　习惯上把其一个通项公式写成an =3n.既然数列是定义在正整数集或其有限子集上的函数 ,我们自然会想到 :能否用一个最低次的关于 n的整式函数来表示 ,对于数列3,9,2 7,…来说 ,已知其前三项 ,就是知其对应的函数 f(n)图像上三个点 P(1,3)、Q(2 ,9)和 R(3,2…     

利用函数的观点解决数列问题举例

在学习数列内容时适当加强与函数的联系,运用函数的观点和方法处理问题,不仅有利于对数列知识的理解,而且可使学生对函数的认识进一步深化,提高学生综合应用知识的能力.1.数列与函数概念的联系与区别数列的通项公式与前n项和均可以看成定义在自然数集(或其有限真子集)上关于项数n的函数.但在这之前接触的一般是自变量连续变化的函数,所以在应用函数观点解决数列问题时要特别注意.例1已知数列{an}的通项公式为an=nn--78..88,判断an有无最大值、最小值,若没有说明理由,若有则求出最大值、最小值.解:∵an=nn--78..88=n-n-88.8.+81=1+n-18.8,由…     

运用函数与方程的观点研究数列

数列是一种特殊的函数,数列的通项公式和前n项和公式都可以看成n的函数,也可以看成方程或方程组,特别是等差数列的通项公式可以看成n的一次函数,而其求和公式可以看成是n的二次函数,因此许多数列问题可以用函数和方程的思想进行分析,加以解决.     

从新教材数列中新增题目看教材的变化和特点

高中数学新教材将数列与数学归纳法、极限分开 ,并从原来的高二提前到高一 (上 ) ,在新教材中还增加了不少新的题目 ,仔细分析这些新题 ,我们可以感觉到数列要求的一些新变化和对学生学习的新的要求 .1　突出了函数的主线新教材将数列安排在函数之后 ,强调了数列与函数知识的密切联系 .从函数的观点出发 ,直观的研究数列的一些问题 ,既有利于认识数列的本质 ,又有利于加深对函数概念的理解 .题目 1　 (P1 42 B组第 2题 )已知数列的通项公式 an =n2 - 1 0 n 1 0 .这个数列从第几项起各项的数值逐步增大 ?从第几项起各项的数值均为正值 ?数…     

一道课本习题的解答与拓展

抄录新课标人教A版教材必修5复习参考题B组第6题如下:"已知数列{an}中,a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3),对这个数列的通项公式作一研究,能否写出它的通项公式?"     

一道高考题的另一解法

2007年高考全国卷(Ⅰ)理科第22(Ⅱ)题也可以用“辅助数列法”求出通项bn,然后证明.题:已知数列{an}中a1=2,an 1=(2-1)(an 2),n=1,2,3,….(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)若数列{bn}中b1=2,bn 1=23bbnn 34,n=1,2,3,….证明:2相似文献   

递推数列的通项公式求解方法探究

<正>根据数列所满足的递推关系,用累加或累乘的方法求出通项公式;或用转化与化归的数学思想及方程的思想构造出新的等差或等比数列,通过求得新数列的通项公式进而求出递推数列的通项公式.1.型如an+1=an+f(n)可作差累加求通项.若递推公式为a_(n+1)=a_n+f(n)型,则只需将原递推公式化为a_(n+1)-a_n=f(n),再以累加法可知a_n-a_1=g(n),于是a_n=a_1+g(n).     

试题研讨(4)

题 1　已知数列 {an}前 n项和为 Sn,若 a1= 2 ,nan 1=Sn n( n 1 ) .( 1 )求数列 {an}的通项公式 ;( 2 )令 Tn =Sn2 n,1当 n为何值时 ,Tn>Tn 1( n∈ N ) ?2若对一切正整数 n,总有 Tn ≤ m,求 m的取值范围 .( 2 0 0 2年苏州市模拟考试题 )命题溯源　求数列的通项公式是数列知识的重要问题 .1 983年高考题中首次出现由递推数列求通项公式的问题 ,连考了三年 ,当时形成了一个热潮 .多年来两类求数列通项公式的问题是常考常新 .一类是已知f ( an,Sn) =0求数列通项 an;另一类是与不等式相关的数列综合题 ,如 1 998年全国高考试卷末题 ,…     

由数列和的关系求数列

在给定的条件下 ,求数列的通项、数列的前n项和等问题是数列中非常重要的一个类型 .当已知条件与数列前n项和有关时 ,这类问题的解决比较复杂 ,它也是数列教学中的难点 .那么 ,能否给出一种统一的求解方法呢 ?1　由条件Sn=f(t)Sn- 1 + g(t) (t∈R ,n≥ 2 )求数列例 1　设数列 {an}的首项a1 =1 ,前n项和Sn 满足 3tSn=( 2t+ 3)Sn - 1 + 3t (t >0 ,n≥ 2 ) .求数列 {an}的通项公式以及前n项和Sn.分析　求数列 {an}的通项公式an,常用的方法有两种 .第一 ,证明数列 {an}为等差或等比数列 ;第二 ,求出数列 {Sn}的通项公式Sn,由an=Sn-Sn- 1 可…     

递推数列的通项求法例析

在必修5《数列》P69T6：已知数列{an}中,a1=5,a2=2、an=2an-1＋3an-2（n≥3）对于这个数列的通项公式作一研究,能否写出它的通项公式？这是一道已知数列的递推式,求数列的通项公式,而且涉及到三个量的关系,它是本章内容的一个提升．本文试从这道题的类型展开加以研究．     

殊途同归求通项

数列是中学数学重点内容之一,也是初等数学与高等数学的一个重要衔接点;而数列的通项公式则是研究数列的最佳载体,通项公式反映着数列中每一项的共性特征即通项中包含问题的规律性,在解题中一旦规律性突破了,就能顺利地解剖本质问题.数列问题特别是数列的通项公式问题历来是高考的重点,甚至很多次作为压轴题形式出现.本文主要利用等差数列和等比数列的性质来求解一些非特殊递推数列的通项公式.1利用等差数列的性质求数列的通项公式(1)an 1=an f(n)型例1(07北京)数列{an}中,a1=2,an 1=an cn(c是常数,n=1,2,3,…),且a1,a2,a3成公比不为1的等比…     

巧用递推关系求数列通项公式

<正>数列的通项公式是给出数列的主要方式,其本质就是函数的解析式.围绕数列通项公式,不仅可以判断数列的类型,研究数列的项的变化规律,而且有利于求数列前n项和.而利用递推关系求数列的通项公式又是数列的核心问题之一.因此,本文通过举例来介绍几种常用的求法.1.辅助数列法利用数列的递推关系,构造一个新的数列