(一)1/2=-1?

题目已知a/b+c=b/c+a=c/a+b,求a/b+c的值。解1 因a/b+c=c/a+b,由等此定理: a/b+c=a+b+c/(b+c)+(c+a)+(a+b)=a+b+c/2(a+b+c)=1/2。解2 因a/b+c=b/c+a=c/a+b=-d/-(a+c) 由等比定理得: a/b+c=a+(-b)/(b+c)+〔-(a+c)〕=a-b/b-a=-1 这岂不成了1/2=-1吗?谁是谁非?     

顾此失彼

例已知实数a、b、c满足a/b=b/c=c/a,求(b+c)/a的值.解法一(1)当a+b+c≠0时,由等比定理,得     

妙用公式ab=((a+b)/2)~2-((a-b)/2)~2

在平方差公式x2-y2=(x+y)(x-y)中,令x=(a+b)/2,y=(a-b)/2,便可得到公式ab=(a+b/2)2-(a-b/2)2,运用此公式,可巧解国内外一组竞赛题.例1 正数a,b,c,x,y,z,满足a+x=b+y=c+z=k,求证:ax+by+cz相似文献   

等差和等比中项性质的另类应用

<正>等差中项和等比中项是数列的两个重要概念,分别有如下性质:1 b是a、c的等差中项2b=a+c;2 b是a、c的等比中项b2=a·c(b≠0).在题设条件具有"2b=a+c"或"b2=a·c"结构特征的一些非数列问题,利用上述性质来处理,新颖独特,别具一格.一、在代数求值中的应用例1已知a>b>1且logab+logba=(10)/3,     

一道例题引出的“绝招”

例　 ( a b c) 10 的展开式共有几项 ?本题的传统解法如下 :解　∵　 ( a b c) 10 =[( a b) c]10　　　 =C010 ( a b) 10 C110 ( a b) 9c C210 ( a b) 8c2 … C1010 c10 ,而　 C010 ( a b) 10的展开式共有 1 1项 ,C110 ( a b) 9c的展开式共有 1 0项C2     

新题征展(103)

A题组新编 　　1.(1)已知Y∈R+,求证: 　　1/2(x+y)2+1/4(x+y)≥x√y+y√x; 　　(2)设a、b、c为不全相等的正数,求证: 　　bc/a+ac/b+ab/c>a+6+c; 　　(3)已知口,b,c∈R+, 　　求证:a2/b+c+b2/c+a+c2/a+b≥a+d+c/2; 　　(4)已知a,b,c∈R+, 　　求证:c/a+b+a/b+c+b/c+a≥3/2; 　　(5)若正数a、b,c满足a+b+c=1, 　　求证:(1/a+q1(1/b+1)(1/c+1)≥64.……     

2014年全国高中数学联赛加试第一题及其“根”的探究

一、赛题的"根"2014年全国高中数学联赛A卷加试第一题(以下简称"赛题"):设实数a,b,c满足a+b+c=1,abc>0,求证:bc+ca+ab<1/4+(abc)(1/2)/2.(1)看赛题,笔者自然而然回想起了文1所述的一道竞赛题:(2010年全国高中数学联赛广东预赛第3题,以下简称"试题")设非负实数a,b,c满足a+b+c=1,求证:bc+     

关于变形牛顿方法敛速的一个注记

前言 在[1]中给出引理5.1如下: 设二次议程g(t)=at~2-bt+c=0.有正根t~*相似文献   

先决条件不可忽视

小华和小明正在做一道“应用不等式求最值”的习题:已知a,b,c均为正数,且a+b+c=1,求ab~2c~3的最大值。小华解:∵a+b+c=a+ b/2+b/2+c/3+c/3+c/3≥6((a(b/2)~2(c/3)~3)~(1/6)) ∴1≥6((ab~2c~3)~(1/6))/108)),即ab~2~3≤1/432. ∴ab~2c~3的最大值为1/432。小明解:根据a+b+b+c+c+c≥6((ab~2c~3)~(1/6)),当且仅当a=b=c时取等号,右式最大。又∵a+b+c=1,∴a=b=c=1/3。得ab~2c~3=1/729,既ab~2c~3的最大值为两1/729。小华看着小明的结果,诧异地说:“我们都为都是应用正数的算术平均≥几何平均’,结果怎么不同呢?”小     

有比最大值更大的值

已知:a,b,c,d∈R,p,q∈R~+,且a~2+b~2=p,c~2+d~2=q。求ac+bd的最大值。解一:设a=p~(1/2)sinα,b=p~(1/2)cosα,(0≤α≤2π);c=q~(1/2)sinβ,d=q~(1/2)cosβ,(0≤β≤2π) ∵ac+bd=(p·q)~(1/2)(sinαsinβ+cosαcosβ) =(pq)~(1/2)cos(α-β) 故当α=β时,ac+bd有最大值。且值为(pq)~(1/2)。据基本不等式x~2+y~2≥2xy却易有下解。解二:∵a~2+c~2≥2ac,b~2+d~2≥2bd ∴ ac+bd≤(a~2+b~2+c~2+d~2)/2=(p+d)/2(此是一与a,b,c,d均无关的常数)。故有最大值是(p+d)/2。从上述解一、二我们得知,因(p+d)/2≥(pq)~(1/2),即有比ac+bd的最大值(pq)~(1/2)更大的值(p+d)/2。     

相似形目标测试

一、填空题(每小题3分,共30分) 1.若a/b=7/4,则(a b)/b=__。 2.已知线段a=5,且a、b的比例中项c=15~(1/2),则线段b=__。     

巧用“中项”作代换,开辟解题新途径

对于一些题设中直接或间接出现了形如a+c=2b(或ac=b~2≠0)的数学题,我们可以应用a、c的等差(等比)中项b作代换:a=b+d,a=b-d(a=bq,c=b/q),从新的途径巧妙地加以解决,以下分类举例说明。 1 求值例1 若0〈x〈π,sinx+cosx=-1/5,求tgx的值。解∵ sinx+cosx=2·(-1/10),     

算術運算定律在恒等式變形中的應用

高年级学生在代数变形中所犯的错误,有许多情形都是说明学生对于算术运算定律的忽视. 例如下列约分:(2a~2b+4c)/2=a~2b+4c;(a(a~2+b~2+b)~(1/2))/a=(a~2+b~2)~(1/2)+b等等     

一个分式不等式最佳系数的否定及修正

<中学数学教学>2007年第4期解题擂台(86)提出如下分式不等式: 　　设a,b,c都是正数,且a+6+c=1,求证: 　　1/a+1/b+1/c≥25/1+48abc. (1)……     

巧解一例

例题△ABC中,a2-a-2b-2c=0,a 2b-2c 3=0,求最大角．分析本题常规解法是先求得b=1/4(a- 3)(a 1),c=1/4(a2 3),从而a>3,作差比较得c最大．再在cosC=a2 b2 c2/2ab中把上述b、c 代入约分而获解,较繁．下面解法充分利用题     

利用一个简单结论解题

众所周知:若a0时,原不等式的解集为〔-a/4,0〕.2　证明不等式例2　设|a|<1,|b|<1,|c|<1,求证:a b c abc1 ab ac bc<1.证明　记x=a b c abc1 ab ac bc,则原不等式|x|<1-1相似文献   

问题与解答

本栏所给问题,专供读者解答,但答案不必寄来,本期答案将在下期发表,欢迎读者提供适合初中,高中数学水平的问题及其解答,以便选用。一、本期问题 1 设正整数a、b、c分别为直角三角形的三边,c为斜边,且a、b、c无公因数,求证a、b、c两两互质,且c是奇数,而a与b中必是一奇一偶。 2 在实数集上解方程组 (x(1-y))~(1/2)+(y(1-x))~(1/2)=1/2 (xy)~(1/2)+((1-x)(1-y))~(1/2)=3~(1/2)/2。 3 设a、b、…、n是互不相等的正整数,且     

两道江苏高考附加题别解

本文给出两道2008年江苏高考附加题的别解,供赏析。题1设a,b,c为正实数,求证: 1/a~3+1/b~3+1/c~3+abc≥2 3~(1/2)。别解因为a,b,c为正实数,     

一个三角形不等式的证明

文[1]中给出100个优美的几何不等式,其中l63是:a2≥(ωb+ωc)2(c+a)(a+b)/4(b+c)s≥4(s-b)(s-c) 本文给出它的一个证明.符号均与文[1]同(a,b,c为△ABC三边,ωa,ωb,ωc分别为角A、B、C的平分线,S为半周长,R,r为外接和内切圆半径).     

数学问题解答

2012年12月号问题解答(解答由问题提供人给出) 2096设a,d为非负实数,b,c为正数,且b+c≥a+d,求b/c+d+c/a+b的最小值. (四川省资阳市外国语实验学校 蔡勇全641300) 解 因为b+c≥a+d,所以b+c≥1/2(a+b+c+d).