Die elastoplastische Berechnung von allgemeinen Tragwerken und Kontinua

Übersicht Die in [5, 6] entwickelte Erweiterung der Matrizenverschiebungsmethode auf nichtlineare elastoplastische Probleme wird in diesem Bericht vertieft und auf spezielle Probleme angewendet. Die Theorie, welche auf einer schrittweisen Linearisierung des Belastungs- bzw. Deformationszustandes beruht, läßt im Prinzip jedes Fließgesetz zu, wird aber hier im Einzelnen für das von Misessche Fließgesetz und die Prandtl-Reussschen Gleichungen inkrementaler Dehnungsbeziehungen aufgebaut. Die plastischen Dehnungen werden im Sinne von [1] als gegebene Anfangsdehnungen betrachtet, so daß die inkrementalen Deformationen aus einer rein elastischen Berechnung ermittelt werden können; dabei verbleibt die Steifigkeitsmatrix bei unveränderlicher Temperatur und kleinen Deformationen konstant. Die Methode ist sowohl auf ein-, zwei- bzw. dreidimensionale Systeme anwendbar und ist am Beispiel eines ebenen, dreieckigen Membranelements mit vorgeschriebener linearer Dehnungsverteilung erläutert. Da die plastischen Dehnungen tatsächlich zunächst unbekannt sind, werden drei Verfahren, sie zu bestimmen, beschrieben und auf ihren Anwendungsbereich untersucht. Die theoretisch begründeten Eigenschaften dieser Methoden werden durch einen Vergleich der Resultate für ein einfach statisch unbestimmtes Tragwerk praktisch bestätigt. Es zeigt sich, daß das dritte — sogenannte VIM-Verfahren [10] — immer konvergiert und in allen Fällen weitgehender, plastischer Deformation überlegen ist. Abschließend wird unter strenger Einhaltung des gegebenen Materialgesetzes eine rechteckige Scheibe mit zentralem Riß, bei dem plastische Deformationen offensichtlich maßgebend sind, untersucht.

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Summary The extension of the Matrix Displacement Method to non-linear elasto-plastic problems developed in [5, 6] is amplified considerably and applied to special problems. The theory, based on a stepwise linearization of the loading or deformation history, allows for any yield criterion. However, to crystallize the argument it is presumed here that the von Mises criterion and the associated Prandtl-Reuss incremental strain relations apply. If the plastic strains are at first considered as known, the incremental deformations may be determined, as proposed in [1], from a purely elastic analysis in conjunction with the concept of initial loads; the stiffness matrix of the system remains thereby constant, as long as the temperature distribution does not vary and the deformations and strains are small. The method is applicable to arbitrary two- or three-dimensional structures or continua and is exemplified on a triangular element with an assumed linear distribution of strain. Since the plastic strains are, in fact, initially unknown, special procedures for their determination have to be evolved [5, 6, 10]. The paper evaluates three increasingly more sophisticated approaches and indicates some theoretical criteria on their applicability which are substantiated by the numerical analysis of a singly redundant pinjointed framework. It is shown that the third — so called VIM-procedure — always converges and proves superior in all cases of extensive plastic deformations [10]. A second more ambitious example examines the spreading of the plastic zone in a plate with a central straight crack, a problem of considerable practical importance.

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Bericht des Instituts für Statik und Dynamik der Luft- und Raumfahrtkonstruktionen der Universität Stuttgart (ISD), (Direktor: Professor Dr J. H. Argyris).     

Druckverteilung durch eine elastische Schicht auf starrer rauher Unterlage

Ohne Zusammenfassung     

Die Durchbiegung eines Balkens unter einer bewegten Last

Übersicht Für die Biegebewegung der Balkenpunkte unter einer darüberlaufenden Einzellast wird bei Berücksichtigung der Massen von Balken und Last eine inhomogene, lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit zeitabhängigen Koeffizienten hergeleitet und vollständig gelöst. Die Ergebnisse sind von Bedeutung für die Bestimmung der Stoßkoeffizienten des Brückenbaus, aber auch für die Projektierung moderner Schnellbahnen. Als besonders interessantes Ergebnis wird eine kritische Geschwindigkeit definiert, die beim Ausfahren der Last einen Stoß verursacht.

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Summary A 2nd order linear and inhomogeneous differential equation with time-dependent coefficients describing the local bending motion of a beam under a moving load is derived and explicitly solved, whereby the masses of the beam and of the load are taken into account. The results can be important with respect to the determination of impact coefficients in bridge engineering, but particularly to the projecting of modern high-speed-railways. As an interesting result there is defined a critical velocity, whereby the exit of the load is disturbed by a discontinuity.

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Dem Andenken meiner Lehrer A. Hawranek und E. Chwalla, Brunn, gewidmet.     

Schubspannungsverteilung im Querschnitt eines gedrillten Ringstabs mit Anwendung auf Schraubenfedern

Zusammenfassung Die in der ersten Mitteilung Schubspannungsverteilung im Querschnitt einer Schraubenfeder für eine zum Ringwulst gedrillte Schraubenwindung kleiner Steigung aufgestellten Differentialgleichungen für die Spannungen und ihre näherungsweise Integration in erster und zweiter Ordnung werden auf den Fall eines Ringstabs mit elliptischem und mit rechteckigem Querschnitt angewandt. Dabei wird, statt mit der Querschnittsverwölbung selbst zu rechnen, von einer Spannungsfunktion Gebrauch gemacht. Es wird bewiesen, daß für einen Ringstab mit beliebigem Querschnitt, der aber eine Symmetrieachse parallel zur Ringstabachse besitzt, die Korrektion des Drillungsmomentes in erster (und jeder ungeraden) Ordnung verschwindet. In der Anwendung auf Schraubenfedern mit rechteckigem Querschnitt werden der Zusammenhang zwischen Federverlängerung und Zugkraft und die Frage der größten Schubspannung be trachtet.     

Die Stabilität eines räumlichen Gelenkfachwerkes

Übersicht In der vorliegenden Arbeit wird ein räumlicher dreistieliger elastischer Fachwerkstab unter Längskraftbelastung (konservatives Stabilitätsproblem) untersucht. Ausgangspunkt dazu sind die Differenzengleichungen für die Fachwerkknoten-Verschiebungen, die man aus den für die verformte Lage formulierten Gleichgewichtsbedingungen durch Linearisierung erhält. Die Differenzengleichungen haben drei voneinander unabhängige Lösungssysteme, die dem Biegeknicken, Drillknicken und einer zentralsymmetrischen Knickform entsprechen.

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Summary In this paper a threedimensional hinged truss with three parallel members under longitudinal forces is calculated (conservative problem of instability). By formulating the conditions of equilibrium for the joints in their displaced position a set of difference equations for the displacements of the joints is obtained. These equations separate into three independent problems: 1. buckling according to the bending of a beam, 2. torsional buckling, 3. axisymmetrical displacement.

     

Zur Kinematik eines kardanisch gelagerten freien Kreisels auf der rotierenden Erde

Übersicht Es werden Beziehungen abgeleitet, mit deren Hilfe eine erdfeste Kursrichtung aus der raumfesten Bezugsrichtung eines kardangelagerten kräftefreien Kreisels bestimmt, werden kann. Die Ergebnisse gelten für beliebig lange Zeitintervalle; die Transportbewegung wird berücksichtigt.

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Summary Equations for the determination of a terrestrial direction from the space fixed directional reference given by a cardan suspended, free gyro were developed. The length of the time interval taken into consideration here is not restricted, and the so called transport-drift is taken into account.

     

Untersuchung des Einflusses der Querschnittsdeformation auf das Schwingungsverhalten eines Hubschrauberblattes mit Hohlquerschnitt

Übersicht Es wird gezeigt, wie man die Differentialgleichungen des schwingenden Stabes mit deformierbarem Querschnitt erhält. Die Lösung dieser Gleichungen läßt sich vorteilhaft mit Hilfe numerisch gewonnenen Übertragungsmatrizen darstellen. Die. Einführung der Randbedingungen liefert das endgültige Gleichungssystem. Die Anwendung des Verfahrens auf ein Hubschrauberblatt mit Hohlquerschnitt zeigt, daß der Einfluß der Querschnittsdeformation auf das Drillschwingungsverhalten beachtlich, auf das Biegeschwingungsverhalten dagegen unbedeutend ist.

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Summary The differential equations of a vibrating beam having deformable cross section are derived. The solution of these equations can advantageously be formulated by using numerically produced transfer matrices. Introduction of the boundary conditions yields the resulting equations of the complete system. The application of the method to a rotor blade of a helicopter rotor driven by reaction shows that the influence of the deformation of the cross section on the torsional vibration is remarkable whereas the influence on the bending vibration is negligible small.

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Gekürzte Fassung eines von der Fa. Messerschmitt-Bölkow-Blohm GmbH, Unternehmensbereich Drehflügler, Ottobrunn zur Veröffentlichung freigegebenen Berichtes, Kontrakt Nr. 56081|2|3.3321 — 60003|P33|4521.     

Die schwachgekrümmte Kreisplatte auf elastischer Unterlage

Übersicht Es werden die Probleme der kreisrunden, schwachgekrümmten Platte und das der Kreisplatte auf elastischem Halbraum behandelt. Der Ansatz von Besselschen Eigenfunktionen gestattet eine fourieranalytische Lösung des Problems.

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Summary The problem of the flat spherical shell and of the circular plate on an elastic semi-space are treated. Applying the Bessel functions as eigenfunctions it is possible to solve the problem by means of a Fourier analysis.

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Gekürzte Fassung einer von der Fakultät für Bauwesen der Technischen Hochschule Hannover genehmigten Dissertation; Berichter: Prof. Dr.-Ing. habil. A. Pflüger und Prof. Dr.-Ing. D. Withum.     

Die erweiterte Jenckel-Gleichung,eine leistungsfÄhige ViskositÄts-Temperatur-Formel

Zusammenfassung Die ViskositÄts-Temperatur-Formeln lassen sich auf zweierlei Weise verstÄndlich machen: 1. eine phÄnomenologische Analogiebetrachtung zur klassischen Thermodynamik führt auf eine derGibbs-Helmholtz-Gleichung entsprechende Beziehung, wenn man die Aktivierungsenergie als Temperaturfunktion auffaßt; gerade das lÄßt sich durch die numerischen Untersuchungen erhÄrten. Die hierdurch mögliche Aufteilung in freie Aktivierungsenergie und Konstellationsterm ist weniger willkürlich und führt zu einigen nützlichen Aussagen. 2. Modellvorstellungen über die molekularen VorgÄnge beim Fließen müssen dem kooperativen Charakter Rechnung tragen. Zwischen den Modellen vonJenckel und vonHolzmüller lÄßt sich eine enge Verwandtschaft nachweisen, daHolzmüllers Gleichung in die erweiterteJenckel- Formel zu überführen ist, wenn man den Kopplungsgrad als temperaturabhÄngig annimmt.

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Summary The viscosity temperature formulae can be interpreted in two different ways: 1. a phenomenological view analogous to classical thermodynamics leads to a relationship corresponding to theGibbs-Helmholtz-equation, if the activation energy is regarded as function of temperature; even that assumption is to confirm by numerical investigations. Hence it is possible to split the energy less arbitrarily in a free energy of activation and in a constellation term arising to some useful results. 2. Models of the molecular processes during the flow have to take into account the cöoperative character. The models byJenckel and byHolzmüller can be shown related near to another, because theHolzmüller equation is to transform into the extendedJenckel formula, if the degree of coupling is supposed as dependend on temperature.

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Mitteilung aus der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt

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Auszugsweise vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologen in Bad-Ems vom 18.–19. Mai 1967.     

Modifizierte Anwendung der Harmonischen Balance auf die Zustandsgleichungen eines Rührkesselreaktors

Übersicht Das zum Aufsuchen von Grenzzyklen vielfach erprobte Verfahren der Harmonischen Balance wird in modifizierter Weise auf die Systemgleichungen eines Rührkesselreaktors angewandt. Dabei erfordert die prozeßbedingte Nichtlinearität nicht nur einen dem reaktionskinetischen Problem angepaßten Lösungsansatz, sondern darüber hinaus auch ein andersartiges Vorgehen, als dies bei der Anwendung der Harmonischen Balance sonst üblich ist. Die indirekte Behandlungsweise ist unabhängig vom speziellen Beispiel überall dort einsatzfähig, wo der direkte Weg nicht gangbar ist.

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Modified application of the Harmonic Balance to the state equations of a batch boiler reactor

Summary The method of Harmonic Balance which is proved in many cases for detecting limit cycles is applied to the system equations of a batch boiler reactor.The nonlinearity implied by the process does not only require an approach which is adapted to the kinetic reactions but demands in addition a procedure which differs from the usual application of the Harmonic Balance. The indirect treatment does not depend on the special example and is useful in all cases where the direct way cannot be gone.

     

Umlenkung eines ebenen Freistrahles durch eine Querströmung aufgrund von turbulenter Vermischung und Druckwirkung

Übersicht Zur Beschreibung der Umlenkung eines ebenen turbulenten Freistrahles durch eine Querströmuug wird ein Modell entwickelt, bei dem sowohl die Einsaugwirkung des Strahles als auch die Druckwirkung der Querströmung auf den Strahl berücksichtigt werden. Hiermit können die Strahlmittellinie, die Strahlbreite und die über einen Strahlquerschnitt gemittelte Geschwindigkeit berechnet werden. Es werden analytische Näherungslösungen für die Fälle angegeben, in denen die Geschwindigkeit der ungestörten Querströmung wesentlich kleiner als diejenige des ungestörten Strahles ist. Ein Vergleich der berechneten Größen mit experimentellen Ergebnissen anderer Autoren zeigt gute Übereinstimmung.

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Summary The deflection of a plane turbulent jet in a crossflow is described by a model which takes the effects of entrainment as well as those of crossflow pressure into account. Using this model the centerline and the spread of the jet and the mean velocity averaged over its cross-section can be calculated. Asymptotic analytic solutions are given for the case where the velocity of the unperturbed crossflow is much smaller than that of the unperturbed jet. A comparison of the present calculations with experimental results of other authors shows good agreement.

     

Die Korrektur des Rechenmodells eines elastomechanischen Systems mittels gemessener erzwungener Schwingungen

Übersicht Die Systemanalyse elastomechanischer Strukturen liefert das Rechenmodell als Annäherung an die wirkliche Struktur. Die Systemidentifikation führt auf das unvollständige Versuchsmodell. Als Maßstab für die Güte des Rechenmodells gilt die Übereinstimmung der Eigenschwingungsgrößen des Rechenmodells mit denen des Versuchsmodells oder die der Frequenzgänge. Ist die Genauigkeit des Rechenmodells unzureichend, so kann sie durch Korrektur über eine Parameteridentifikation verbessert werden. Will man die u. U. aufwendige experimentelle Ermittlung der Eigenschwingungsgrößen ßvermeiden, so bietet sich die Korrektur des Rechenmodells durch Anpassen der gerechneten erzwungenen Schwingungen an die entsprechenden gemessenen Größen an. Das Korrekturverfahren ist für ungedämpfte Systeme dargestellt, wobei Substruktur-Steifigkeitsmatrizen korrigiert werden. Beispiele demonstrieren die Korrektur.

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Summary The system analysis of elastomechanical systems results in a theoretical model as an approximation of the real structure. The system identification leads to the uncomplete experimental model. The quality criterion applied to the theoretical model may be the accordance of the eigencharacteristics of the theoretical model with the eigencharacteristics of the experimental model or the accordance of their frequency responses. If the accuracy of the theoretical model is insufficient, it can be improved by correction via parameter identification. For avoiding the experimental determination of the eigencharacteristics, being expensive in certain cases, the correction of the theoretical model by adjusting the calculated dynamics responses to the corresponding measured ones suggests itself. The correction method is presented for undamped systems by correcting the subsystems stiffness matrices. Examples demonstrate the method.

     

Theoretische Abschätzung von Einflußparametern auf den Entladevorgang eines Wasserstoff-Metallhydridspeichers

Zusammenfassung Mit Hilfe von numerischen Rechnungen wird versucht, Aussagen zu machen über die wichtigsten Einflußparameter auf den Be- und Entladungsvorgang eines Metallhydridspeichers, welcher sich für einen Einsatz in einem mit Wasserstoff betriebenen Fahrzeug eignet, sowie über den Einfluß einer Variation verschiedener physikalischer und chemischer Eigenschaften der an dem System beteiligten Stoffe.

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Theoretical estimation of parameters of influence on the discharge of a metal hydride storage container for hydrogen

With applications of numerical methods it is tried to make statements about important influences on the charge and discharge of a metal hydrogen storage, which is suitable for an application in a hydrogen operated motor vehicle. Therefore there were investigated different geometries of pipe as well as the influence of variation of different physical and chemical properties on the important materials of the system.

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Formelzeichen A, B, C, D Konstanten - A_i Fläche (m₂) - C_p spezifische Wärmekapa- (J/kgK) zität - H Bildungsenthalpie des (kJ/kg) Wasserstoffs - k Wärmedurchgangskoeffi- (W/m₂K) zient - m Masse (spezifisch) (kg/m³) - m Massenstrom (spezifisch) (kg/m³s) - P_D Gleichgewichts- bzw. (bar) Desorptionsdruck - P_a aktueller Gegendruck in (bar) der Schüttung - R Rohrradien (m) - r_i Volumenanteil an der (–) Schüttung - r, , z Zylinderkoordinaten - s Wandstärke der Rohre (m) - T absolute Temperatur (K) - t Zeit (s) - x_i Massenanteil an der (–) Schüttung - Wärmeleitfähigkeit (W/mK) - Dichte (kg/m₃) - _v Dissipationsterm - Wärmeübergangskoeffi- (W/m²K) zient Indizes a äußere Oberfläche eines Rohres - abg abgegeben - am gemittelt - Anf Anfang - g Heizmittel - ges gesamt - H₂ Wasserstoff bzw. Leerraum - i innere Oberfläche eines Rohres - m mittel - Me Metallhydrid - Pr prozentual - S Schüttung - 1 am Innenrohr - 2 am Außenrohr     

Die wahre Gleichgewichtstemperatur und die augenblickliche Abkühlgeschwindigkeit eines Gewässers

Zusammenfassung Die Abkühlgeschwindigkeit eines erwärmten Gewässers wird häufig mit Hilfe des exponentiellen Abkühlgesetzes berechnet, demzufolge die Wassertemperatur einer als konstant angenommenen Gleichgewichtstemperatur zustrebt. Für derartige Rechnungen besser geeignet ist jedoch die wahre Gleichgewichtstemperatur, die den augenblicklichen meteorologischen Verhältnissen zugeordnet ist. Damit kann man dann die augenblickliche Abkühlgeschwindigkeit sehr einfach berechnen, wenn auch noch die Lufttemperatur und die Windgeschwindigkeit aufgrund von Messungen bekannt sind.

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The real equilibrium temperature and the instantaneous cooling velocity of river water

The cooling velocity of warmed river water is often calculated by means of the exponential cooling law according to which the water temperature approaches a constant equilibrium temperature. However more appropriate for such calculations is the real equilibrium temperature depending on the instantaneous meteorological conditions. In this case the instantaneous cooling velocity can easily be calculated if the air temperature and the wind velocity are known from measurements.

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Herrn Prof. Dr.-Ing. U. Grigull zum 70. Geburtstag gewidmet     

Die elastisch-plastische Biegung eines Plattenstreifens aus inkompressiblem Werkstoff bei endlichen Formänderungen

Übersicht Ein Plattenstreifen aus inkompressiblem Material wird durch reine Biegemomente endlich verformt. Mit fortschreitendem Biegewinkel erreicht der Streifen zuerst den elastischen und danach den elastisch-plastischen Zustand. Es werden die Spannungs- und Formänderungswerte in azimutaler und radialer Richtung für verschiedene Verformungszustände ermittelt. Dabei zeigt sich unter anderem, daß das angreifende Moment nach Erreichen eines Maximums und die Streifenhöhe mit fortschreitendem Biegewinkel abnehmen.

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Summary This paper deals with the bending of a plate-strip of incompressible material with finite strains. The plate-strip first reaches the elastic and then the elasto-plastic state as the angle of bending increases. Stresses and deformations in azimuthal and radial direction of the plate-strip are determined for different states of deformation. Among other findings the result is that the bending moment, after reaching a maximum, and the thickness of the plate strip dimmish with increasing angle of bending.

     

Geometrisch nichtlineare Berechnung von ebenen Stabwerken auf der Grundlaǵe eines ǵemischt-hybriden Finite-Elemente-Verfahrens

Übersicht Grundlage des dargestellten Verfahrens ist ein gemischt-hybrides, pseudokomplementäres Variationsprinzip mit Verschiebungs- und Schnittkraftinkrementen als unabhängige Variable. Starke Änderungen in der Tragwerksgeometrie werden durch die mitgehende Lagrangesche Formulierung erfaßt, wobei in jedem Element die Annahmen der Marguerreschen Schalentheorie benutzt werden. Anwendbarkeit und Genauigkeit des vorgeschlagenen Verfahrens werden an einigen Beispielen demonstriert.

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Summary The finite element model for the geometrically nonlinear analysis of 2-dimensional frames is based on a generalized mixed-hybrid, pseudocomplementary variational principle containing both displacements and stress resultants as independent variables. An updated Lagrangean formulation is used in the incremental solution process, whereby within each element the assumptions of Marguerre's shell theory are introduced. To illustrate the applicability and accuracy of the proposed method some sample frames have been computed.

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Prof. Dr. S. Falk zum 60. Geburtstag gewidmet     

Ein Beitrag zum Einfluß des Stoffüberganges auf eine erzwungene Konvektion an einer fluiden Phasengrenze

The interfacial-dynamic behaviour of a fluid two-phase-system with mass transfer was investigated under influence of forced convection in the manner of flat jets directed to the interface. The tangential velocities were measured at a characteristic point near to the interface air/water or in the interface itself using a Laser-Doppler-Velocimeter in dependence on the velocities of jets into two phases in both cases with and without transfer of acetone. The variations of velocities due to the interfacial effects are only detectable at small velocities of the jets. They are discussed by model conceptions and compared with the results of a theoretical research of heat transfer in a fluid two-phase-system (Interfacial-dynamic surface renewal model).     

Die erweiterte Berechenbarkeit von praktischen Viskositäts-Temperatur-Abhängigkeiten mit Hilfe eines BASIC-Programms

Zusammenfassung Es wird ein in BASIC geschriebenes 16K-Computer-Programm vorgestellt, das die zur Kennzeichnung der Temperaturabhängigkeit der Viskosität newtonscher Flüssigkeiten (insbesondere von Schmierstoffen) üblichen Kenngrößen auszuwerten gestattet und außerdem bei Vorgabe eines variablen Richtungsfaktors Viskositäts-Temperatur-Reihen berechnen kann.

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Summary A 16 K computer program is introduced, written in BASIC, that allows to calculate the prevalent numbers characterizing the viscosity-temperature dependence of newtonian liquids as well as to compute viscosity-temperature series using a variable viscosity factor.

Vorgetragen auf der Jahrestagung der Deutschen Rheologischen Gesellschaft in Berlin vom 11.–13. Mai 1981.