三角形重心向量性质的进一步推广

文[1]给出了三角形重心的一个向量性质:命题1已知G是△ABC的重心,过G作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且AM=x AB,AN=y AC,则图2命题2图1x 1y=3.并把上述结论推广到三棱锥:命题2过三棱锥P-ABC的重心G的平面分别与三条侧棱相交于A1,B1,C1,且PA1=x PA,PB1=yPB,PC1=z PC,则1x 1y 1z=4.文[2]将上述结论推广到空间任意有限点的重心上,得到:图3定理1图定理1设P,A1,A2,…,An是空间任意n 1个点,G是这n 1个点构成的有限点集V(V={P,A1,A2,…,An})的重心,平面π过G且与直线PAi(i=1,2,…,n)相交于Bi,P不在平面π上,且有PBi=λi…     

三角形重心向量性质的再推广

本刊文〔l]给出了三角形的以下性质.命题1已知G是沪△八BC的重心，过G作直线与月刀，AC两边分别交于M，N两点，且天府二x庙，丽二y劝，则生 生=3. Xy并把上述结论推广到三梭锥，得到图1命题l图命题2过三棱锥P- ABC的重心G的平面分别与三条侧棱相交于A，，B，，且瓦寸=x或，再可     

一个三角形重心向量性质及空间拓广性质的另证

文[1]给出了一个三角形重心性质1,探索出三棱锥也有的类似性质2,给出证明,本文拟给出一种更为简捷的证明方法.性质1如图1,已知点G是△ABC的重心,过G作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且AM=x0AB,AN=y0AC,则x10=y10=3.另证取A为坐标原点,以向量AB,AC作为基底,建立平面仿射坐标系     

关于矩阵群逆的逆序律

得到了体上两个n阶方阵A,B的群逆A#,B#若存在,则其乘积的群逆(AB) #也存在,且(AB) #=B#A#成立的充分与必要条件是:存在n阶可逆矩阵P使得A =Pdiag(A1,A2 ,…,As) P- 1,B =Pdiag(B1,B2 ,…,Bs) P- 1且对于任意i(i=1 ,2 ,…,s)有Ai,Bi阶数相同,Ai,Bi为可逆矩阵或为0矩阵;又对i≠1有Ai Bi=0 .     

一个三角形重心向量性质的空间拓广

利用平面向量的知识,三角形有以下性质:图1[1]如图1,已知点G是△ABC的重心,过G作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且AM=xAB,AN=y AC,则1x 1y=3.证∵点G是△ABC的重心,∴GA GB GC=0,∴-AG (AB-AG) (AC-AG)=0,∴AG=13(AB AC).又∵M,N,G三点共线(A不在直线MN上),∴AG=λAM μAN(且     

三角形外心与重心的一个性质的推广

命题设G为△ABC的重心,AG,BG,CG与△ABC的外接圆相交于D、E、F,则AGGD GBEG GCFG=3.该题是《数学通报》征解题387.文[1]把它推广为:定理若P是△ABC的外接圆内的点,AP,BP,CP与外接圆交于D、E、F,O是外心,G是重心,P点落在以OG为直径的圆上的充要条件是APPD PBEP PCFP=3.本文把这个性质推广到n边形的外接圆内的点.设A1A2A3…An是⊙O的内接n边形,Ai(i=1,2,…,n)在以圆心为原点的平面直角坐标系内的坐标为(xi,yi),与三角形类似,定义1n∑ni=1xi,1n∑i=n1yi为n边形重心G的坐标.则有定理1P为n边形A1A2A3…An外接圆内一…     

相似双曲线的一组优美性质

文[1]介绍了相似椭圆的一组性质,很容易把这些性质类推至双曲线.不仅如此,相似双曲线还具有更多的优美性质.为行文方便,本文约定双曲线C1的方程为ax22-by22=λ2(0<λ<1),双曲线C2的方程为xa22-by22=1.显然C1与C2相似,且相似比为λ.定理1过双曲线C2上任一点P引C2的切线l交双曲线C1于A,B两点.则|PA|=|PB|.定理2若直线l与双曲线C1交于A,B两点,与双曲线C2交于C,D两点,则|AC|=|BD|.以上性质的证明与文[1]完全类似,故略.定理3过原点的直线l1与双曲线C1,C2的右支分别交于点A1,A2.过原点的直线l2与双曲线C1,C2的右支分别交于点B1,B2.则…     

一个三角形重心向量性质的空间拓广

利用平面向量的知识,三角形有以下性质: 命题1如图1,已知点G是△ABC的重心,过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点,且→AM=x→AB,→AN=y→AC,则1/x+1/y=3.     

四面体的k号心及其性质

本文拟用解析法 ,建立四面体的 k号心的概念 ,并研究它的性质 .定义 1　在空间任取一点 P,以 P为原点建立空间直角坐标系 ,设四面体 A1A2 A3 A4的顶点 Ai 的坐标为 (xi,yi,zi) (i=1,2 ,3,4 ) ,对非零实数 k,令x′=1k 4i=1xi,y′=1k 4i=1yi,z′=1k 4i=1zi,则点 Q(x′,y′,z′)称为四面体 A1A2 A3 A4关于点 P的 k号心 .显然 ,四面体关于点 P的 4号心就是四面体的重心 .定理 1　设四面体 A1A2 A3 A4关于点 P的 k号心为 Q,其重心为 G.则 Q,G,P三点共线 ,且 G分有向线段 QP所成的比为 (4 - k) / k.证　应用同一法 .在有向线段 QP…     

关于圆外切闭折线周长的一个不等式

设△ ABC的三边长为 a,b,c,其内切圆半径为 r,则有下面熟知的不等式 :　　 a b c≥ 6 3r ( 1 )当且仅当△ ABC为正三角形时取等号 .本文将推广这个不等式 ,证明关于圆外切闭折线周长的一个不等式 .定理 1　设闭折线 A1A2 A3 … An A1有内切圆⊙ ( I,r) ,闭折线的环数为 t,各边长为| Ai Ai 1| =ai( i=1 ,2 ,… ,n,且 An 1为 A1) ,则有　 ∑ni=1ai ≥ 2 nrtan tnπ ( 2 )当且仅当闭折线为正星形时取等号 .图 1证明　如图 1 ,设边Ai Ai 1与圆 I相切于 Bi,连Ai I,Bi I,Ai 1I,则ai =| Ai Bi| | Bi Ai 1|=r( cot Ai2 co…     

涉及四面体内点的一个不等式

设I为四面体A1A2A3A4的任一内点,延长AiI,交于Ai的对面于点A'i(i=1,2,3,4).文[1]得到:……     

多面体的顶点系重心的优美性质

假设一个多面体的所有顶点为 A1,A2 ,… ,An( n>3) ,这个多面体记作 V( n) .定义 1　建立空间直角坐标系 ,设多面体 V( n)的顶点 Ai 的坐标为 ( xi,yi,zi) ( i=1 ,2 ,… ,n) ,令x=1n ni=1xi,y=1n ni=1yi,z=1n ni=1zi,( * )则点 G ( x,y,z)称为多面体 V ( n)的顶点系重心 .本文揭示多面体的顶点系重心的若干优美性质 .引理　设多面体 V( n)的顶点系重心为 G,则对于空间的任一点 P,有 ni=1PA2i=n· PG2 ni=1GA2i. ( )证明　以重心 G为原点 O建立空间直角坐标系 (图略 ) ,设顶点 Ai 的坐标为 ( xi,yi,zi)( i=1 ,2 ,… ,n) ,点 P的…     

一道2005年全国高中数学联赛试题的根源探析

1问题的提出过抛物线y=x2上一点A(1,1)作抛物线的切线,分别交x轴于D,交y轴于B.点C在抛物线上,点E在线段AC上,满足EAEC=λ1;点F在线段BC上,满足FBCF=λ2,且λ1 λ2=1,线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时,求点P的轨迹方程.2问题的解决解抛物线在点A处的切线斜率为y′=2x|x=     

圆锥曲线的一个性质及应用

1性质过圆锥曲线的焦点F作倾斜角为α的直线l与圆锥曲线交于A,B两点(点A在B的上方),且F分AB的比为λ,e为离心率,则cos2α=e(2(λλ- 11))22.证明以圆锥曲线中的椭圆为例,设过椭圆xa22 by22=1(a>b>0)右焦点F(c,0),倾斜角为α的直线l交椭圆于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则当α≠2π时     

三角形的一个向量性质及其空间拓广

文[1]、文[2]、文[3]及文[4]对一个三角形重心向量性质进行了探讨,笔者阅读后深受启发,得到了三角形的一个向量性质,并进行空间拓广.图1三角形定理1如图1所示,已知△ABC及其内部一点P,若λ1PA λ2PB λ3PC=0,λ1,λ2,λ3都是大于0的实数,过P作直线AB,AC两边分别交于M,N两点,且A     

2010年浙江卷文科压轴题的推广

题已知m是非零实数,抛物线C:y2=2pxx>0的焦点F在直线l:x-my-(m2)/(2)=0上. (Ⅰ)若m=2,求抛物线C的方程; (Ⅱ)设直线l与抛物线C相交于A,B两点,过A,B分别作抛物线C的准线的垂线,垂足为A1,B1,△AA1F,△BB1F的重心分别为G,H.求证:对任意非零实数m,抛物线C的准线与x轴的交点在以线段GH为直径的圆外.     

圆锥曲线性质新探

性质1 过椭圆E：x2/a2＋y2/b2=1（a〉b〉0）的一个焦点F的任一直线与Y轴交于点M,与椭圆E交于A,B,A,B分有向线段MF的比为λ1,λ2,     

数学问题解答

2006年2月号问题解答(解答由问题提供人给出)1596已知:△ABC内接于⊙O,过点A作⊙O的切线与CB的延长线交于D,点M1,M2在AB上,且AM1BM2=λ(0<λ≤1),分别延长DM1、DM2交AC于点E1,E2.求证:CE1·CE2AE·AE·λ2≤DA4DB4.证明过点B作BF1∥DE1,交AC于F1,作BF2∥DE2,交AC于F2,则有CE1E1     

新题征展(31)

A　题组新编1 .( 1 ) f( x) =x2x - 1 ( x >1 )的最小值为.( 2 ) f ( x) =x3x - 1 ( x >1 )的最小值为.( 3) f ( x) =x3x2 - 1 ( x >1 )的最小值为.2 .( 1 )三棱锥的三个侧面中最多可能有个直角三角形 .( 2 )四棱锥的四个侧面中最多可能有个直角三角形 .( 3) n( n≥ 5)棱锥中 ,n个侧面最多可能有个直角三角形 .(第 1、2题由严根林供题并作答 )B　藏题新编　　 3.已知复数 z满足条件 | z| =1 ,求| z - i| .| z - 12 32 i|的最大值 .4 .椭圆 b2 x2 a2 y2 =a2 b2 ( a >b>0 )的右焦点为 F,右准线 l与 x轴交于点 C,过点 F作弦 AB,作 AD⊥…     

点到空间直线距离的一个公式

利用求条件极值的拉格朗日乘数法给出了空间中点P(x0,y0,z0)到直线A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0距离的一个公式d=|(A1x0+B1y0+C1z0+D1)n2-(A2x0+B2y0+C2z0+D2)n1|/|n1×n2|,其中ni={Ai,Bi,Ci},(i=1,2)