周期函数的运算与变式

今年5月初我开设了一堂《和函数f（x）=x＋sinx 的性质探究》公开课，组内一名听过我课的老教师参加了今年上海的高考命题．笔者发现2011年上海高考卷中的第13题与我的公开课主题不谋而合！2011年山东高考卷中也考查了类似和函数的图像，     

如何巧妙构造函数简捷证明不等式

利用函数方法证明不等式最关键的是构造适当的函数,而如何构造适当的函数常常是因题而异的.下面阐述如何从不等式的结构人手,从而找到所需构造的函数.1 分析所证不等式的结构特点,联想函数的单调性,能获得简洁的思路.例1 若x≥y,则2010(x-1)3+2011(x-1)≥2010(y-1)3+2011(y-1).分析所证不等式两边的结构相似,相当于比较函数f(x)=2010x3+2011x在x-1及y-1的函数值大小,将不等式的证明转化为函数增减性来研究.     

多视角求解一道高考模拟函数综合题

题目（2011年山东省高考数学模拟第12题）：设函数f（x）的定义域为D,若f（x）满足下面两个条件,则称f（x）为闭函数：①f（x）在D内为单调函数;②存在区间[a,b]∈D,使得f（x）在[a,b]上的值域为[a,b]．如果f（x）=√2x＋1＋k为闭函数,则实数k的取值范围是     

赏析一道考题的多种解法

<正>数学学习强调经历学习过程,注重学习的探究与反思.一题多解能够很好地体现学习过程中的自主探究,有利于培养思维的广阔性、灵活性和敏捷性.下面以一考题为例,与读者共赏.题目(2013年全国高考卷理16)若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图像y=f(x)关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值为.     

用导数三探零点问题

方程f(x)=0的根也称为函数f(x)的零点,研究方程f(x)=0的根就是研究函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.对零点问题的研究几乎汇聚了函数的所有知识点和数学思想方法,因而往往被压轴.在2011年高考冲刺复习中,如     

它们是同一个函数吗?

一、问题的提出 前不久听了一节公开课,内容是高一函数的概念第一节,其中的一个片段引人思考. 讲完函数的概念之后,教师提出一个问题: 函数f(x)=x,x∈[0,1]与函数g(x) =x2,x∈[0,1]是同一个函数吗? 生1:不是同一个函数. 师:为什么呢? 生1:因为两个函数的解析式不同. 师:有没有同学有不同观点呢?     

如何用导数判断函数单调性

函数的单调性是函数的重要性质,也是高考的热点问题,若利用函数定义求解,一般较为复杂.但是利用导数求函数的单调就有效地解决了这一难题.一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f′(x)>0,则f(x)为增函数;如果f′(x)<0,则f(x)为减函数.下面对利用导数判断函数的单调性的几个注意点加以说明.一、f′(x)>0(<0)是f(x)为增(减)函数的充分不必要条件例1用导数来判断函数f(x)=x3(x∈     

一道调研试题解法的思考

(2011年1月襄阳市高中调研考试理科第21题)已知函数f(x)=px-p/x-2lnx.(1)若p=2,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若函数f(x)在其定义域内为增函数,求     

“函数的表示法”:教什么,怎么教

一、一节公开课引发的问题2014年9月下旬,六安市一位G教师在一所薄弱学校(生源基础普遍较差)开设了一节高中数学公开课,课题是"函数的表示法"(第一课时).G教师的教学主要依托以下三个例题展开.例1(人教A版教材例题)某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数y=f(x).例2(人教A版教材例题)下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.     

找回遗漏的解

题目1已知函数f（x）=｜x＋1｜＋｜x＋2｜＋…＋｜x＋2011｜＋｜x-1｜＋｜x-2｜＋…＋｜x-2011｜（x∈R）,且f（a^2-3a＋2）=f（a-1）,则满足条件的所有整数a的和是_____．     

割线斜率集是切线斜率集真子集的一个充要条件

《数学通报》2011年第6期刊登的《从割线斜率到切线斜率的不等价转化及其逻辑解读》(以下称文1)一文分析了以下一道题目的解法:题目 已知函数f(x)=-x3+ ax2+ b(a,b∈R),若函数y=f(x)的图象上任意不同的两点连线的斜率都小于2,求a的取值范围.     

数形结合妙解一道中考题

试题 已知函数y=(x-1)2- 1(x≤3),(x -5)2-1(x＞3),则使y=k成立的x值恰好有三个,则k的值为A.0B.1C 2D.3 这是黄冈市2011年初中毕业生学业水平考试数学试题中的最后一道选择题.其题设计新颖,有一定的难度系数,大部分考生利用解方程组的方法逐项筛选,不仅费时费力,而且准确率不高.其实,只要略作分析,转换角度,恰当地运用数形结合思想可以快速而准确地解决战斗.     

多元函数取局部极值的一个充分条件及其几何意义

在现有的高等数学教材中 ,如文献 [1 ],多元函数取局部极值这一部分仅介绍二元函数在驻点处的情况 ,而有的驻点也无法判断是否为极值点。文献 [2 ]给出了多元函数取局部极值的一个充分条件 ,但也仅考虑驻点的情况 ,有的驻点也无法判断是否为极值点。本文提出的方法 ,对驻点和偏导数不存在的点均能判断是否为极值点 ,且对多元函数本身要求不高。对于二元函数 ,此方法有其明显的几何意义。定理　设 f( x1,x2 ,… ,xn)在 P0 ( x01,x02 ,… ,x0n)的邻域 U( P0 ,δ)内连续 ,且在去心邻域 U( P0 ,δ)内有一阶连续的偏导数。若在 P0 ( x01,x02…     

用导数三探零点问题

方程f（x）=0的根也称为函数f（x）的零点,研究方程f（x）=0的根就是研究函数y=f（x）的图象与x轴交点的横坐标．对零点问题的研究几乎汇聚了函数的所有知识点和数学思想方法,因而往往“被压轴”．在2011年高考冲刺复习中,如何在零点题型上有所突破？导数是研究函数的图象与性质的最重要工具,因此解决有关方程根的分布或函数零点问题,导数方法是首选．本文以一道模拟题解法的三次改进,例说如何用好导数工具,解决函数零点问题．     

函数图象的概念和反函数的图象

长期以来,关于函数、反函数的图象概念有一种相当流行的看法:认为x=f~(-1)(y)的图象和原来的函数y=f(x)的图象重合或相同,并认为互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称的原因,只不过是在函数x=f~(-1)(y)'中将字母x与y互换的结果。这类看法同关于函数及其图象的基本理论是相抵触的,它混淆了函数的图象和方程的曲线之间的实质区别,因而对函数概念的教学产生有害的影响。虽然《数学通报》早在1983年第4期就发表过文章,对以上错误观点提出了异议,但似乎并未能切中要害,因而没有引起足够的注意。现在这类错误观点反而得     

函数f（x）=sin（ax＋b）在格点区间上的性质

2002年4月8日有幸听了向明中学王大任老师一节市级公开课[1],受到启发.我们进一步考虑:在怎样的条件下,函数f(x)=sin(ax+b)(a>0)在整数为端点的每个闭区间上都可取到1和-1.我们的结果可为当前开展“研究性学习”提供一个良好的载体.     

一类规划问题的最优性讨论

本首先给出一类新的目标函数的分子和分母及约束函数都含有支撑函数的单目标分式规划问题模型，并打破f(x)，g(x)，h,(x)可微的限制，率先利用凸分析理论讨论了f(x)，g(x)，hj(x)不可微(从而目标函数和约束函数可微性不定)时的最优性条件。     

一道新题征展问题的结论与证明的纠正

本刊2011年第2期新题征展(124)题7是一道有关导数应用的函数与不等式综合问题,原题如下:已知函数f(x)=2x+alnx(a∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求实数a的取值范围;(3)若函数f(x)的最小值为h(a),m,n为h(a)定义域A中的任意两个值,求证:h(m)+h(n)/2＞h(m+n/2).     

函数g(x)=(1+1/x)x+1的性质及其应用

近年高考时常出现与函数f(x)=(1+1/x)x(x>0)有关的压轴题,如2007年四川理科卷的第22题及2001年全国理科卷的第20题,这两道题都涉及了函数f(x)的相关性质.有关函数f(x)=(1+1/x)x(x>0)的两个重要性质以及结论,文献[1]中给出了总结和证明:     

对问题204评析中《选登2》一文的思考

《数学通讯》(教师版)2011年第11期发表了邓超老师对问题204的评析,即评析中的《选登2》一文.邓超老师在该文中认为只要将函数f(x)的定义域由"实数集R"改为"闭区间[0,1]",而其它条件不变,则符合题目条件的函数f(x)就存在了,且